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初高中数学衔接材料
目 录
引 入 乘法公式
第一讲 因式分解
1. 1 十字相乘法（重、难点）
1. 2 提取公因式
1. 3 公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）
1. 4 分组分解法
1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
2.2.2 二次函数的三种表示方式
2.2.3 二次函数的简单应用
引入 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 2 2( )( )a b a b a b ；
（2）完全平方公式 2 2 2( ) 2a b a ab b ．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b ；
（2）立方差公式 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b ；
（3）三数和平方公式 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab bc ac ；
（4）两数和立方公式 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ；
2
（5）两数差立方公式 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b ．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例 1 计算： 2 2( 1)( 1)( 1)( 1)x x x x x x ．
解法一：原式= 2 2 2 2( 1) ( 1)x x x
= 2 4 2( 1)( 1)x x x
= 6 1x ．
解法二：原式= 2 2( 1)( 1)( 1)( 1)x x x x x x
= 3 3( 1)( 1)x x
= 6 1x ．
例 2 已知 4a b c ， 4ab bc ac ，求 2 2 2a b c 的值．
解： 2 2 2 2( ) 2( ) 8a b c a b c ab bc ac ．
练习
1．填空：
（1） 2 21 1 1 1( )9 4 2 3a b b a （ ）；
（2） (4m 2 2) 16 4 (m m ) ；
(3 ) 2 2 2 2( 2 ) 4 (a b c a b c ) ．
2．选择题：
（1）若 2 1
2x mx k 是一个完全平方式，则 k 等于 （ ）
（A） 2m （B） 21
4 m （C） 21
3 m （D） 21
16 m
（2）不论 a ，b 为何实数， 2 2 2 4 8a b a b 的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应
了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
3
例 1 分解因式：
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3） 2 2( )x a b xy aby ； （4） 1xy x y ．
解：（1）如图 1．1－1，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成－
1 与－2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是 x2－3x＋2 中的一次项，
所以，有
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1．1－1 中的两个 x 用 1
来表示（如图 1．1－2 所示）．
（2）由图 1．1－3，得
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图 1．1－4，得
2 2( )x a b xy aby ＝ ( )( )x ay x by
（4） 1xy x y ＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图 1．1－5 所示）．
练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1） 652 xx __________________________________________________。
（2） 652 xx __________________________________________________。
（3） 652 xx __________________________________________________。
（4） 652 xx __________________________________________________。
（5） axax 12 __________________________________________________。
（6） 18112 xx __________________________________________________。
（7） 276 2 xx __________________________________________________。
（8） 9124 2 mm __________________________________________________。
（9） 2675 xx __________________________________________________。
－1
－2
x
x
图 1．1－1
－1
－2
1
1
图 1．1－2
－2
6
1
1
图 1．1－3
－ay
－by
x
x
图 1．1－4
－1
1
x
y
图 1．1－5
4
（10） 22 612 yxyx __________________________________________________。
2、 3 42 xxxx
3、若 422 xxbaxx 则 a ， b 。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1） 672 xx （2） 342 xx （3） 862 xx （4） 1072 xx
（5） 44152 xx 中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式 22 338 baba 得（ ）
A 、 3 11 aa B 、 baba 3 11 C 、 baba 3 11 D 、
baba 3 11
3、 2082 baba 分解因式得（ ）
A、 2 10 baba B、 4 5 baba
C、 10 2 baba D、 5 4 baba
4、若多项式 axx 32 可分解为 bxx 5 ，则 a 、b 的值是（ ）
A、 10a ， 2b B、 10a ， 2b C、 10a ， 2b D、 10a ，
2b
5、若 bxaxmxx 102 其中 a 、 b 为整数，则 m的值为（ ）
A、3或 9 B、 3 C、 9 D、 3 或 9
三、把下列各式分解因式
1、 321126 2 pqqp 2、 223 65 abbaa
3、 642 2 yy 4、 82 24 bb
2．提取公因式法
5
例 2 分解因式：
（1） baba 552 （2） 3 29 3 3x x x
解： （1）． baba 552 = )1)(5( aba
（2） 3 29 3 3x x x = 3 2( 3 ) (3 9)x x x = 2 ( 3) 3( 3)x x x
= 2( 3)( 3)x x ．
或
3 29 3 3x x x ＝ 3 2( 3 3 1) 8x x x ＝ 3( 1) 8x ＝ 3 3( 1) 2x
＝ 2 2[( 1) 2][( 1) ( 1) 2 2 ]x x x
＝ 2( 3)( 3)x x
练习：
一、填空题：
1、多项式 xyzxyyx 426 22 中各项的公因式是_______________。
2、 m x y n y x x y __________________。
3、 2 2 2m x y n y x x y ____________________。
4、 m x y z n y z x x y z _____________________。
5、 m x y z x y z x y z ______________________。
6、 52362 3913 xbaxab 分解因式得_____________________。
7．计算 99992 =
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、 baababba 242 22 ………………………………………………………… （ ）
2、 bammbmam …………………………………………………………… （ ）
3、 5231563 223 xxxxxx …………………………………………… （ ）
4、 111 xxxx nnn ……………………………………………………………… （ ）
3. 公式法
例 3 分解因式： （1） 164 a （2） 2223 yxyx
6
解：(1) 164 a = )2)(2)(4()4)(4()(4 222222 aaaaaa
(2) 2223 yxyx = )32)(4()23)(23( yxyxyxyxyxyx
练习
一、 22 2 baba ， 22 ba ， 33 ba 的公因式是______________________________。
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、
1.03
2 1.03
21.03
201.09
4 2
2
2 xxxx ………………………… （ ）
2、 babababa 43 434389 2222 ………………………………… （ ）
3、 bababa 45 451625 2 ………………………………………………… （ ）
4、 yxyxyxyx 2222 ………………………………………… （ ）
5、 cbacbacba 22 ……………………………………………… （ ）
五、把下列各式分解
1、 229 nmnm 2、
3
13 2 x
3、 22 244 xx 4、 12 24 xx
