高二数学暑假学习材料2

1 专题辅导材料 2 复习（函 数） 一、要点透视 函数是高中数学最重要的内容之一，它内涵丰富，不仅其自身涉及到较多的思想方法，而且运用函数 去分析与解决其他数学问题也是历来高考热点之一。函数思想是解决数学问题的重要教学思想之一，它是 一根主线，贯穿整个高中数学的全过程。 主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数—— 一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图 象的对称性等。 数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归思想等也是本章的基本思想。 二、典型例题解析 例 1．已知集合  aA ,3,2,1 ，  bbbB 3,,7,4 24  。其中  Na ，  Nb ，若 Ax  ， By  ， 映射 BAf : 使 B 中元素 13  xy 和 A 中元素 x 对应。求 a 和b 的值。 解：A 中元素 x 对应 B 中元素 13  xy ， A 中元素 1 的象是 4，2 的象是 7，3 的象是 10。 104 b 或 1032  bb 又  Nb 104 b 无解，而由 1032  bb 解得 2b ， 那么 a 的象是 16244 b ，故 1513 a 5a 综上所述： 2,5  ba 例 2．判断下列各题中，函数 )(xf 与 )(xg 是不是同一函数？说明理由。 ① 1 1)( 2   x xxf ， 1)(  xxg ； ② 2)( xxf  ， xxg )( ； ③ 2)(  xxf ， 44)( 2  xxxg ； ④ 1)( xf ， 0)( xxg  ； ⑤ xxf ln)(  ， 2ln2 1)( xxg  ； ⑥ xxf )( ，       0 0 )( xx xx xg 解：① )(xf 的定义域是 1|  xRx ，而 )(xg 的定义域是 R， )(xf 与 )(xg 的定义域不同， )(xf 与 )(xg 是两个不同的函数。 ② )(xf 与 )(xg 的定义域都是 R，又 xxxf  2)( ，即 )(xf 与 )(xg 的对应法则边相同，所以 )(xf 与 )(xg 是相同函数。 ③由于 2)(  xxf ， 2)(  xxg ，它们对应法则不同，所以 )(xf 与 )(xg 是不同函数。 ④⑥是不同函数， )(xf 的定义域是 R，而 )(xg 的定义域是 0|  xRx ⑤是相同函数， )(xf 与 )(xg 的定义域都 0|  xRx ，又 xxxxg lnln22 1ln2 1)( 2  ，所 以它们的对应法则也相同。 2 说明：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个 函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。 例 3．求下列函数的定义域 ① xxy cos16 2  ② )23132lg( 4 2   xx xy ③ )lg(sin xy  解：①由           0cos 44 0cos 016 2 x x x x 结合右图： 故原不等式的解集是 ]2,2[  ②由         122132 022132 04 2 xx xx x 或            122132 022132 2 1 2 3 22 xx xx x x 或            122132 022132 2 3 22 xx xx x x 解之得： 4 1 2 1  x 或 24 1  x 或 4 72  x 或 2 3 4 7  x ③由 0sin  x  有   kxk 22 ， Zk  1212  kxk 当 0k 时， 1x 当 0k 时， Zk  ，则 k2 与 12 k 同正或同负， kxk 2 1 12 1  故定义域为    Zkkkxkxx ,0,2 1 12 11| 或 。 说明：求由函数解析规定的定义域，主要考虑以下几个因素①分式的分母不为 0；②偶次根式被开方 式大于等于 0；③对数真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1 等。 例 4．