七年级数学暑假培优讲义

七年级数学下 培优讲稿目录 七年级数学下 培优讲稿目录.............................................................................................................................. 1 第一章 整式的运算.............................................................................................................................................. 3 整式及整式的加减.................................................................................................................................. 3 知识要点...................................................................................................................................................................................................................3 易错易瀝点...............................................................................................................................................................................................................3 典型例题...................................................................................................................................................................................................................3 学习自评...................................................................................................................................................................................................................4 幕的运算性质...........................................................................................................................................5 知识要点...................................................................................................................................................................................................................5 易错易瀝点...............................................................................................................................................................................................................5 典型例题...................................................................................................................................................................................................................6 学习自评...................................................................................................................................................................................................................6 整式的乘除...............................................................................................................................................8 知识要点...................................................................................................................................................................................................................8 易错易混点...............................................................................................................................................................................................................8 典型例题...................................................................................................................................................................................................................9 学习自评...................................................................................................................................................................................................................9 第二章 平行线与相交线.................................................................................................................................... 11 平行线与相交线.....................................................................................................................................11 知识要点................................................................................................................................................................................................................11 易错易混点............................................................................................................................................................................................................12 典型例题................................................................................................................................................................................................................12 学习自评................................................................................................................................................................................................................13 第三章 生活中的数据........................................................................................................................................ 