4．分组分解法
例 4 （1） xyxyx 332 （2） 2 22 4 5 6x xy y x y ．
（2） 2 22 4 5 6x xy y x y = 2 22 ( 4) 5 6x y x y y
= 22 ( 4) ( 2)( 3)x y x y y = (2 2)( 3)x y x y ．
或
2 22 4 5 6x xy y x y = 2 2(2 ) (4 5 ) 6x xy y x y
= (2 )( ) (4 5 ) 6x y x y x y
= (2 2)( 3)x y x y ．
练习：用分组分解法分解多项式（1） byaxbayx 222222
7
（2） 912644 22 bababa
5．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．
若 关 于 x 的 方 程 2 0( 0)ax bx c a 的 两 个 实 数 根 是 1x 、 2x ， 则 二 次 三 项 式
2 ( 0)ax bx c a 就可分解为 1 2( )( )a x x x x .
例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式：
（1） 2 2 1x x ； （2） 2 24 4x xy y ．
解： （1）令 2 2 1x x =0，则解得 1 1 2x ， 2 1 2x ，
∴ 2 2 1x x = ( 1 2) ( 1 2)x x
= ( 1 2)( 1 2)x x ．
（2）令 2 24 4x xy y =0，则解得 1 ( 2 2 2)x y ， 1 ( 2 2 2)x y ，
∴ 2 24 4x xy y =[ 2(1 2) ][ 2(1 2) ]x y x y ．
练习
1．选择题：
多项式 2 22 15x xy y 的一个因式为 （ ）
（A） 2 5x y （B） 3x y （C） 3x y （D） 5x y
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4） 4( 1) ( 2 )x y y y x ．
习题
1．分解因式：
（1） 3 1a ； （2） 4 24 13 9x x ；
（3） 2 2 2 2 2b c ab ac bc ； （4） 2 23 5 2 9 4x xy y x y ．
2．在实数范围内因式分解：
（1） 2 5 3x x ； （2） 2 2 2 3x x ；
8
（3） 2 23 4x xy y ； （4） 2 2 2( 2 ) 7( 2 ) 12x x x x ．
3． ABC 三边 a ，b ， c 满足 2 2 2a b c ab bc ca ，试判定 ABC 的形状．
4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2
2
2
4( )2 4
b b acx a a
． ①
因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数
根
x1，2＝
2 4
2
b b ac
a
；
（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－
2
b
a
；
（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 2( )2
bx a
一定大
于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我
们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表
示．
综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝
2 4
2
b b ac
a
；
（2）当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
2
b
a
；
9
（3）当Δ＜0 时，方程没有实数根．
例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出
方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；
（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的
实数根
2
1
4
2
a ax ，
2
2
4
2
a ax ．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，
所以，
①当 a＝2 时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
②当 a≠2 时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x1＝1，x2＝a－1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，
所以
①当Δ＞0，即 4(1－a) ＞0，即 a＜1 时，方程有两个不相等的实数根
1 1 1x a ， 2 1 1x a ；
②当Δ＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝1；
③当Δ＜0，即 a＞1 时，方程没有实数根．
说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，
在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想
方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问
题．
2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2
1
4
2
b b acx a
，
2
2
4
2
b b acx a
，
则有
2 2
1 2
4 4 2
2 2 2
b b ac b b ac b bx x a a a a
；
2 2 2 2
1 2 2 2
4 4 ( 4 ) 4
2 2 4 4
b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
10
如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ b
a
，x1·x2＝ c
a
．这一
关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2 是其两根，由韦
达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于 x1，x2 是一元二次方程
x2＋px＋q＝0 的两根，所以，x1，x2 也是一元二次方程 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两
个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．
例 2 已知方程 25 6 0x kx 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出
另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的
一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两
根之和求出 k 的值．
解法一：∵2 是方程的一个根，
∴5×22＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－ 3
5
．
所以，方程的另一个根为－ 3
5
，k 的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－ 6
5
，∴x1＝－ 3
5
．
由 （－ 3
5
）＋2＝－
5
k ，得 k＝－7．
所以，方程的另一个根为－ 3
5
，k 的值为－7．
例 3 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根
的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的
方程，从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，
因此，其根的判别式应大于零．
解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得
x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21，
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，
即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，
化简，得 m2－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或 m＝17．
当 m＝－1 时，方程为 x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当 m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
11
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的
范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的
值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是
否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例 4 已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利
用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是 x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x2－4x－12＝0，
∴x1＝－2，x2＝6．
∴ 1
1
2,
6,
x
y
或 2
2
6,
2.
