京改版九年级数学上第20章解直角三角形单元测试含答案解析

第二十章解直角三角形单元测试 一.单选题（共 10 题；共 30 分） 1.如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，则 tanA 的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90o ， AC=4，AB=5，则 sinB 的值是 ( ) A. B. C. D. 3.如果∠A 为锐角，sinA= ， 那么（ ） A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° 4.已知：∠A 为锐角，且 cosA≥ ， 则（ ） A. 0°＜∠A≤60° B. 60°≤∠A＜90° C. 0°＜∠A≤30° D. 30°≤∠A＜90° 5.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D．若 AC=2，BC=1，则 sin∠ACD=（ ） A. B. C. D. 6.在△ABC 中，（tanA﹣ ）2+| ﹣cosB|=0，则∠C 的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 7.三角形在方格纸中的位置如图所示，则 cosα的值是（ ） A. B. C. D. 8.在△ABC 中，∠C=90°，tanA= ，那么 sinA 的值为（ ） A. B. C. D. 9.如图，点 A 在半径为 3 的⊙O 内，OA= ， P 为⊙O 上一点，当∠OPA 取最大值时，PA 的长等于（ ） A. B. C. D. 2 10.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM= ， 则 tanB 的值为（ ） A. B. C. D. 二.填空题（共 8 题；共 24 分） 11.已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，则α+β=________ 12.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=1，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=255；③tanA=2；④sinB=12 ， 其中正确的是________ 13.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=8，sinA= ， 则 BC 的长是________ 14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，则 sinB 的值为________ 15.如图，已知∠ABM=37°，AB=20，C 是射线 BM 上一点． （1）在下列条件中，可以唯一确定 BC 长的是________ ．（填写所有符合条件的序号） ①AC=13；②tan∠ACB=125； ③连接 AC，△ABC 的面积为 126． （2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出草图，BC=________．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75） 16.如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A，再以 A 为圆心，AO 为半径画弧，两弧 交于点 B，画射线 OB，则 sin∠AOB 的值等于________． 17.如果α是锐角，且 tanα=cot20°，那么α=________度． 18.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CM 为 AB 边上的中线，AN⊥CM，交 BC 于点 N．若 CM=3，AN=4，则 tan∠CAN 的值为________． 三.解答题（共 6 题；共 36 分） 19.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，∠C=45°，sinB= ， AD=4． [MISSING IMAGE: , ] （1）求 BC 的长； （2）求 tan∠DAE 的值． 20.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tan C＝12，AC＝3，AB＝4，求 BD 的长．(结果保留根号) 21.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AC=8，AB=10，求 cos∠BCD 的值． 22.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知 AC=8，AB=10，求∠B 的三个三角函数值． 23.求满足下列条件的锐角α（精确到 0.01°）． （1）sinα= ； （2）cosα=0.2； （3）tanα=3． 24.已知：如图，在△ABC 中，∠A=105°，∠B=30°，AC=2．求 BC 的长． 四.综合题（共 1 题；共 10 分） 25.用计算器求下式的值： (1)tan75°； (2)tan54°45′. 答案解析部分 一.单选题 1.【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据 tanA 是角 A 的对边比邻边，直接得出答案 tanA 的值． 【解答】∵∠C=90°，BC=1，AC=2， ∴tanA= ． 故选 B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 2.【答案】D 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】正弦的定义：角 A 的正弦=角 A 的对边：斜边 【解答】由题意得 ， 故选 D. 【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成. 3.【答案】A 【考点】计算器—三角函数 【解析】解：∵sin30°= ， 0＜ ＜ ， ∴0°＜∠A＜30°． 故选 A． 