中考专题冲刺训练：三角形5

中考专题冲刺训练：三角形 5 1．如图，在△ABC 中，E 为边 AC 的中点，CD⊥AB 于点 D，AB＝2，BC＝1，DE＝ ， 则∠CDE+∠BCD＝（ ） A．60° B．75° C．90° D．105° 2．下列说法不正确的是（ ） A．长方形的长一定时，其面积 y 是宽 x 的函数 B．圆的周长公式 C＝2πr 中，π和 r 都是自变量 C．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程 y 是行驶的时间 x 的函数 D．等腰三角形的周长一定时，腰长 y 是底边长 x 的函数 3．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC；AB＝AD＝DC＝1，BD⊥CD，则四边形 ABCD 的面积为（ ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC 中，AB＝4，BC＝6，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于点 E，AF ⊥BC 于点 F，若 DE＝2，则 AF 的长为（ ） A． B． C．6 D． 5．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝2，CD＝4，DA＝2 ，且∠ABC＝90°， 则四边形 ABCD 的面积是（ ） A．4 B．1+2 C．2+4 D．1+ 6．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，若 AC 平分∠DAB，且 AB ＝AC，AC＝AD，有四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DC；③△ABC≌△ADC；④△ ABD 是等边三角形．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD 与点 E，连 CD 分别交 AE、AB 于点 F、G，过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H，则下 列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③AH＝DF；④△ADF≌△BAH；⑤DF＝2EH， 其中正确结论的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．下列说法中，正确的是（ ） A．三角形的三条高交于三角形内一点 B．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C．三角形的三边的垂直平分线的交点到三边的距离相等 D．有两个角都是 60°的三角形是等边三角形 9．下列说法正确的有：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等边三角形是等 腰三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三 角形；④等腰三角形的两个底角相等； ⑤一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形 全等．其中正确的共有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 10．下列语句：①面积相等的两个三角形全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如 果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④如果两个三角形有两角和一边相 等，那么它们就全等．其中错误的说法有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 11．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，点 E，F 是 AD 上的任意两点．若 BC＝8， AD＝6，则图中阴影部分的面积为（ ） A．12 B．20 C．24 D．48 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，延长 BC 至 F，使 CF＝ BC，若 AB＝12，则 EF 的长是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 13．如图，四个全等的直角三角形围成正方形 ABCD 和正方形 EFGH，即赵爽弦图．连接 AC，分别交 EF、GH 于点 M，N，连接 FN．已知 AH＝3DH，且 S 正方形 ABCD＝21， 则图中阴影部分的面积之和为（ ） A． B． C． D． 14．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所 示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方 形的面积是 125，小正方形面积是 25，则（sinθ+cosθ）2＝（ ） A． B． C． D． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BE 平分∠ABC，CD⊥ AB 于 D，BE 与 CD 相交于 F，则 CF 的长是（ ） A．1 B． C． D．2 16．如图，直线 l 上有三个正方形 A，B，C．若正方形 A，C 的面积分别为 8 和 15，则正 方形 B 的面积为（ ） A．6 B．7 C．23 D．120 17．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH．连 接 EG，BD 相交于点 O，BD 与 HC 相交于点 P．若 GO＝GP，则 的值是 （ ） A．1+ B．2+ C．5﹣ D． 18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝ cm，则 AC 的长为（ ） A．3cm B． cm C．2 cm D．