x
y
因此，这两个数是－2 和 6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根．解这个方程，得
x1＝－2，x2＝6．
所以，这两个数是－2 和 6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法
一简捷．
例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
（2）求 2 2
1 2
1 1
x x
的值；
（3）x13＋x23．
解：∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根，
∴ 1 2
5
2x x ， 1 2
3
2x x ．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ 25 3( ) 4 ( )2 2
＝ 25
4
＋6＝ 49
4
，
∴| x1－x2|＝ 7
2
．
（2）
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
21 2 1 2 1 2
5 3 25( ) 2 ( ) 3( ) 21 1 372 2 4
3 9( ) 9( )2 4
x x x x x x
x x x x x x
．
12
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－ 5
2 )×[(－ 5
2 )2－3×( 3
2
)]＝－ 215
8
．
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一
个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则
2
1
4
2
b b acx a
，
2
2
4
2
b b acx a
，
∴| x1－x2|＝
2 2 24 4 2 4
2 2 2
b b ac b b ac b ac
a a a
2 4
| | | |
b ac
a a
．
于是有下面的结论：
若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝
| |a
（其中Δ＝b2－
4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数
a 的取值范围．
解：设 x1，x2 是方程的两根，则
x1x2＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
由②得 a＜17
4
．∴a 的取值范围是 a＜4．
练习
1．选择题：
（1）方程 2 22 3 3 0x kx k 的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于 x 的方程 mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值
范围是 （ ）
（A）m＜ 1
4
（B）m＞－ 1
4
（C）m＜ 1
4
，且 m≠0 （D）m＞－ 1
4
，且 m≠0
2．填空:
（1）若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x1 和 x2，则
1 2
1 1
x x
＝ ．
13
（2）方程 mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3 和 1 为根的一元二次方程是 ．
3．已知 2 8 16 | 1| 0a a b ，当 k 取何值时，方程 kx2＋ax＋b＝0 有两个不相等的实
数根？
4．已知方程 x2－3x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，求(x1－3)( x2－3)的值．
习题
A 组
1．选择题:
（1）已知关于 x 的方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程 x2＋2x－7＝0 的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程 x2－2x＋7＝0 的两根之和为－2，两根之积为 7；
③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为 0，两根之积为 7
3
；
④方程 3 x2＋2x＝0 的两根之和为－2，两根之积为 0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
（3）关于 x 的一元二次方程 ax2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程 kx2＋4x－1＝0 的两根之和为－2，则 k＝ ．
（2）方程 2x2－x－4＝0 的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．
（3）已知关于 x 的方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，则| x1－x2|＝ ．
3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m＋1) x＋1＝0 有两个不相等的实
数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2－7x－1＝0 各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若 关 于 x 的 方 程 x2 ＋ (k2 － 1) x ＋ k ＋ 1 ＝ 0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 k 的 值 为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若 m，n 是方程 x2 ＋2005x－1＝0 的两个实数根，则 m2n＋mn2 －mn 的值等
于 ．
（2）如果 a，b 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，那么代数式 a3＋a2b＋ab2＋b3 的值
是 ．
3．已知关于 x 的方程 x2－kx－2＝0．
14
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1＋x2)＞x1x2，求实数 k 的取值范围．
4．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1 和 x2．求：
（1）| x1－x2|和 1 2
2
x x ；
（2）x13＋x23．
5．关于 x 的方程 x2＋4x＋m＝0 的两根为 x1，x2 满足| x1－x2|＝2，求实数 m 的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两根，则这个直
角三角形的斜边长等于 （ ）
（A） 3 （B）3 （C）6 （D）9
（2）若 x1，x2 是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个根，则 1 2
2 1
x x
x x
的值为 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D） 3
2
（3）如果关于 x 的方程 x2－2(1－m)x＋m2＝0 有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ）
（A）α＋β≥ 1
2
（B）α＋β≤ 1
2
（C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知 a，b，c 是ΔABC 的三边长，那么方程 cx2＋(a＋b)x＋
4
c ＝0 的根的情况是
（ ）
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：