17 生活中的数据.........................................................................................................................................17 知识要点................................................................................................................................................................................................................17 易错易混点............................................................................................................................................................................................................18 典型例题................................................................................................................................................................................................................18 学习自评................................................................................................................................................................................................................19 第四章概率.......................................................................................................................................................... 23 概率..........................................................................................................................................................23 知识要点................................................................................................................................................................................................................23 易错易混点............................................................................................................................................................................................................24 典型例题................................................................................................................................................................................................................24 学习自评................................................................................................................................................................................................................25 第五章三角形...................................................................................................................................................... 28 三角形的边、角关系............................................................................................................................ 28 知识要点................................................................................................................................................................................................................28 易错易混点............................................................................................................................................................................................................28 典型例题................................................................................................................................................................................................................29 学习自评................................................................................................................................................................................................................30 全等图形、全等三角形及三角形全等的条件、作三角形............................................................. 32 知识要点................................................................................................................................................................................................................32 易错易混点............................................................................................................................................................................................................32 典型例题................................................................................................................................................................................................................33 学习自评................................................................................................................................................................................................................34 利用三角形全等测距离及直角三角形全等的条件..........................................................................37 知识要点................................................................................................................................................................................................................37 易错易混点............................................................................................................................................................................................................37 典型例题................................................................................................................................................................................................................38 学习自评................................................................................................................................................................................................................38 第六章变蜃之间的关系...................................................................................................................................... 41 变量之间的关系、表达方法................................................................................................................41 知识要点................................................................................................................................................................................................................41 易错易混点............................................................................................................................................................................................................42 典型例题................................................................................................................................................................................................................42 学习自评................................................................................................................................................................................................................43 第七章 生活中的轴对称.................................................................................................................................... 48 轴对称图形及轴对称的性质................................................................................................................48 知识要点................................................................................................................................................................................................................48 易错易混点............................................................................................................................................................................................................48 典型例题................................................................................................................................................................................................................48 学习自评................................................................................................................................................................................................................49 利用轴对称设计图案、镜面对称....................................................................................................... 52 知识要点................................................................................................................................................................................................................52 易错易混点............................................................................................................................................................................................................52 典型例题................................................................................................................................................................................................................52 学习自评................................................................................................................................................................................................................53 81165182 13359237082 第一章整式的运算 整式及整式的加减 知识要点 ♦要点 1 单项式、单项式系数及次数 单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式。