【分析】首先明确 sin30°= ， 再根据一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 4.【答案】A 【考点】锐角三角函数的增减性 【解析】【解答】解：∵cos60°= ， 余弦函数值随角增大而减小， ∴当 cosA≥ 时，∠A≤60°． 又∠A 是锐角， ∴0°＜A≤60°． 故选 A． 【分析】首先明确 cos60°= ，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析． 5.【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，由勾股定理，得 AB= ， 由余角的性质，得∠ACD=∠B， 由正弦函数的定义，得 sin∠ACD=sin∠B= ， 故选：B． 【分析】根据勾股定理，可得 AB，根据余角的性质，可得∠ACD=∠B，再根据等角的三角函数相等，可得 答案． 6.【答案】B 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：∵（tanA﹣ ）2+| ﹣cosB|=0， ∴tanA﹣ =0， ﹣cosB=0， ∴tanA= ， cosB= ， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°， 故选 B． 【分析】先根据非负数的性质求出 tanA 及 cosB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的值， 根据三角形内角和定理即可得出结论． 7.【答案】D 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解： 根据网格特点可知，AC=4，BC=3， 由勾股定理得，AB= =5，则 cosα= = ， 故选：D． 【分析】根据网格特点和勾股定理分别求出 AC、AB，根据余弦的定义计算即可． 8.【答案】A 【考点】同角三角函数的关系 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，tanA= ， ∴设 a=3k，b=4k， ∴c= =5k， ∴sinA= ． 故选 A． 【分析】利用正切的定义得到 tanA= ，则可设 a=3k，b=4k，再根据勾股定理计算出 c=5k，然后根据 正弦的定义求解． 9.【答案】B 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在△OPA 中，当∠OPA 取最大值时，OA⊥AP， ∴PA 取最小值， 又∵OA、OP 是定值， ∴PA⊥OA 时，PA 取最小值； 在直角三角形 OPA 中，OA= ， OP=3， ∴PA= ． 故选 B． 【分析】当 PA⊥OA 时，PA 取最小值，∠OPA 取得最大值，然后在直角三角形 OPA 中利用勾股定理求 PA 的值即可． 10.【答案】B 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：在 Rt△ACM 中，sin∠CAM= ， 设 CM=3x，则 AM=5x， 根据勾股定理得：AC= =4x， 又 M 为 BC 的中点， ∴BC=2CM=6x， 在 Rt△ABC 中，tanB= ． 故选 B 【分析】在直角三角形 ACM 中，利用锐角三角函数定义表示出 sin∠CAM，由已知 sin∠CAM 的值，设 CM=3x， 得到 AM=5x，根据勾股定理求出 AC=4x，由 M 为 BC 的中点，得到 BC=2CM，表示出 BC，在直角三角形 ABC 中，利用锐角三角函数定义表示出 tanB，将表示出的 AC 与 BC 代入即可求出值． 二.填空题 11.【答案】75° 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：∵|sinα﹣12|+(tanβ-1)2=0 ， ∴sinα=12 ， tanβ=1， ∴α=30°，β=45°， 则α+β=30°+45°=75°． 故答案为：75°． 【分析】根据非负数的性质求出 sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数． 12.【答案】②③ 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AC=1， ∴AB=5 ， ∴①sinA=BCAB=25=255 ， 故此选项错误； ②cosB=BCAB=25=255 ， 故此选项正确； ③tanA=BCAC=2，故此选项正确； ④sinB=ACAB=15=55 ， 故此选项错误． 故答案为：②③． 【分析】首先求出 AB 的长，进而利用锐角三角函数关系分别判断得出答案． 13.【答案】6 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵sinA=BCAB ， ∴BC8=34 ， 解得 BC=6． 故答案为：6． 【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 14.【答案】32 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：∵AB=2BC， ∴AC=2BC2-BC2=3BC， ∴sinB=ACAB=3BC2BC=32 ． 故答案为 32 ． 【分析】利用勾股定理求出 AC 的长（用 BC 表示），然后根据正弦函数的定义求比值即可． 15.【答案】②③；21 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：（1）②③； （2）方案一：选② 作 AD⊥BC 于 D， 则∠ADB=∠ADC=90°． 在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°， ∴AD=AB•sinB=12，BD=AB•cosB=16， 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC=90°， ∴CD=ADtan∠ACB=5， ∴BC=BD+CD=21． 方案二：选③ 作 CE⊥AB 于 E，则∠BEC=90°， 由 S△ABC=12AB•CE 得 CE=12.6， 在 Rt△BEC 中，∵∠BEC=90°， ∴BC=CEsinB=21． 