若方程 x2－8x＋m＝0 的两根为 x1，x2，且 3x1＋2x2＝18，则 m＝ ．
3． 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
（1）是否存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 3
2
成立？若存在，求出 k 的值；若不存
在，说明理由；
（2）求使 1 2
2 1
x x
x x
－2 的值为整数的实数 k 的整数值；
（3）若 k＝－2， 1
2
x
x
，试求 的值．
15
4．已知关于 x 的方程
2
2 ( 2) 04
mx m x ．
（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2|＝|x1|＋2，求 m 的值及相应的 x1，x2．
5．若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围．
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
{情境设置：可先通过具体实例探索二次函数的图象，
如作图（1） 2xy (2) 2xy (3) 322 xxy }
问题 1 函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝ 1
2 x2，y＝－2x2 的图象，通过这些函
数图象与函数 y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间所存在的关
系．
先画出函数 y＝x2，y＝2x2 的图象．
先列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2x2 … 18 8 2 0 2 8 18
从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2 的图
象（如图 2－1 所示），从图 2－1 我们可以得到这两个函数
图象之间的关系：函数 y＝2x2 的图象可以由函数 y＝x2 的
图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝
1
2 x2，y＝－2x2 的图象，并研究这两个函数图象与函数
y＝x2 的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象可以由 y＝x2 的图象
各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数 y＝
ax2(a≠0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在
同一个坐标系中的开口的大小．
问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k 与 y＝ax2 的图象之间
图 2.2-2
x
y
O－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
y＝x2y＝2x2
图 2.2-1
xO
y
16
存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们
可以作出函数 y＝2(x＋1)2＋1 与 y＝2x2 的图象（如图 2－2 所示），从函数的同学我们不难发
现，只要把函数 y＝2x2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y
＝2(x＋1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数 y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1 的图象，研究它们图象之间的
相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了
二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，
而且“k 正上移，k 负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
由于 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋ b xa
)＋c＝a(x2＋ b xa
＋
2
24
b
a
)＋c－
2
4
b
a
2
2 4( )2 4
b b aca x a a
，
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax2 的图象作左右平移、上下平
移得到的，于是，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
（1）当 a＞0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为
24( , )2 4
b ac b
a a
，
对称轴为直线 x＝－
2
b
a
；当 x＜
2
b
a
时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞
2
b
a
时，y 随着 x
的增大而增大；当 x＝
2
b
a
时，函数取最小值 y＝
24
4
ac b
a
．
（2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为
24( , )2 4
b ac b
a a
，
对称轴为直线 x＝－
2
b
a
；当 x＜
2
b
a
时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞
2
b
a
时，y 随着 x
的增大而减小；当 x＝
2
b
a
时，函数取最大值 y＝
24
4
ac b
a
．
上述二次函数的性质可以分别通过图 2．2－3 和图 2．2－4 直观地表示出来．因此，在
今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
x
y
O
x＝－
2
b
a
A
24( , )2 4
b ac b
a a
图 2.2-3
x
y
O
x＝－
2
b
a
A
24( , )2 4
b ac b
a a
图 2.2-4
17
例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或
最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线 x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当 x＝－1 时，函数 y 取最大值 y＝4；
当 x＜－1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞－1 时，
y 随着 x 的增大而减小；
采用描点法画图，选顶点 A(－1，4))，与 x 轴交于点
B 2 3 3( ,0)3
和 C 2 3 3( ,0)3
，与 y 轴的交点为 D(0，
1)，过这五点画出图象（如图 2－5 所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画
函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．
函数 y＝ax2＋bx＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数 a 决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为
a
bx 2
（3） 确定图象与 x 轴的交点情况，①若△>0 则与 x 轴有两个交点，可由方程 x2
＋bx＋c=0 求出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点，可由方程 x2＋bx＋c=0
求出③①若△
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