单项式中的数字因数（包括前血的符号）为单项式的系 数， 在单项式中，所有宁母的指数和叫做单项式的次数,单独的一个非零数的次数是零。 ♦要点 2 多项式、多项式的项数、多项式的次数 多项式：几个单项式的和，称为多项式，在多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式里次数最高 的项 的次数，就是这个多项式的次数。 ♦要点 3 整式：单项式和多项式统称为整式。 ★说明：（1）单独的一个数或一个字母也是单项式；（2）多项式的次数，并不是所有字母的指数和，而 是组成多项式中的单项式的最高次数；（3）如何区别一个代数式是否为整式，关键看项的因数的分母 屮 是否含有字母，若无，则是整式，否则就不是整式。 ♦要点 4 整式的加减 整式的加减实质：整式的加减实质就是合并同类项。 步骤：（1）去括号；（2）合并同类项 ★说明：（1）改变项的位置要连同它前面的符号一起移动，整式加减后的次数比原整式的次数小或不 变； （2）求整式的值原则是先化简，再求值；（3）带有绝对值符号的式子进行化简，首先考虑的是去 掉绝 对值符号，去掉绝对值符号时就必须首先考虑绝对值号内式子结果的符号,然后根据绝对值的性 质确定去 掉绝对值符号后应取什么符号，最后按整式加减运算进行化简。 易错易混点 （1）没有弄清单项式系数与次数的概念；（2）不能区别整式与分式；（3）没有搞清同类项的概念与合 并 同类项的法则；（4）对绝对值性质的理解有误。 典型例题 【例 1】 已知多项式 5x6y-4x2/-3xy3w+1-7，如果这个多项式是一个八次多项式，求肌的值 并写岀各项及 项的系数和次数。 【例 2] 若单项式与单项式一 8 心少的和仍是单项式，则 m+n=_______________________。 【例 3】 如图所示，A, B, C 三点表示的数分别为 a, b, c,化简：+ -0 + ° 学习自评 下列代数式出，1, 一兀丄，2(% + y + Z), -兀 2y,。中，单项式的个数是_____________________ 2 x x1 2 vzw 单项式-夕丄一的次数是 7,则加=_____________； 2 单项式一心？和 2』、的次数相等，则 m 的值为____________ 多项式(^+1)丹一#/ + 3 兀)'一约，+］是关于 x, y 的四次多项式，则 a+b=___________ 。 一个多项式减去 4"一 3/得 2『一 3ab,则这个多项式是_______________ o (3? - 2/+5x-2)-_____________ = 一”+5 - 4x3. 已知显+小=3,小+)?=—2,则(l)x2-j2=__________________； (2)^+4 巧+3 于=____________ 下列说法正确的是( ) A*5 的项"和 5 B.号和号都是单项式 C.廿 2 和无？+2 小+b 都是多项式 Z 若 xVy b、n(a>b> n),求作 △ ABC, 使 得 AB=a, AC=b, BC 边 上 的 中 线 AD=n. 学习自评 1. 如图 SX-25,工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD,使其不变形，这种做法的 根据是______________________o 2. 由同一-张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案________ 全等图形，而由同一张底片冲洗出的五 寸照片与七寸照片，__________ 全等图形(填“是”或“不是”)。 3. 如图 SX—26, AABC^ADCB,如果 ZD=74° , ZDBC=38° ,则 ZABC=_____________________, Z A=________,三角形 ABC 按角分类应是____________ o 4. 如图 SX—27,若厶 ABC^AADE, AD=AB, AE=AC,则另一组相等的边为_________________,图中 Z1 与 Z2 的大小关系是______________o 【例 7】 如图 SX—23,己知 ZDCE=90° , ZDAC=90° ,BE 丄 AC 于 B,且 DC=EC,请说明: b SX—24 【例 8】 E SX—23 DEC SX—25 E SX—27 5. 如图 SX—28,若/X ABC^AFDE,若 Z ABC 二 45 ° ,则______ =45° , AC=________ , AF=_______. 6. 如图 SX—29, AE 二 AD,要使 Z\ABD 竺 Z\ACE,请你增加一个条件是____________（只需要填一个 你认为合适的条件）。 7. 如图 SX—30, AABC^AACD, ZA=100° , ZB=25° ,则 ZBDC 的度数为_________________ 。 & 如图 SX-31,已知 AABC 的 六个元素，则甲、乙、丙三个 三角形中和 AABC 全等的图 形是 如图SX—32, EA丄 AC 于 A, DC1AC 于 C, B 是 AC 上一 点，AB=CD , AE=BC,贝 U BE 与 BD 的位置关系是 10. 如图 SX—33, D 是 Z\ABC 的 BC 边上的屮点，连接 AD,并延长到点 E 使 DE=AD,再连接 CE, 12. 把一张长方形的纸片按如图 SX—34 所示的方式折叠，EM、FM 为折痕，折叠后的 C 点落在 BM 或 BM 的延长线上，那么 ZEMF 的度数是（ ） A F B D SX—28 sx—29 SX—30 一定是全等三角形的是（ ) A.面积相等的三角形 B.周长相等的三 角形 C.形状形同的三角形 D.能够完全重合 A. 85° B.90° C. 95° 13. 下列说法 错误的是（ ） A.全等三角形对应边上的高相等 D. 100° B. 全等三角形对应边上的屮线相等 D.全等三角形对应边上的中垂线相等 E SX—31 若 AC=8, AB=5,则中线 AD 的取值范围是 的两个三角形 D 14. 如图 SX-35,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要配一样的玻璃， 带一块最 省事的应是（ ） A.① B.② C.③ D.不确定 15. 如图 SX—36, AABC^ADEF, ZA=30° , ZB=60° , ZC=90° ,则下列说法错误的是（ ） A. ZC 与 ZF 互余 B. ZC 与 ZF 互补 C. ZA 与 ZE 互余 D. ZB 与 ZD 互余 16. 下列图形 SX—37 屮，其中与图形 E 全等的图形是（ ） 20. 如图 SX—40,己矢口 AB 丄 AC, AD 丄 AE, AB 二 AC, AD 二 AE,试问 BE 与 CD 能相等吗？请说 明理市。 21. 如图 SX—41, BA、CA 分别平分 ZDBC、ZBCE,且 BDIDE、CE 丄 DE,垂足分别为 D、E。 证明： BOBD+CE。 22. 在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动 点， 连接 PA,分别过点 B、D 作 BE 丄 PA, DF 丄 PA,垂足分别为 E、F,如图 SX 一 42①所 示。 （1）请探索 BE、DF、EF 这三条线段长 度 具有怎样的数量关系。若点 P 在 DC 的延长 线上（如图 SX—42②），那么这三 条线段 的长度之间又有怎样的数量关 系？若点 P 在 CD 的延长线上呢（如图 SX—42③）？请分别直接写出结 论； （2）请在（1）屮的三个结论屮选择一个加以证明。 17.用尺规画直角的正确方法是（ ） A.用量角器 B.平分平角 C.用三角板 18. 如图 SX—38,已知 AB 二 CD, AD=BC,图屮有（ D.作两个锐角互余 ） 对全等三角形。 A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 19.如图 SX-39 是由一个正方形和一个等腰直角三角形拼成的图形，现在要把它剪成四块全等的 E SX—43 SX—37 A D B C SX—38 SX—42 23. 如图 SX—43, A 为线段 BC ±一点，分别以 AB、AC 为边在 BC 同一侧作等边 Z\ABD 和等边 △ACE, 连接 BE、CD, BE 交 AD 于 M 点，CD 交 AE 于 N 点， 试说明 ZEMN=ZEBCo 24. 已知 SX—44：线段 a、b (b>a), Za ,如图，求作 AABC, 使其有一个内角等于 Za ,且 Z a 的对边等于 a,另一边等 于 b(保留作图痕迹，标明顶点名称，其他均 不要求)。 利用三角形全等测距离及直角三角形全等的条件 知识耍点 ♦要点 1 利用三角形全等测距离(利用转化思想) 在实际生活屮，有些距离的确定是难以直接到达的或根本不可能直接到达的。我们现在就可以利用三 角形 全等来测量它们，实际上我们是利用已有的全等三角形或者构造出全等的三角形，利用全等三角 形的性质 把难以测量或不能直接测量的线段转化为易测的线段，一般方法有： ♦要点 2 直角三角形的全等判定的特殊方法 HL:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 ★说明：因为直角三角形是特殊的三角形，所以判定一般三角形全等的方法对直角三角形同样成立， 又因 为它是特殊的三角形，所以就有特殊的判定方法，即 HL。 