①已知函数 862  kxkxy 定义域为 R，则 k 的取值范围是 ②已知函数 )(xf 的定义域是 )1,1[ ，则函数 )12( xf 的定义域是 ③若函数 )12(  xfy 定义域是 )1,1[ ，则函数 )(xf 的定义域是 ④函数 )(xf 定义域是 )1,1[ ，则函数 )1()1()( 2xfxfxg  定义域是 解：①由 0862  kxkx ，则当 0k 时，显然 Rx  ；当 0x 时，要使 0862  kxkx ，对任 意 Rx  恒成立，当且仅当      0 0k 即      08436 0 2 kk k 9 80  k 综上所述： k 的范围是 9 80  k ②由 1121  x ，则 10  x ，即函数 )12( xf 的定义域是 )1,0[ ③由 )12( xf 的定义域是 11  x ，则 1123  x ， )(xf 的定义域是 )1,3[ 3 ④由      111 111 2x x 得 20  x ，故 )(xg 的定义域是 ]2,0( 例 5．函数 )22lg()( 2 mxf xx   的定义域是 R，求实数 m 的取值范围。 解：由 022 2   mxx 对 Rx  恒成立，即 x xm 2 42  对任意 Rx  恒成立。 而 4 2 42  x x （当且仅当 1x 时取“  ”） m 的取值范围是 4m 说明：对于恒成立问题，一般地，若 )(xfm  ， Ax  恒成立， m 的取值范围是 )(max xfm  ；若 )(xfm  ， Ax  恒成立，则 m 的取值范围是 )(min xfm  ， Ax  。 例 6．求下列函数的值域 ① 1542log 2 3 1  xxy ② xxy 212  ③ 53  xxy ④ 12 2   xx xxy 解：①由 33)1(21542 22  xxx ，故 542log 2 3 1  xxy 的值域是 ]2 1,(  ②令 x21 ，则 0 4 5)2 1(1121)21(212 22  xxxxy 结合二次函数的图象得出函数值域是 ]4 5,( y ③由            522 538 322 53 xx x xx xxy 8 53  xxy 图象如右 —3 0 5 x 故 53  xxy 的值域是 ),8[  ④ 04 3)2 1(1 22  xxx 函数的定义域是 R。 由 12 2   xx xxy 有 0)1()1( 2  yxyxy 当 1y 时，无解， 1 y 当 1y 时， 0)1(4)]1([ 2  yyy 即 0123 2  yy 13 1  y 综上原函数的值域是 )1,3 1[ 。 4 例 7．① 12 2)(   xaxf 是 R 上奇函数，解关于 x 的不等式 1)(1  xf ②函数 )(xf 的定义域为 R，对任意 x ， Ry  ，都有 )()()( yfxfyxf  ，且 0x 时， 0)( xf ， 2)1( f 。求 )(xf 在 ]3,3[x 上的最值。 解：① )(xf 是奇函数，对任意 Rx  ， )()( xfxf  即 12 2 12 2      xx aa ， 故 2 )12)(12( )122(2 )12)(12( 222222 12 2 12 22                xx xx xx xx xx a 1a 12 21)(   xxf 设 21 xx  ，则 ] 12 1 12 1[2 12 2 12 2] 12 21[] 12 21[)()( 12122121             xxxxxxxfxf )12)(12( 222 )12)(12( 12122 11 21 12 21     xx xx xx xx 由于 21 xx  ， 022 21  xx )()( 21 xfxf  故 )(xf 在 R 上是单调增函数，其值域为 )1,1( 又由 )11(1 1log)( 12 21 2 1      xx xxfy x 由 1)(1  xf 即 2log1 1log 22   x x              3 11| 21 1 01 1 xRx x x x x 故 1)(1  xf 的解集是    3 11| xRx 说明：本题在求 a 值也可由 0)0( f 直接求出 1a ，更加便捷。另外在解 1)(1  xf 时，也可如下 处理： )(xf 节 R 上单调增，由 1)(1  xf 则 )1())(( 1 fxff  即 3 1 3 21)1(  fx 又 )1,1(x )(1 xf  的解集是 )3 1,1( ②由于对任意 x 、 Ry  ，都有 )()()( yfxfyxf  )0()00()0()0( ffff  )0(f 又 )()()( xfxfxxf  0)()(  xfxf )()( xfxf  )(xf 是奇函数。 