【分析】根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出 BC 的长，得到（1）（2） 的答案． 16.【答案】32 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：∵以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM 交于点 A， ∴OA=OB， ∵以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°= 32 ； 故答案为： 32 ． 【分析】连接 AB，先根据题意判断出△AOB 的形状，再得出∠AOB 的度数，由特殊角的三角函数值即可 得出结论． 17.【答案】70 【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°， ∴∠α+20°=90°， 即∠α=90°﹣20°=70°． 故答案为 70． 【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解． 18.【答案】23 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CM 为 AB 边上的中线， ∴AB=2CM=6， ∴∠B=∠MCB， ∵AN⊥CM， ∴∠MCB=∠CAN， ∴∠B=∠CAN， ∴△CAN∽△CBA， ∴ CNAC=ANAB = 46 = 23 ， ∴tan∠CAN= CNAC = 23 ． 故答案为： 23 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到 AB=2CM=6，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠MCB，根据余角的性 质得到∠MCB=∠CAN，推出△CAN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到 CNAC=ANAB = 46 = 23 ，根据三 角函数的定义即可得到结论． 三.解答题 19.【答案】（1）在△ABC 中，∵AD 是 BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4， ∴DC=AD=4． 在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB= ， AD=4， ∴AB= ∴BD= ， ∴BC=BD+DC= （2）∵AE 是 BC 边上的中线， ∴CE= BC= ， ∴DE=CE-CD= ， ∴tan∠DAE= ． 【考点】解直角三角形 【解析】【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解 Rt△ADC，得出 DC=4；解 Rt △ADB，得出 AB=6，根据勾股定理求出 BD=2 ， 然后根据 BC=BD+DC 即可求解； （2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DE=CE-CD，然后在 Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可 求解． 20.【答案】解：AD 是 BC 边上的高． ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在 Rt△ADC 中， ∵tan C＝12，∴ADCD＝12. ∴CD＝2AD，∴AD2＋(2AD)2＝(35)2 ， ∴AD＝3， ∴在 Rt△ADB 中，BD＝42-32＝7. 【考点】解直角三角形 【解析】【分析】考查解直角三角形。 21.【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠BDC=∠ACB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠BCD=∠A， ∵AB=10，AC=8， ∴cos∠BCD=cosA=ACAB=810=45． 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠A，得出 cos∠BCD=cosA，求出 cosA 即可． 22.【答案】解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=AB2-AC2=6， 则 sinB=ACAB=45， cosB=BCAB=35， tanB=ACBC=43． 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻 边计算即可． 23.【答案】解：（1）∵sinα=12，∴α=30°； （2）∵cosα=0.2， ∴α≈78.45°； （3）∵tanα=3， ∴α≈71.6． 【考点】计算器—三角函数 【解析】【分析】（1）直接利用计算器求出α的角度即可； （2）直接利用计算器求出α的角度即可； （3）直接利用计算器求出α的角度即可． 24.【答案】解：∵∠A=105°，∠B=30°． ∴∠C=45°． 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB=∠ADC=90° 在 Rt△ADC 中， ∵∠ADC=90°，∠C=45°，AC=2． ∴∠DAC═∠C=45°． ∵sinC= ， ∴AD= ． ∴AD=CD= ． 在 Rt△ADB 中，∠ADB=90°，∠B=30°． ∵AD= ， ∴AB=2 ． ∴由勾股定理得：BD= ． ∴BC=BD+CD= ． 【考点】解直角三角形 【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，根据锐角三角 函数的定义求出 AD 的长，再根据勾股定理求出 BD 的长，进而可得出结论． 四.综合题 25.【答案】（1）解答：tan75°≈3.732， （2）解答：tan54°45′=tan54.75°≈1.415. 故答案是 3.732；1.415. 【考点】计算器—三角函数 【解析】直接利用计算器计算即可.