易错易混点 (1) 不能正确理解测距离方法的理论依据：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等； (2) 对于直角三角形的判定没有掌握。 SX—48 1. 如图 SX—49 所示，BD 丄 AC, CE 丄 AB,垂足分别为 D、E, BD=CE, 根据“HL”可得到全等的三角形是_____________________ ;根据“AAS”可得全等的三角形是 2. 3. 4. __________________ ；在此基础上还可以得 出 的全等三角形是____ 0 已知 1：如图 SX—50, ZACB=ZDBC, ZDCA= ZABD, AC=10,贝 IJBD 等于( ) A. 10 B. 5 C. 6 D.不能确 定 己知 RtAABC^RtADEF, ZC=ZF=90° , C SX—50 若 ZB=25° , BC=7,则 ZE 二___________ , EF=_________ . 下列说法中，错误的是( ) A. 一条直角边和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等 典型例题 【例 1】⑴如图 SX —45 甲，BM=CN, J1 AC=BC, AN 丄 MN 于 N, BM 丄 MN 于 N,求证： MN 二 BM+AN。 (2)如图 SX—45 乙，如果(1)中的条件 “BM 二 CN”换为“BC 丄 AC”，其他条 件 不变，上述结论是否还成立？如果 成立， 请说明理由。 【例 2】 如图 SX-46 屮的 3 个图分别是一座大楼相 邻 两面墙和其外部两点 A、B 的三视图，请 设计 方案，测量不能直接到达的 A、B 两点 间的距 离。(画图并配以说明) 主视图 左视图 俯视图 SX—46 【例 3】 已知如图 SX—47, AE 丄 ED, AF 丄 FD, AF=DE, FC 丄 AD,垂足分別为 B、C,求证：EB=FCo EB 丄 AD， SX—47 【例 4】 如图 SX—48, AD 是 ZXABC 的高，E 是 AD ±一点，BE 的延 长线交 AC 于点 F, BE 二 AC, DE=DC, BF 和 AC 垂直吗？请说明 理 由。 学习自评 B. 斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C. 两条边分别对应相等的两个直角三角形全等 D. 两个角分别对应相等的两个直角三角形全等 则 ADEB 的周长是（ ） 6. 如图 SX—52, ZAOP=ZBOP, PD±OB, PC±OA,则下列结论正确的是（ ） A. PD=PC B.PDHPC C.有时相等，有时不等 D. PD>PC 7. 如图 SX-53,太阳光线 AC 与 A’C 堤平行的，AB 表示一棵塔松，A‘B‘表示一棵小杨树，同一时 刻两棵树的影长相等，已知小杨树高 3 米，则塔松高（ ） A.大于 3 米 B.等于 3 米 C.小于 3 米 D.和影子的长相同 8. 如图 SX—54,沿 AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同施工，工人师傅在 AC 上 取一点 B,在小山外取一点 D,连接 BD 并延长，使 DF=BD,过 F 点作 AB 的平行线 MF, 连接 MD 并延 长，在延长线上取一点 E,使 DE=DM,在点 E 开工就能使 A、C、E 成一条直线, 你知道其中的道理吗？ 9. 如图 SX—55,在 Z\ABC 中，ZACB=90° , AC=BC, AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF 丄 AE, 垂足 为 F,过 B 作 BD 丄 BC 交 CF 的延长线于 D。 （1）求证：AE=CD； （2）若 AC=12cm,求 BD 的长。 10. 己知：如图 SX—56,在 RtAABC 中，ZACB=90° , AC 二 BC, D 为 BC 的中点，CE 丄 AD,垂 足 为 E, BF//AC 交 CE 的延长线于点 F,说明 AB 垂直平分 DF 的理由。 11. 如图 SX—57,已知 AC〃BD, EA、EB 分 别平分 ZCAB、ZDBA, CD 过点 E, 且 AC=3cm, BD=5cm,你能利用全等 5. 如图 SX—51, ZC=90° , AC=BC, AD 平分 ZCAB 交 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E,若 AB=6cm, A. 5cm C. 7cm D. 8cm M F SX—54 B. 6cm SX—51 MM MM MM ■■ SX—55 D 三角形有关知识测出 AB 的长吗? 12. 如图 SX—58,己矢口 BE、CF 是 AABC 的两条高，BM=AC, CN=AB,请你探究 AM 和 AN 的关 系如何？请说明理由。 13. 如图 SX—59,正方形 ABCD 的边 DC ±有一点 E,连接 AE,以点 A 为 圆心， 以 AE 的长为半径作弧交 CB 的延长线于 F,求 ZFAE 的度数。 14. 如图 SX—60,已知 AABC 中，ZB=ZC, DE 丄 AB, DF 丄 AC,垂足分 别为 E, F,且 AE 二 AF,求证：D 为 BC 的中点。 A SX—60 81165182 13359237082 七年级数学下 第六章变量之间的关系 4/27/2018 41 第六章变量之间的关系 变量之间的关系、表达方法 知识要点 腹示变量的三种方法：列表法、解析法(关系式法)、图象漓 ♦要点 1 变量、自变量、因变量 (1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往 往是 相对的，相对于某个变化过程。 (2) 在一变化的过程屮，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变暈的变化而发生变化 的量。 例如小明出去旅行，路程 S、速度 V、时间 T 三个量中，速度 V—定，路程 S 则随着时间 T 的变化而变化。 则 T 为自变量，路程为因变量。 ♦要点 2 列表法与变量之间的关系 (1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一,可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。 (2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的 是自 变量，因变量随自变量的增大而增大或减小 ♦要点 3 用关系式表示变量之间的关系 (1) 用來表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。 (2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将 因变 暈单独写在等号的左边。即实质是用含自变暈的代数式表示因变暈。 (3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数 式的 值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。 ♦要点 4 用图象法表示变量的关系 (1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。 (2) 通常用横轴(水平方向的数轴)上的点表示自变量，用纵轴(竖直方向的数轴)上的点表示因变 量。 (3)从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取 信息。 如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律 进行预测， 判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。 (4)对比看：速度一时间、路程一时间两图象 ★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加 即 从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线 段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段” ③ 表示速度在减少。 ★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段” ①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动, “下降的线段”③表示物体反向运动。如图 BL—01(l)、 易错易混点 (1)在列表屮，不能够通过表格屮的数据全面得岀两个变量 Z 间的关系规律，易出现片面性错误；(2) 有的 变量是由不变量与变量 Z 和组成的，在解题时易忽略不变部分(在个别问题中，一定条件下变量 也可能成 为不变量)而导致错误； 典型例题 【例 1】果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的吋间有如下的关系： 时间册 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ■ ■ ■高度 h/米 5X0.25 5X0.36 5X0.49 5X0.64 5X0.81 5X1 ■ ■ ■ (1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 如果果子经过 2 秒落到地上，那么请估计这果子开始落下吋离地面的高度是多少米? 