1cm 19．将一个直角三角形纸片 ABC（∠ACB＝90°），沿线段 CD 折叠，使点 B 落在 B'处， 若 B'D∥CB，∠ACB'＝3∠ADB'，则下列结论正确的是（ ） A．∠ADB'＝∠ACD B．∠ACB'+∠ADB'＞90° C．∠B＝22.5° D．∠B'DC＝67.5° 20．如图，将△ABC 一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（ ） A．40° B．100° C．140° D．160° 参考答案 1．解：∵CD⊥AB，E 为 AC 边的中点， ∴AC＝2DE＝ ， ∵AB＝2，AC＝1， ∴BC2+AC2＝12+（ ）2＝4＝22＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵tan∠B＝ ， ∴∠B＝60°， ∴∠BCD＝∠A＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∵DE＝CE， ∴∠CDE＝60°， ∴∠CDE+∠BCD＝90°， 故选：C． 2．解：A、长方形的长一定时，其面积 y 是宽 x 的函数是正确的，不符合题意； B、圆的周长公式 C＝2πr 中，π是常量，r 都是自变量，原来的说法不正确，符合题意； C、高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程 y 是行驶的时间 x 的函数是正确的，不 符合题意； D、等腰三角形的周长一定时，腰长 y 是底边长 x 的函数是正确的，不符合题意． 故选：B． 3．解：如图，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E， ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形 ABED 是平行四边形， ∴DE＝AB，BE＝AD， ∵AB＝AD＝DC＝1， ∴DE＝AB＝DC＝1，BE＝AD＝1， ∴DE＝BE＝CD＝1， ∴∠CBD＝∠BDE，∠C＝∠CED， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CBD+∠C＝∠BDE+∠CDE＝90°， ∴∠C＝∠CDE， ∴CE＝BE＝1， ∴BC＝2， ∴BD＝ ＝ ＝ ， ∴S△BCD＝ BD•CD＝ × ×1＝ ， ∵CE＝BE＝1， ∴S△BDE＝ S△BCD＝ × ＝ ， ∵S△ABD＝S△BDE＝ ， ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ + ＝ ． 故选：C． 4．解：作 DH⊥BC 于 H， ∵BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2， ∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC， ∴ ×4×2+ ×6×2＝ ×6×AF， 解得，AF＝ ， 故选：A． 5．解：连接 AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2， 在直角三角形 ABC 中，AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝8， 又∵DC＝4，AD＝2 ， ∴DC2＝16，AD2＝24， 在三角形 ACD 中有：DC2+AC2＝16+8＝24＝AD2， ∴三角形 ACD 是直角三角形，∠DCA＝90°， ∴四边形 ABCD 的面积＝三角形 DCA 的面积+三角形 ABC 的面积＝ DC×AC+ AB ×BC＝ ×4×2 + ×2×2＝4 +2， 故选：C． 6．解：∵AB＝AD，AC 平分∠DAB， ∴AC⊥BD， ∴BE＝DE， ∴AC 是 DB 的垂直平分线， ∴BC＝DC ∵ ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∵AD＝BD，∠DAB≠60° ∴△ABD 是正三角形不一定成立的，所以④错误． 故①②③正确， 故选：A． 7．解：∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝60°、∠BAD＝90°、AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°， ∴△CAD 是等腰三角形，且顶角∠CAD＝150°， ∴∠ADC＝15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED＝90°， ∴∠DAE＝45°， ∴∠AFG＝∠ADC+∠DAE＝60°，∠FAG＝45°， ∴∠AGF＝75°， 由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG，故②错误； 记 AH 与 CD 的交点为 P， 由 AH⊥CD 且∠AFG＝60°知∠FAP＝30°， 则∠BAH＝∠ADC＝15°， 在△ADF 和△BAH 中， ∵ ， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF＝AH，故③④正确； ∵∠ABE＝∠EAB＝45°，∠ADF＝∠BAH＝15°， ∴∠EAH＝∠EAB﹣∠BAH＝45°﹣15°＝30°， ∴AH＝2EH， ∴DF＝2EH． 故⑤正确． 故选：B． 8．解：A、锐角三角形的三条高交于三角形内一点，故原题说法错误； B、有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，故原题说法错误； C、三角形的三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故原题说法错误； D、有两个角都是 60°的三角形是等边三角形，故原题说法正确； 故选：D． 9．解：①等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题； ②等边三角形是等腰三角形，是真命题； ③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，是真 命题； ④等腰三角形的两个底角相等，是真命题； ⑤一腰和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，是假命题； 故选：C． 