京改版九年级上数学20.1锐角三角函数教学设计

1 第 20 章 解直角三角形 一 锐角三角函数 课题：§20．1 锐角三角函数 教学目标： 知识与技能：⒈ 通过实例让学生理解并认识锐角三角函数的概念； ⒉正确理解正弦符号的含义，掌握锐角三角函数的表示； 3．学会根据定义求锐角的正弦值． 4．知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值也都固定这一事 实． 过程与方法：1.经历锐角的正弦的探求过程，确信三角函数的合理性，体会数形结合的思想． 2．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。 情感态度价值观：1．通过锐角的正弦概念的建立，经历从特殊到一般的认识过程． 2．在探索、分析、论证、总结获取新知识过程中体验成功的喜悦，从解 决实际问题中感悟数学的实用性，从而培养学生学习数学的兴趣． 教学重点：理解当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定的这一事实． 教学难点：正弦概念建立及表示； 教学方法：自主探究、合作学习 教学过程： 一、复习引入 问题：我们已经学习了直角三角形的哪些性质呢？ 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°， a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边。 边：勾股定理，即： a2+b2=c2 . 角：两锐角互余，即： ∠A+∠B=90°. 边角：30°角所对直角边是斜边的一半. 推理形式： 在 Rt△ABC 中,∠C=90°， ∵ ∠A=30°, ∴ 1 2 BC AB  复习直角三角形中边、角以及边角关系，突出本节主题，即研究直角三角形中的相关问 题，同时为后面的解题做了准备。 二、整体感知新知识 １．从特殊到一般抽象概括出正弦定义 在 Rt△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°,过 BC 上的点 B1 作 1 1 1B C AC C 于 ， 1 1 1 B C AB 的值为多少? 1 1 1 1= 2 B C AB ，这说明这个比值只与∠A=30°有关，与 Rt△ABC 的大小无关。 思 考 2 c b a A C B 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当锐角 A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是 一个固定值吗？ 几何画板演示： 1. 取定∠A 的大小，改变 Rt△ABC 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值； 2. 改变∠A 的大小，观察∠A 的对边与邻边的比值，再改变 Rt△ABC 的大小， 观察比值的变化。 小结：在 Rt△ABC 中，∠C=90° （１） 当∠A 不变时，它所对的边 BC 与斜边 AB 的比值不变． （２） 当锐角∠A 发生变化时，它所对的边 BC 与斜边 AB 的比值也发生变化． 结论：在 Rt△ABC 中，对于 锐角 A 的每一个确定的值， 其对边与邻边的比值 是惟一确定的. 下面我们用相似形的知识来说明． 已知：如图， Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 中∠A=α, 求证： 1 1 2 2 1 2 B C B C AB AB  . 证明：∵ ∠ AB1C1= ∠ AB2C2=90°, ∠A= ∠A, ∴ Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2, 可见，在 Rt△ABC 中，对于锐角 A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是惟一确 定的. 请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力． [板书]在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对 边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA， Asin BC aA AB c   的对边 斜边 1 1 1 2 2 2 ,B C AB B C AB   1 1 2 2 1 2 .B C B C AB AB   3 A B C A B C D 要求学生根据定义写出 sinB 的表达式，目的是巩固学生进一步掌握直角三角形中锐角 正弦的含义。 例如： 当∠A =30°时，sinA= sin30°= 1 2 ；当∠A=45°时，sinA= sin45°= 2 2 ． 当∠A=60°时，sinA= sin60°= 3 2 2．巩固新知 例题分析 例 1、已知：在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，求 sinA 和 sinB 的值． 解：在 Rt△ABC 中，∠Ｃ＝90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得： 2 2 2 23 4 5AB AC BC     ∴ 4sin 5 BCA AB   ， 3sin 5 ACB AB   ． 学生练习教材 P92 中 1 例 1 的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，经过反复强化， 使全体学生都达到目标，更加突出重点． 例 2、已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，CD=12，AD=9，BD=5，求 sinA、sin∠ ACD、sinB 和 sin∠BCD 的值． 解略． 想一想：当 0°＜∠A＜90°时，sinA 的值会在什么范围内？为什么？ 这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同 时这 个问题也使学生将数与形结合起来． 在学生从分讨论的基础上，得结论 0＜sinA＜1(∠A 为锐角)． 三、课堂小结 学生小结本节课都学会了什么？还有什么疑问？你还想知道什么？ 1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含 30°角直角三角形的性质基础上， 通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值也是 固定的． 教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现 了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被 动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识． 2、扩展：当锐角为 30°时，它的对边与斜边比值我们知道．今天我们又发现，锐角任 意时，它的对边与斜边的比值也是固定的．如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问 题就迎刃而解了．看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同 学可以提前预习一下．通过这种扩展，不仅对正弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的 兴趣． 3、其它边的比值是否也有这样的性质？我们下节课进行研究． A C B 4 c b a A C B 四、布置作业 1．课本 P92 练习 2，3 2．目标 3．思考：结合右图，思考∠A 的其他两边的比值是不是也是 唯一确定的？发挥你的聪明才智，动手试一试． 在教学中要注意： ① 要充分展开引入与探索的过程，使学生 确信三角函数的合理性， ② 要有充裕的时间让学生自主探究及合作交流， ③ 对三角函数 必须要求学生在理解的基础上记忆。