相关题型： 在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 (1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？ (2) 如果用 x 表示弹性限度内物体的质量，用 y 表示弹簧的长度，那么随着 x 的变化，y 的变化 趋势 如何？请写 Hi y 与 x 之间的关系式。 (3) 如果此弹簧的最大挂重为 25 千克，您能够预测当挂重为 14 千克时，弹簧的长度是多少吗？ 【例 2】一辆汽车正常行驶时每小时耗油「升，油箱现有 52 升汽油。(1)如果汽车行驶时间为 t(时), 那么 油箱屮所存油量 Q (升)与 t(时)的关系式是什么？⑵油箱屮的油总共可供汽车行驶多少小 时？ (3)当 t 的值分别为 1, 2, 3 时，Q 相应的值是多少？ 【例 3】一个梯形，它的下底长比上底长长 2cm,它的高为 3cm,设它的上底长为 x cm,它的面积为 y cm2o (1) 写出 y 与 x 之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？ (2) 当 x 由 5 变到 7 时，y 如何变化？ (3) 用表格表示当 x 从 3 变到 10 时(每次增加 1), y 的相应值； (4) 当 x 每增加 1 时，y 如何变化？并说明你的理由； (5) 这个梯形的而积能等于 9cn?吗？能等于 2cn?吗？为什么？ 相关题型：长方形的长是 20cm,当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。 (1)_______________________________________在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 O ⑵如果长方形的宽为 a cm,面积为 Scm2,则 S 与 a 之间的关系式为________________ 。 (3)____________________________当 a 二 15cm 时，S 是 。 ⑷当而积 S 是 280 时，这时的宽 a 是________________ o 【例 4】小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。 (1)_____________________________ 小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学 校时跑了起来，他们同时到 达学校。图 BL-02 中，图__________ 表示小丽的行程，图 表示小明的行 程最好。 BL—02 ⑵ 若小丽在上学的路上以固定的 速度前进，如图 BL-03 中虚线所示， 小明在上学的路上以小 -------小丽 -------------- 小明 0-----------------J- D BL—03 丽速度的 2 倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图 可以描述这种情况。 相关题 型：小明所在学校离家距离为 2 千米，某天他放学后骑自行车冋家，行使了 5 分钟后，因故停 留 10 分钟， 继续骑了 5 分钟到家，如图 BL-04 中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距 离 s(千米)与所用的 时间 t (分)Z 间的关系() 【例 5】某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张, 则 学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的 6 折优惠”，若全票价 甲乙 旅行社均为 240 元。 (1) 设学生为 x,甲乙旅行社收费分别为 y 甲(元)和『乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式； (2) 哪家旅行社收费更优惠？ 【例 6】某移动通信公司开设了 “全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴 30 元月租费, 每 通话 1 分钟付费 0.4 元，后者不缴月租费，但每分钟付费 0.6 元，若某人的每月通话时间在 200 分钟左 右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。(思路 1：直接计算 200 分钟应付的 话费进行 比较；思路 2：先求出付费相同的通话时间，再看 200 分钟比这个时间多还是少。) 学习自评 1. 一棵树苗栽下去时高 0.8m,以后 10 年内每年平均长高 0.4m, x 年后树高 y m。 (1) 这个问题中，常量是__________，变量是_________ ; (2) 这个问题中 x 值是_________量，y 值是_________ 量； (3) 生长 5 年后树高_______ m,生长了 10 年树高____________m； (4) 请你写出 y 随 x 变化而变化的关系式________________ o 2. 长方形的长为 a cm,宽为 6 cm,则它的周长 C 与长 a 之间的关系为____________ 。 3. 某种情况下，声音在空气中传播的速度 y(m/s)与气温 x (°C)之间存在如下关系： y = — x + 331 , (1)当气温 x=15°C 时，声音的速度 y=__________ m/s； (2)_________ 当气温 x=22°C 时，某人看到烟花燃放 5s 后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所 在地 相距___ mo 4. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量 x 与售价 y 的关系如下表： 数量 x(kg) 1 2 3 4 5 售价 y(元) 2+0」 4+0.2 6+0.3 8+0.4 10+0.5 小明 ——小丽 A ------------ 、小明 ----- 小丽 01----------------； 0 A A 则 y 与 x 的关系式为____________o 5. 如图 BI-05, 一个矩形推拉窗高 1.5 米，则活动窗扇的通风面积"(平方米)与拉开长度 b(米) 之 I'可的关系式为_________ 6. 某电影院有 1000 个座位，门票每张 3 元可达客满，若每张票提高 x 元，将有 200x 张门票不 能售出，提价后每场电影票房收入 y 元与提高的票价 x 元之间的关系是__________________ o 7. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图 BL-06 所示，若返冋时上坡、下 坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的吋 I'可是_________分钟。 8. 根据河道的剩水量 Q(n?)与水泵抽水时间 t (h)的关系图象如图 BL—07,回答下列问题： (1) 水泵抽水前，河道内有__________的水，水泵最多抽_________小时； (2) 水泵抽 8 小时后，河道剩水蚩为__________ m3； (3) 当河道剩水量为 100 n?时，水泵已抽水____________ 小时； (4) 水泵平均每小时抽水__________ m\ 9. 有一边长为 2 cm 的正方形，若边长增加 x cm,面积就增加 y (cm2),则 y 二____________ 。 10. 一杯开水 10 分钟后冷却下來，在这个变化过程中，自变量是__________ ,因变量是________ o11.亮亮拿 6 元钱去邮局买面值为 0.80 元的邮票，买邮票所剩钱数 y(元)与买邮票的枚数 x(枚) 的关 系式为__________________ ，最多可以买________ 枚。 3 ，2 根据图所示的程序计算，若输入的 x 的值是丁则输出的结果是( A. — B.— C.— D.— 2 4 2 2 13.在关系式 y 二 3x+5 中，下列说法：①x 是 自 变量，y 是因变量；②x 的数值可以任 意选择； ③y 是变量，它的值与 x 无关; ④用关系式表示 的不能用图象表示；⑤y 与 x 的关系还可以用列 表法和图象法表 示。其中说法正确的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③⑤ D.①②⑤ 14.中国工程院院士袁降平研究的超级杂交水稻以单季亩产 1138kg 创世界纪录, 农户干文清家 有 x 亩地，今年晚稻改种超级杂交水稻，如果 每 宙产量达到 1130kg,那么王文清家水稻的总 产量 y 与 x 之间的关系为( ) A. y= 1130x B. y=l 138x C. y=(l 138-1130)x D. y=(l 130+1138)x 15.托运行李 p 千克(p 为整数)的费用为 c 元 已知 托 运第一个 1 千克需付 2 元，以后每增加 1 千 克(不 足 1 千克按 1 千克计)需增加费用 5 角， ■ : 日 最 低 气 温 — — 日 最 高 气 温 ------- ► 温度 m 0 1 2 3 4 5 6 BL—09 BL—05 BL—08 则计算托运行李费用 c 的公式是( ) A. c=0.5p B. c=0.5p+l C. c=0.5p+1.5 D. c=0.5p+2 16. 在地球某地，温度 T（°C）与高度 d （m）的关系可近似地用 T = 10-— 来表示，则当高度 d=900 15 0 m 时，温度丁为（ ） A.4°C B. 3°C C.2°C D. 1°C 17. 如图 BL-09 是某市 5 月 1 口至 5 月 7 日每天最高、最低气温的折线统计图，在这 7 天中， 日温差最大的一天是（ ） A.5 月 1 日 B.5 月 2 日 C.5 月 3 日 D.5 月 5 日 18. 