10．解：①面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误； ②两个等边三角形不一定是全等图形，说法错误； ③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，说法正确； ④如果两个三角形有两角和一边相等，那么它们就全等，说法正确； 故选：C． 11．解：∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴△ADC≌△ADB（SSS）， ∴S△ADC＝S△ADB， ∵BC＝8， ∴BD＝4， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴EB＝EC，FB＝FC， ∵EF＝EF， ∴△BEF≌△CEF（SSS） ∴S△BEF＝S△CEF， ∵AD＝6， ∴S 阴影＝S△ADB＝ ． 故选：A． 12．解：∵点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点， ∴DE∥BC，DE＝ BC， ∵CF＝ BC， ∴DE＝CF， ∴四边形 DEFC 为平行四边形， ∴EF＝CD， 在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，点 D 是边 AB 的中点， ∴CD＝ AB＝6， ∴EF＝CD＝6， 故选：B． 13．解：∵S 正方形 ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设 DH＝x， 则 AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2＝ ， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S 梯形 NGFM＝ （NG+FM）•FG ＝ （EM+MF）•FG ＝ FE•FG ＝ ×（2x）2 ＝2x2 ＝ ． 故选：B． 14．解：∵大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， ∴大正方形的边长是 5 ，小正方形的边长是 5， 设 AC＝BD＝a，如图， △ABD 中，由勾股定理得： a2+（5+a）2＝ ， 解得 a＝5， ∴sinθ＝ ＝ ，cosθ＝ ＝ ， ∴（sinθ+cosθ）2＝ ＝ ． 故选：A． 15．解：过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，如图： ∵CD⊥AB 于 D， ∴EG∥CD， ∴∠GEB＝∠EFC， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， 又∵BE 平分∠ABC，EG⊥AB， ∴EG＝EC． 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝5． 在 Rt△EBC 和 Rt△EBG 中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBG（HL）， ∠CEB＝∠GEB，BG＝BC＝4， ∴∠CEB＝∠EFC，AG＝AB﹣BG＝5﹣4＝1， ∴CF＝CE． 设 CF＝EG＝EC＝x，则 AE＝3﹣x， 在 Rt△AEG 中，由勾股定理得： （3﹣x）2＝x2+12， 解得 x＝ ∴CF 的长是 ． 故选：B． 16．解：如图， 由于 A、B、C 都是正方形，所以 DF＝FH，∠DFH＝90°， ∵∠DFE+∠HFG＝∠EDF+∠DFE＝90°，即∠EDF＝∠HFG， 在△DEF 和△FGH 中， ， ∴△DEF≌△FGH（AAS）， ∴DE＝FG，EF＝HG， 在 Rt△DEF 中，由勾股定理得：DF2＝DE2+EF2＝DE2+HG2， 即 SB＝SA+SC＝8+15＝23， 故选：C． 17．解：∵四边形 EFGH 为正方形， ∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°， ∵OG＝GP， ∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°， ∴∠PBG＝22.5°， 又∵∠DBC＝45°， ∴∠GBC＝22.5°， ∴∠PBG＝∠GBC， ∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG＝CG． 设 OG＝PG＝CG＝x， ∵O 为 EG，BD 的交点， ∴EG＝2x，FG＝ x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF＝CG＝x， ∴BG＝x+ x， ∴BC2＝BG2+CG2＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 故选：B． 18．解：∵∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝ cm， ∴AC＝ ＝ ＝ （cm）， 故选：B． 19．解：设∠B＝x． ∵DB′∥BC， ∴∠ADB′＝∠B＝x， ∴∠ACB′＝3∠ADB′＝3x， 由翻折可知：∠B＝∠B′＝x， 又∵∠ADB′＝∠B ∴AB∥B′C， ∴∠A＝∠ACB′＝3x， ∵∠ACB＝90°， ∴x+3x＝90°， ∴x＝22.5°， ∴∠B＝22.5°， 故选：C． 20．解：连接 AA′． ∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D， ∵∠EAD＝∠EA′D， ∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°， ∴∠EAD＝40°， ∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°， 故选：C．