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课题 1 函数及其表示
一、课时目标
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、
解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
二、主要知识点
1．函数
(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．
(2)函数的三要素： ．
(3)函数的表示法： ．
(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同．
2．分段函数
在一个函数的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的
函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数．
三、经典例题
题型一 函数与映射的概念
【例 1】 下列对应是否是从集合 A 到 B 的映射，能否构成函数？
①A＝N，B＝Q，f：a→b＝ 1
a＋1
；
②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝1
n
，n∈N*}，f：x→y＝1
a
；
③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；
④A＝{平面 M 内的矩形}，B＝{平面 M 内的圆}，f：作矩形的外接圆．
【探究 1】 (1)映射只要求第一个集合 A 中的每个元素在第二个集合 B 中有且只有一个元
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素与之对应；至于 B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．
(2)函数是特殊的映射：当映射 f：A→B 中的 A、B 为非空数集时，即成为函数．
(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时
【变式 1】 (1)集合 A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从 A 到 B 的函数的是
( )
A．f：x→y＝1
2
x B．f：x→y＝1
3
x
C．f：x→y＝2
3
x D．f：x→y＝ x
(2)设 a 在映射 f 下的象为 2a＋a，则 20 在映射 f 下的原象为________
【例 2】 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
(1)f1：y＝x
x
；f2：y＝1.
(2)f1：y＝|x|；f2：y＝
x，
－x，
x>0，
x0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法．
6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如 y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最
值)或数形结合法．
7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，
第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．
五、课堂作业
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1．函数 的定义域是( )
A．(－3，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－3，－2) D．(－∞，－2]
2．(2013·山东)函数 f(x)＝ 1－2x＋ 1
x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－
3,1]
3．对函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作 x＝h(t)的代换，则总不改变函数 f(x)的值域的
代换是( )
A．h(t)＝10t B．h(t)＝t2
C．h(t)＝sint D．h(t)＝log2t
4．函数 y＝
4
x2－3x－4 3
|x＋1|－2
的定义域为________．
5．函数 y＝10x＋10－x
10x－10－x的值域为________．
课题 3 函数的单调性和最值
一、课时目标
1．理解函数的单调性及其几何意义．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．
3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．
二、主要知识点
1．单调性定义
(1)单调性定义：给定区间 D 上的函数 y＝f(x)，若对于 ∈D，当 x1＜x2 时，都
有 f(x1) f(x2)，则 f(x)为区间 D 上的增函数，否则为区间 D 上的减函数．
单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．
(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利
用定义证明单调性的一般步骤是 a.∀x1，x2∈D，且 ，b.计算 并判断符号，
c.结论．
②设 y＝f(x)在某区间内可导，若 f′(x) 0，则 f(x)为增函数，若 f′(x) 0，
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则 f(x)为减函数．
2．与单调性有关的结论
(1)若 f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则 f(x)＋g(x)为某区间上的 函
数．
(2)若 f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 函数．
(3)y＝f[g(x)]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y＝f[g(x)]
是 ．若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y＝f[g(x)]是 ．
(4)奇函数在对称区间上的单调性 ，偶函数在对称区间上的单调性 ．
(5)若函数 f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)的最大值为 ，最小值为 ，
值域为 ．
3．函数的最值
设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：①对于任意 x∈I，都有 ，
②存在 x0∈I，使得 ，那么称 M 是函数 y＝f(x)的最大值；类比定义 y＝f(x)的最
小值．
三、经典例题
题型一 单调性的判断与证明
【例 1】 判断函数 f(x)＝ ax
x2－1
(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
【探究 1】 (1)判断函数的单调性有三种方法：
①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．
(2)证明函数的单调性有两种方法：
①定义法；②导数法．
【变式 1】 设函数 f(x)＝2x＋a·2－x－1(a 为实数)．若 a0 恒成立，试求实数 a 的取值范围．
题型四 单调性的应用
【例 4】 (1)已知函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f(x2＋2x＋3)1，函数 f(x)＝ xloga 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1
2
，则 a＝
________.
5.平方法
【例 5】 已知函数 y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为 M，最小值为 m，则m
M
的值为( )
A.1
4
B.1
2
C. 2
2
D. 3
2
6.数形结合法
【例 7】 对 a，b∈R，记 max|a，b|＝
a，a≥b，
b，a0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b)
D．f(a)－f(b)0 且 a≠1)为 函数；
(3)函数 f(x)＝ alog 1－x
1＋x
为 函数；
(4)函数 f(x)＝ alog (x＋ x2＋1)为 函数．
5．周期函数
若 f(x)对于定义域中任意 x 均有 (T 为不等于 0 的常数)，则 f(x)为周期
函数．
6．函数的对称性
若 f(x)对于定义域中任意 x，均有 f(x)＝f(2a－x)，或 f(a＋x)＝f(a－x)，则函数 f(x)
关于 对称．
三、经典例题
题型一 ：判断函数的奇偶性
【例 1】 判断下列函数的奇偶性，并证明．
(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；
(3)f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
.
.
(5)f(x)＝ 1－x2
|x＋2|－2
；(6)f(x)＝(x－1) 1＋x
1－x
x∈(－1,1)．
【探究 1】 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇
函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断 f(－x)是否等于±
f(x)．
(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或 y 轴)对称．
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为
奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数
的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
【变式】1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ ln 2－x
2＋x
；
(2)f(x)＝ 1
ax－1
＋1
2
(a>0，且 a≠1)；
.
.
(3)f(x)＝
x2－2x x≥0 ，
x2＋2x x＜0 .
题型二 奇偶性的应用
【例 2】 (1)已知函数 f(x)为奇函数且定义域为 R，x＞0 时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式
为__________________________．
(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且 x∈[0,1)时 f(x)为增函数，则不等式 f(x)＋
f(x－1
2
)＜0 的解集为__________．
(3)函数 f(x＋1)为偶函数，则函数 f(x)的图像的对称轴方程为__________．
【探究 2】 奇偶函数的性质主要体现在：
(1)若 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)；
若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)．
(2)奇偶函数的对称性．
(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．
【变式 2】 (1)若函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足 f(π)1,0
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