中考专题冲刺训练：三角形11

中考专题冲刺训练：三角形 11 1、如图在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别是 AB、BC 的中点，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，BF 与 DE 交于点 G. （1）求证:DE⊥BF （2）连结 EF，若 CEFS  = BDGS4 3 ，求 cos∠CEF 的值. 2、如图 1，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB 的顶 点 A 在△ECD 的斜边 DE 上． （1）求证：AE2+AD2＝2AC2； （2）如图 2，若 AE＝2，AC＝ ，点 F 是 AD 的中点，试求出 CF 的长． 3、已知△ABC，以 AC 为边在△ABC 外作等腰△ACD，其中 AC=AD． （1）如图 1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，则∠ ABC=__________； （2）如图 2，若∠ABC=30°，△ACD 是等边三角形，AB=3，BC=4．求 BD 的长； （3）如图 3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D 之间距离是否存在最大 值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由． 4、在等腰三角形 ABC 中， AB AC ， 60(0 )BAC     ＜ ＜ ．点 P 是 ABC△ 内一 动点，连接 AP，BP，将△APB 绕点 A 逆时针旋转 ，使 AB 边与 AC 重合，得到△ ADC，射线 BP 与 CD 或 CD 延长线交于点 M （点 M 与点 D 不重合）． （1）依题意补全图1和图 2；由作图知，∠BAP 与∠CAD 的数量关系 为 ； （2）探究 ADM∠ 与∠APM 的数量关系为 ； （3）如图 1,若 DP 平分∠ADC，用等式表示线段 BM，AP，CD 之间的数量关系， 并证明. 5、已知△ADE 和△ABC 都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P 为 AE 的中 点，连接 DP． (1)如图 1，点 A, B , D 在同一条直线上，直接写出 DP 与 AE 的位置关系； （2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 逆时针旋转，当 AD 落在图 2 所示的位置时，点 C， D，P 恰好在同一条直线上. ①在图 2 中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP； ② 连接 BD，交 AE 于点 F．判断线段 BF 与 DF 的数量关系，并证明． 6、已知，在 ADE△ 中， AE AD ， 90EAD   ． （1）如图 1，若 EC，DB 分别平分 AED 、 ADE ，交 AD，AE 于点 C、B，连接 BC．请判断 AB、AC 是否相等，并说明理由； （2） ADE△ 的位置保持不变，将（1）中的 ABC△ 绕点 A 逆时针旋转至图 2 的位 置，线段 CD 和 BE 相交于 O，请判断线段 BE 与 CD 的位置关系与数量关系，并说 明理由； （3）在（2）的条件下，若 6CD  ，试求四边形 CEDB 的面积． 7、如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是中线，一个以点 D 为顶点的 45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交，交点分 别为点 E、F，DF 与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N． （1）如图 1，若 CE＝CF，求证：DE＝DF （2）在∠EDF 绕点 D 旋转过程中： ①如图 2，探究三条线段 AB、CE、CF 之间的数量关系，并说明理由； ②如图 3，过点 D 作 DG⊥BC 于点 G．若 CE＝4，CF＝2，求 DN 的长． 8、如图 1，△ABC 中，AC＝BC，∠A＝30°，点 D 在 AB 边上且∠ADC＝45°． （1）求∠BCD 的度数； （2）将图 1 中的△BCD 绕点 B 顺时针旋转α（0°＜α≤360°）得到△BC′D′． ①当点 D′恰好落在 BC 边上时，如图 2 所示，连接 C′C 并延长交 AB 于点 E．求 证：AE＝BD′； ②连接 DD′，如图 3 所示，当△DBD′与△ACB 相似时，直接写出α的度数． 9、已知，等边三角形 ABC 的边长为 5，点 P 在线段 AB 上，点 D 在线段 BC 上， 且△PDE 是等边三角形． （1）初步尝试：若点 P 与点 A 重合时（如图 1），BD+BE= ． （2）类比探究：将点 P 沿 AB 方向移动，使 AP=1，其余条件不变（如图 2），试 计算 BD+BE 的值是多少？ （3）拓展迁移：如图 3，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=70°，点 P 在线段 AB 的延 长线上，点 D 在线段 CB 的延长线上，在△PDE 中，PD=PE，∠DPE=70°，设 BP=a， 请直接写出线段 BD、BE 之间的数量关系（用含 a 的式子表示） 10、如图，CD 是经过 BCA 顶点 C 的一条直线， CA CB ，E、F 分别是直线 CD 上两点，且 BEC CFA      ． （1）若直线 CD 经过 BCA 的内部，且 E、F 在直线 CD 上，请解决下面两个问题： ①如图 1，若 90BCA   ， 90  ，则 BE_____CF；EF_____| |BE AF （填“＞”、 “＜”、“=”）； ②如图 2，若 0 180BCA    ，请添加一个关于  与 BCA 关系的条件_______， 使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论． （2）如图 3，若直线 CD 经过 BCA 的外部， BCA   ，请提出 EF、BE、AF 三 条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 11、如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形 ABC、EDF，其 中 AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC 和△EDF 按如图②的方式摆放（点 A 与点 D、点 B 与点 E 分别重合）．动点 P 从点 A 出发，沿 AC 以 2cm/s 的速度向 点 C 匀速移动；同时，动点 Q 从点 E 出发，沿射线 ED 以 acm/s（0＜a＜3）的速 度匀速移动，连接 PQ、CQ、FQ，设移动时间为 ts（0≤t≤5）． （1）当 t＝2 时，S△AQF＝3S△BQC，则 a＝ ； （2）当以 P、C、Q 为顶点的三角形与△BQC 全等时，求 a 的值； （3）如图③，在动点 P、Q 出发的同时，△ABC 也以 3cm/s 的速度沿射线 ED 匀速移动，当以 A、P、Q 为顶点的三角形与△EFQ 全等时，求 a 与 t 的值． 12、（1）阅读理解 利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点 P 是等边三角形 ABC 内 一点， 1PA  ， 3PB  ， 2PC  .求 BPC 的度数. 为利用已知条件，不妨把 BPC 绕点C 顺时针旋转60得 'AP C ，连接 'PP ，则 'PP 的长为_______；在 'PAP 中，易证 ' 90PAP   ，且 'PP A 的度数为 ________，综上可得 BPC 的度数为_______； （2）类比迁移 如图，点 P 是等腰 Rt ABC 内的一点， 90ACB  ， 2PA  ， 2PB  ， 1PC  . 求 APC 的度数； （3）拓展应用 如图，在四边形 ABCD中， 5BC  ， 8CD  ， 1 2AB AC AD  ， 2BAC ADC   ， 请直接写出 BD 的长. 13、如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作∠ADN=60°， 直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CF∥AB 交直线 DN 于点 F． （1）当点 D 在线段 BC 上，∠NDB 为锐角时，如图 1，求证：CF+BE=CD． （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图 2；当点 D 在线段 CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图 3，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的数量 关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°， 4 3ABCS △ ，则 BE=_________， CD=________． 14、在△ABC 中，∠ABC=90°， AB nBC  ，M 是直线 BC 上一点，连接 AM．过点 B 作 BP⊥AM，P 为垂足． （1）当 n=1 时，过点 C 作 CN∥AB，交 PB 所在直线于点 N． ①如图 1，当 M 在 CB 的延长线上时，求证：CN=BM． ②如图 2，当 M 在线段 BC 上时，设 BN 与 AC 的交点为 D，若 BC=3BM，则 CD AD ________． （2）连接 CP 并延长交 AB 于点 Q． ①如图 3，若 n=1，求证： CP BM PQ BQ  ； ②如图 4，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan∠BPQ 的值．（用含 n 的式子表示）