从山顶上滚到山脚下的一块石头，图 BL-10 中能大致描述速度 v 随时间 t 变化的图彖是 （） ABC D BL—10 则第 n 排有座位()个 A. 10n+4 B.20+4n C. 20+4(n-l) D. 20+3(n-l) 20. 丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开, 烧开后乂倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图 BL-11 中，可以近似地刻画出水的温度随时 间的变化而变化的图象是（ ） 21. 三峡工程在 2003 年 6 月 1 日至 10 日下闸蓄水期间， 水库水位由 106 米升至 135 米，高峡平 湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么如图 BL-12 所示的图象中，能正确反映这 1（） 天水位 h（米）随时间 I （天）变化的是（ ） 19. 某礼堂的座位排列呈弧形, 横排座位按下列方式设置: 排数 1 2 3 4 • • •座位数 20 24 28 32 • • • 22. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉, 当 它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点, 用 S|、S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图 BL-13 的图彖中与故事情节相 吻合的 是( ) 23. 小明早 上 7:00 点出发到社区作义务劳动，开始匀速步行，后碰上小亮，小明就停下和小亮 聊了一会儿，为 了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步行，结果准时到达， 如图 BL-14 中，以下四 个图象中能准确描述小明离家的距离与时间的关系的是( ) BL—14 24.下表给岀了桔农老李去年卖桔子的收入随桔子卖出的质量变化的有关数据。 质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 收入(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (1) 上表反映了那两个变量 Z 间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2) 当桔子卖出 5 千克时，收入是多少？当桔子卖出 50 千克时，收入又是多少？ (3) 如果用 x 表示桔子卖出的质量，y 表示收入，按表中的关系，用一个式子表示出来。 25.在课堂 45 分钟内，什么时候学生的接受能力最强?心理学家发现，学生对概念的接受能力与 老师提出 概念所在的时间(单位：分钟)之间，有如下关系： 时间(分钟) 0 2 10 12 13 14 16 24 26 接受能力 43 47.8 59 59.8 59.9 59.8 59 47.8 43 (1)上表反映了哪两个变蚩之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变蚩？ ⑵ 根据表中的数据，你认为老师在第___________分钟提出概念比较适宜？说说你的理由。 26. 如图 BL—15, 一边靠墙，其他三边用 12 米长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花］甫|。 (1) 如果设花圃靠墙的一边的长为 x(米)，花圃的面积为 y(平方米)，求 x, y 满足的关系式; (2) 当长 x 从 4 米变到 6 米时’面积 y 变化如何？ (3) 当长 x 从 6 米变到 8 米时，面积 y 变化如何？ A D 27. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年 市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的 Bl L BL—15 市场售价和生产成本进行了预测，获得了每千克蔬菜的利润与月份的关系如下表(表屮数据 前 “一”表示亏损) 月份 2 3 4 5 6 7 8 利润(元・千克) -0.67 1 2.33 2.67 2 1 -0.67 (1)上表反映了哪两个变蚩间的关系？自变量和因变量各是什么？ ⑵ 如果 4 月份该基地生产这种蔬菜 4.5 吨，则 4 月份该基地可获得多少利润？ (3)如果你是该市场负责人之一，你认为这种蔬菜应在哪几个月上市最好？为什么？ 28.某市为了鼓励市民节约用水，规定口来水的收费标准如下表: 每月每户用水量 每吨价(元) 不超过 10 吨部分 0.50 超过 10 吨而不超过 20 吨部分 0.75 超过 20 吨部分 1.50 (1) 现已知小明家 4 月份用水 21 吨，应缴水费_________元； (2) 写出每月用户的水费 y (元)与用水量 x(吨)之间的关系式； (3) 若小明家某月缴水费 17 元，问：他家该月用水多少吨？ 29. 如图 BL—16,已知 Z\ABC 中，AB=AC=5 , BC=6, F 为 BC 的中点, P 是 BF±一动点，连接 AP,在这个变化过程中，设 BP 二 X,且把 x 看成 是自变量。 (1) 图中哪些三角形的而积可以看成是因变量？ (2) 图中哪些线段可以看成是因变量？ ⑶ 试一试，你能求出自变量 x 的取值范围吗？ 30. 两个人分别骑自行车和摩托车从甲地到乙地，时间与 路 程关系如图 BL-17 所示，根据图象回答下列问 题： (1) 甲地到乙地的路程是多少千米？自行车的速度 与摩 托车的速度各是多少？ (2) 自行车比摩托车早出发几小时？摩托车比自行 车早 到儿小时？ (3) 摩托车出发后儿小时追上骑白行车的人？ 31. 小丽家离学校 2 km ,步行到校需 30 min ,小丽的 同学小军上学要经过小丽家，小军骑车上学行驶的路 程与时间的关系如图 BL—18 所示. (1) 小军家离学校多远？骑车上学的平均速度是 多 少？ (2) 如果小丽与小军同吋从家里出发上学，试在小 军 上学的路程与时间的关系图上画出小丽上学的 路程与 时间的关系图. (3) 他们同时从家里出发，途屮能相遇吗？ BL—16 爱•& 菽育 13359237082 七年级数学下第七章 生活中的轴对称 4/27/2018 48 第七章生活中的轴对称 轴对称图形及轴对称的性质 知识要点 ♦要点 1 轴对称与轴对称图形 (1) 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直 线就 是对称轴。 (2) 如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形, 这 条直线则为对称轴。 (3) 两者的区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形白身的对称特性。 ★两者的联系：①沿对称轴折叠后都能互相重合，即这两个(或两部分)图形是全等的，但全等 图形不 一定是对称的；②如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把 轴对称图形 沿对称轴分成的两部分看做两个图形，那么它们就关于对称轴成轴对称， ♦要点 2 几种简单的轴对称图形(角、线段、等腰三角形) (1) 角是轴一対称一图形，对称轴是角平分线所在的直线。 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2) 线段是轴对称图形，它有两条対称轴，一条对称轴是线段的垂直平分线(简称中垂线),另一条是 线段 所在的直线。 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 (3)等腰厂角形是轴对称图形，①等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合(也称 “三线 合•”),它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。②等边三角形有三条对称轴。③等腰三角 形的判定: 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所対的边也相等(简称：等角对等边)；④等边三 ♦要点 3 轴对称的性质 (1) 关于某条直线对称的两个图形是全等图形; (2) 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； (3) 对应线段相等，对应角相等。 易错易混点 (1)混淆轴对称与轴对称图形的概念，及数特殊图形的对称轴时容易漏数、重数、错数；(2)未能熟练 掌握 角平分线、中垂线、等腰三角形的性质而导致错误；(3)对轴对称的性质理解不透澈，不能灵活 运用轴对 称性质解题。 1 对于等腰三角形(腰与底边不相等)、等边三角形、长方形、正方形，对称轴的条数分别为() A. 1, 2, 3, 4 B. 2, 3, 4, 1 C. 1, 3, 2, 4 D. 1, 4, 2, 3 角形可看作任两边为腰的等腰三角形，判定为：有一个角等丁・ 6(r 的等腰三 形为等边三 座。 来 e ◎㊇ A B C D 【例 2】如图，下列轴对称图形中对称轴最多的是( ) 2. 如图 ZC—03, RtAABC 中，BD 平分 ZABC, DE 丄 AB 于 E,则 (1) 图中相等的线段有_______ 对，相等的角有________对； (2) 与 DE 相等的线段是__________ ,理由是__________ o (3) 若 AB=10, BC=8, AC=6,贝 lj BE 二_____ , AE=_______ , AAED 的周长二_________. 3.