又设 21 xx  021  xx 0)( 21  xxf 即 0)()( 21  xfxf 即 )()( 21 xfxf  )(xf 是 R 上单调减函数 )3()(max  fxf ， )3()(min fxf  而 6)1()1()1()1()2()12()3(  fffffff 6)3()3(  ff 6)(max  xf ， 6)(min xf 例 8．设 Ra  ， Nn  且 2n ，如果 n annxf xxxx  )1(321lg)( 的定义域为 )1,( ， 求 a 的取值范围。 解 ： 由 题 意 ， 得 0)1(21  n ann xxx 的 解 集 为 )1,( ， 即 5 ])1()2()1[( xxx n n nna  在 )1,(x 上恒成立。 令 ])1()2()1[()( xxx n n nnxg  ， )1,,3,2,1()(  nin iy x 是减函数 又 1x ， n i n i n i x  1)()( 2 1]121[)1()(max n n n nngxg  得 a 的取值 范围为 )2(2 1  nna 当 2n 时， 2 1 n 取最大值，故 2 1a 说明：转化为恒成立问题，再求 )(xg 的最大值——利用单调性 例 9．对 a 的哪些值，函数 ax xy   2 1 的值域包含 ]1,0[ ？ 解：当 0y 时，若 1a ，则 01 1 1 1 2    xx x 无解；若 1a ，则 01 2    ax x 总有解。 故 1a 。 当 0y 时，则方程 0)1(2  ayxyx ，为使方程对 ]1,0(y 有解，则 0)1(41  ayy 24 41 y ya  对 ]1,0(y 恒成立。 设 24 41)( y yyf  ， ]1,0(y ，则 yyyf 1 4 1)( 2  在 ]1,0(y 上是两个减函数的和，也是减函数，故 4 5)1()(min  fyf 当 4 5a 时， 24 41 y ya  对 ]1,0(y 总成立，方程 y ax x    2 1 总有解。 综上所述，当 4 5a 且 1a 时，函数 ax xy   2 1 的值域包含 ]1,0[ 例 10．已知 2 1 1 1lg)(   xx xxf ，试证明 )(xfy  的图象上不存在两点 A、B，使直线 AB 恰好 与 y 轴垂直。 解：由       02 01 1 x x x 得      2 11 x x ，故函数 )(xf 的定义域是 )1,1( 设 )(xf 图象上存在不同两点 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，且 11 21  xx ，则 )2)(2(1 1 1 1lg)2 1 1 1(lg)2 1 1 1(lg)()( 21 12 2 1 1 2 22 2 11 1 2121       xx xx x x x x xx x xx xxfxfyy 11 21  xx 11 1 1 2   x x ， 11 1 2 1   x x ， 012  xx ， 021 x ， 022 x 01 1 1 1lg 2 1 1 2    x x x x ， 0)2)(2( 21 12   xx xx 021  yy 21 yy  故函数 )(xfy  在 )1,1( 上为减函数，则垂直于 y 轴的直线与 )(xfy  的图象至多有一个交点。所以， 函数 )(xf 图象上不存在两点 A、B，使直线 AB 与 y 轴垂直。 说明：问题的实质是证明函数具有某种单调性。 例 11．已知 )0(1)( 2  aaxxxf 在 ),0[  上为单调函数，求 a 的取值范围。 6 解：在区间 ),0[  上任取 1x 、 2x ，则  2 2 21 2 121 11)()( axxaxxxfxf ] 11 )[( 2 2 2 1 21 21 a xx xxxx    要使 )(xf 在 ),0[  上单调增，即当 210 xx  时，要 0)()( 21  xfxf ，只要 0 11 2 2 2 1 21    a xx xx 恒成立，由 1 11 0 2 2 2 1 21    xx xx ，应有 0a ，但条件 0a ，故与 题设矛盾，舍去。 同 理 ， 要 使 )(xf 在 ),0[  上 是 减 函 数 ， 即 0 11 2 2 2 1 21    a xx xx 恒 成 立 ， 即 11 2 2 2 1 21   xx xxa 在 ),0[  恒成立，又由 1 11 0 2 2 2 1 21    xx xx 可得 1a 综上所述， 1a 时函数 )(xf 在 ),0[  上为单调减函数。 说明：本题针对函数单调性，作逆向分析，将问题转化为恒成立问题，对函数单调性的概念考查深入。 例 12．①解方程 036)37( 55  xxx ；②设 a 、b 、 c 是三角形的三边长， 求证： 111  c c b b a a 解：①原方程 036)37( 55  xxx 即为 xxxx  55 )37()37( 构造函数 xxxf  5)( ，易知函数 )(xf 在 R 上是增函数，于是原方程化为 )()37( xfxf  由 )(xf 是单调增函数， xx  37 故 2 1x 原方程的解是 2 1x ②设 )0(1)(  xx xxf ，则 1 111 11)(   xx xxf ， )(xf 在 ),0(  上是增函数，又 0 cba )()( cfbaf  即 11   c c ba ba 又 11111   b b a a ba b ba a ba ba 111  c c b b a a 说明：本题是函数单调性的应用。 例 13．动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C、D，再回到 A，设 x 表示点 P 的行程，y 表示 PA 的长，求 y 关于 x 的函数式。 解：如图，当点 P 在 AB 边上运动点， xPA  ； 当点 P 在 BC 边上运动时， D P C 2)1(1  xPA ； P 当点 P 在 CD 边上运动时， 2)3(1 xPA  ； P 当点 P 在 DA 边上运动时， xPA  4 故所求函数式为 A B 7               )43(4 )32(106 )21(22 )10( 2 2 xx xxx xxx xx y 例 14 ． 已 知 )(xf 是 定 义 在 ]2,2[ 上 偶 函 数 ， 当 ]2,0[x 时 )(xf 是 减 函 数 ， 如 果 不 等 式 )()1( mfmf  恒成立，求实数 m 的取值范围。 解： )(xf 是偶函数 )()( xfxf  不等式 )()1( mfmf  等价于 )()1( mfmf           mm m m 1 2 21 即       22)1( 22 212 mm m m 解之得： 2 11  m 说明：本题充分利用偶函数的性质： )()( xfxf  ，简化分解过程中繁琐的讨论。 例 15．若函数 dcx baxy   的图象与其反函数的图象完全重合，其中实数 a 、b 、 c 、 d 满足： 0))(( 2222  dcba ，则此函数应具有怎样的解析式？ 解：由 dcx baxy   得 baxdcxy  )( ， dybxacy  )( acy dybx   函数 dcx baxxf  )( 的反函数 acx dxbxf   )(1 由题设 )(xf 的图象与 )(1 xf  的图象完全重合可知，对定义域内的一切实数 x 都有 )()( 1 xfxf  即 acx dxb dcx bax    即 0)()()( 222  babcxadxdac        0)( 0 0)( 22 dab da dac 当 0b ， 0c ， ad  时 xy  ；当 0b ， 0c ， ad  时， a bxy  当 0c ， ad  时， acx baxy   因此函数具有以下三种形式： xy  ， a bxy  ， acx baxy   例 16．已知二次函数 )0()( 2  acbxaxxf 满足 )3()5(  xfxf ， 0)2( f ，且方程 xxf )( 有等根。 ①求 a 、b 、 c ； ②是否存在实数 m 、 )( nmn  ，使得函数 )(xf 在定义域内 ],[ nm 值域为 ]3,3[ nm 。如果存在，求出 m 、 n 的值，如果不存在，请说明理由。 解：① )5()5(  xfxf )(xf 的图象关于直线 1x 对称，即 12  a b …① 0)2( f 024  cba …② xxf )( 即 0)1(2  cxbax 有等根， 8 04)1( 2  acb ③ 由①②③三个式得 2 1a ， 1b ， 0c ②由①得 2 1 2 1)1(2 1 2 1)( 22  xxxxf 2 13  n ， 6 1n 2 1 6 1  nm )(xf 在 ],[ nm 上是单调增函数      nnf mmf 3)( 3)( 即        nnn mmm 32 1 32 1 2 2 m 、 n 是方程 xxx 32 1 2  的两个不等根。 