______________如图 ZC—04, P, Q 是 AABC 的边 BC 上的两点，且 BP 二 PQ 二 QC=AP 二 AQ,则 ZBAC 的大小等 于 ° 4. 等腰三角形有一角是 80° ,则另外两角为______________ 5. 如图 ZC—05 所示，Z\ABC 的边 AB、BC ± 分别有点 D、E,已知 AABE 是关于直线 DE 对称 的轴对称图形，四边形 ADEC 是关于直 线 AE 对称的轴对称图形，则 ZC 二____________ , ZB=_______ , ZBAC=________ o 6. 如图 ZC—06 所示，直线 MN 是线段 AB 的 对称轴， 点 C 在 MN 外，CA 与 MN 相交于 点 D,如果 CA+CB 二 4 厘米，那么△ BCD 的 周长等于_________ 厘米。 7. 如图 ZC—07 所示，在 ZXABC 中，ZACB=90° , ZB=30° , AD 平 分 ZBAC, DE 丄 AB 于 E,则在这个图形中等腰三角形有___________________个, 分别是__________________ o 8. 如图 ZC—08 所示，把一张长方形的纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，ED 与 BC 的交点为 G,点 D、C 学习自评 1._________________________________________________________________如图 ZC-02 所示，MN 垂 【例 3】 已知：ZAOB,点 M、N(如图 ZC—01)o 求作：点 P,使点 P 在 ZAOB 的平分线上，且 PM 二 PN。(要求：用尺规作图，保留作图痕迹, 不写作 法) ZC—01 ZC—02 M ZC—07 分别落在 D、C 的位置上，若 ZEFG=56°，则 Z1 二___________ , Z2 二_________ 。 9. 如图 ZC-09,直线厶、I 厶表示互相交叉的公路，现要建一个货物屮转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B.两处 C.三处 D.四处 10. 下列结论正确的是（ ） A.两个全等的图形一定成轴对称 B.两个全等的图形一定是轴对称图形 C.两个成轴对称的图形一定全等 D.两个成轴对称的图形不一定全等 11. 已知 AABC 中，AB 二 ACHBC,则 AABC 中中线、高线、角平分线共有（ ） A. 9 条 B. 8 条 C. 7 条 D. 3 条 12. AABC 中，ZA=70° , P 为 AABC 内一点，P 点关于 AB 的对称点为 P】，P 点关于 AC 的对称 点为 P2，连接 PPi、PP2、P1P2，则 ZPj+ZP2 的度数是（） A. 70° B. 110° C. 40° D. 140° 13. 如图 ZC—10 所示，在 AABC 中，若沿 EF 折叠，恰好使 A 点落在 BC 上 D 点处，请你说明 EF 丄 ADo 14. 作图 （1）如图 ZC—11,作出 AABC 关于/的轴对称图形；⑵ 把如图 ZC—12 中的图形补成以/为对 称轴的轴 对称图形； ZC—13 15. 已知：如图 ZC—13, OA 平分 ZBAC, Z1 = Z2«求证：AABC 是等腰三角形。 16. 如图 ZC-14①，方格纸中每个小方格都是边长为 1的正方形，我们把一个点连线为边的多边形 称为“格 点多边形”。如图①屮以边形 ABCD 就是一个“格点四边形”。 （1） 求图①中四边形的面积； （2） 在图②方格纸中画一个格点三角形 AEFG,使 AEFG 的面积等于四边形 ABCD 的面积且为轴 对 称图形。 ZC—14 17. 如图 ZC—15 所示，AD 为 AABC 的高，ZB=2ZC,用轴对称图形的性质证明：CD 二 AB+BD。 20.如图 ZC—1-8 两个班的学生分别在 M、N 两处参加植树劳动，现要在道路 AB、AC 的交叉区域 内设一个茶水供应点 P,使 P 到两条道路的距离相等，且使 PM 二 PN。 有一 同学说：“只要做一个角平分线，一条线段的垂直平分线，这个茶 水供应点 的位置就确定了。”你认为这位同学说的正确吗，请说明理市。 ZC—16 ZC—17 18.如图 ZC—16 在 RtAABC 中, ZACB=90° , AB 的垂直平分线交 BC 的延长线于 E, CF=DF, 试着求 ZA 的度数。 19. 如图 ZC—17 所示，AC 丄 BC, AC 平分 ZDAE，E 为 AB ±一点，EC〃AD，求证：AE=BEO ① ② ZC—15 C 利用轴对称设计图案、镜面对称 知识要点 ♦要点 1:利用轴对称的性质作图 先找出轴对称图形的对称轴，再找出已有的一半图形中的特殊点，找到这些特殊点关于对称 轴 的对应点,并将对应点连接即可得到另一半的轴对称图形。 ♦要点 2：设计简单的轴对称图案 (1) 轴对称图案在 FI 常生活中应用非常广泛，轴对称图案往往代表一定的实际意义； (2) 设汁图案时，往往用简单图形经过简单组合，使其具有一定的寓意，经过一次或多次轴对称，充 分发 挥想象力设计出较为美观的图案来。 ♦要点 3：镜面对称的性质 若物体正对镜面，这时镜面对称实质是无数对对应点的对称，镜面上有每一对对应点的对称轴；若物 体垂 直于镜面，对称轴是镜而与物体最接近的边缘。镜而对称为一种空间中的对称，它有与轴对称相 似的性质： (1) 无论物体正对镜子或垂直于镜子摆放，像与物体的大小不变,像与物体到镜子的距离相等。 (2) 镜子中的像和物体对应点连线和镜面垂直; (3) 如果一个图形正对镜面，镜子中的像改变了物体的左右位置，即像与物体的左右位置互换;如果 一个 图形垂直于镜面放置，则原图形靠近镜面的部分，其像也靠近镜面。 ♦要点 4：镶边与剪纸 (1) 镶边与剪纸是运用轴对称的民间艺术。 (2) 镶边中，相邻的两个图案成轴对称，相间的两个图案之间形状、大小和方向完全一样。 易错易混点 (1)设计图案时忽略了轴对称性质；(2)混淆了方向和形状的概念以及忽略了镜子改变物体的左右、 上下位 置出现错误。 典型例题 【例 1】若 26 个英文字母如图 ZC—18, (1)垂直于镜面放置，(2)平 行于镜 面放置，哪些字母的像与原物相同？ ZC—18 【例 2】取一张长 24cm,宽 5cm 的纸条，将它按 4cm 为一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来, 并在折叠好的纸上画出字母乙 用小刀把画出的字母 Z 挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到一 条以字母 Z 为图案的花边，如图 ZC—19o ⑴ 在你所得到的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的图 案又 有什么关系？说说你的理由。 憶面 ABCD (1) ZC—19 （2）如果以相邻两个图案为一组，每组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？ 【例 3】 如图 ZC-20,将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图 学习自评 1. 如图 ZC-21 是小英早晨起來看到镜子中的时间，实际时间是____________o 2. 一个身高为 1.8m 的人，要想在平而镜中看到自己的全身像，他应该买一个_________ m 的穿衣镜。 3. 下列说法正确的是（ ） A. 人在镜子中照出的像大小不变，所以像的左手还是左手 B. 人在镜子屮的像的左手是人的右手 国 画 画 BCD ZC—22 C. 人在镜子屮的右脚正好是人的右脚 人在镜子中的左脚正 好是人的左脚 4. 镜子中看到一张卡片如图 ZC-22 所示，卡片上的字是（ ） 5. 小亮从平面镜子里看到背面墙上电子钟示数的像如图 ZC-23 所示，此时的时间是（ ） A.21:10 B. 10:51 C. 15:01 D. 10:21 6. 一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像如图 ZC-24 所示）此时，它所看到的全身像是（ ） 7. 将一个正方形纸片按图 ZC—25 屮的（1）、（2）对折后，再沿图（3）虚线裁剪，最后将图（4 纸片 打开 铺平，所得到的图案应该是下面图案中的（ ） 8. 如图 ZC-26,你能画出下面两个镜子屮的像吗？ 形是（ ） 日口 □□口 ZC—20 ZC—21 A B C D ZC—23 ZC—24 9. A 10.如图 zc—28,在 AABC 中，AB 二 AC , EF 交 AB 于 E ,交 AC 的延长线于 F ,交 BC 于 D,且 BE 二 CF, 求 证：DE 二 DF。 11. 如图 ZC—29,在 AABC 中，ED 是 BC 上的中垂线，交 BC 于 D,交 AB 于 E,连 CE,若 Z A=70° , ZACE=24° ,试求 ZB 的度数。 12. 图 ZC—30,在△ABC 中，AD 是角平分，点 E 在 AB±(AB>AC),且 AE=AC,连 CE,若 ZACB= 68° , ZB 二 54。，试求 ZBCE 的度数. 补： 1. 如图所示，A、B、C 三点在同一直线上，分别以 AB、BC 为边在 AC 同侧作等边 AABD 和等边 ABCE, AE 交 BD 于点 F, DC 交 BE 于点 G,求证：(1)AE 二 DC； (2)如果 A、B、C 不在同一 直线上，那么 现有一排数字如图 ZC—27, 它是一数在某一镜子中的像，试问：原数是多少? A ZC—25 ZC—26 ZC—27 C 是否仍然成立？如成立，请加以证明。 2. 在△ABC 中，AB 二 AC, AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所 yP 得的角为 50° ,求底角 ZB 的大小。 / VX E 3.