解得      40 40 nn mm 或 或 6 1 nm 4m ， 0n 答：存在 4m ， 0n 满足条件 9 巩固练习 1．已知映射 BAf : ，其中  4,3,2,1,1,2,3 A ，B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对 任意的 Aa  ，在 B 中和它对应的元素是 a ，则 B 中元素的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．设集合 A 和 B 都是 *N ，映射 BAf : 把集合 A 中的元素 n 映射到 B 中元素 nn 2 是在映射 f 下， 象 20 的原象是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．从集合  baA , 到集合  2,1B 的映射共有（ ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A． xxf )( ， 2)( xxg  B． 2)( xxf  ， 2)()( xxg  C． 1 1)( 2   x xxf ， 1)(  xxg D． 11)(  xxxf ， 1)( 2  xxg 5．下列图象中，不可能是函数 )(xfy  的图象是（ ） y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x A B C D 6．函数 xx xxf   0)1()( 的定义域是（ ） A． 0| xx B． 0| xx C． 10|  xxx 且 D． 10|  xxx 且 7．如果函数 )2 3(32)(  xx cxxf 满足 xxff )]([ ，则 c （ ） A．3 B．—3 C．3 或—3 D．5 或—3 8．若函数 )(xfy  的定义域为 ]4,2[ ，则函数 )21()12()( xfxfxg  的定义域是（ ） A． ]2,2 1[ B． ]2 3,2 1[ C． ]2 5,2 3[ D． ]2 3,2 3[ 9．已知函数       )0( )0( )( 2 xx xx xf ，       )0( )0( )( 2 xx xx xg 那么，当 0x 时， )]([ xfg （ ） A． x B． 2x C． x D． 2x 10．函数 )(xf 满足 )()()( abfbfaf  ，且 mf )5( ， nf )7( ，则 )175(f 11．由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为 。 10 12．函数 261 1)( xxx xxf   的定义域是 13．函数 86 2)( 2   kxkx xxf 的定义域是 R，则 k 的取值范围是 14． 13432  xxy 值域是 15．       ]1,0[3 ]1,0[1 )( xx x xf ，则方程 1)]([ xff 的解集是 16．已知 )(xfy  定义域是 ]1,0[ 求① )()( 2 xxfxg  的定义域；② )()()( axfaxfxh  定义 域； 17．若 1)1(2 1)( 2  xxf 的定义域和值域都是 ],1[ b ，求b 11 能力提高 1．已知函数 )2( xfy  的定义域是 ]2,1[ ，则 )(log 2 xfy  的定义域为（ ） A． ]2,1[ B． ]16,4[ C． ]1,0[ D． )0,( 2．已知函数 )(xf 是偶函数，定义域为 R，且在 ],0[  上递减，则下列各式正确的是（ ） A． )1()4 3( 2  aaff B． )1()4 3( 2  aaff C． )1()4 3( 2  aaff D． )1()4 3( 2  aaff 3．在区间 ]2,2 1[ 上，函数 qpxxxf  2)( 与 2 12)( x xxg  在同一点处取得相同的最小值，那么 )(xf 在 ]2,2 1[ 上的最大值是（ ） A． 4 13 B． 4 C．8 D． 4 5 4．已知函数 )log(log)( 2 2 xxxf aa  的定义域是 )2 1,0( ，则实数 a 的取值范围是（ ） A． )2 1,16 1[ B． )2 1,32 1[ C． )2 1,64 1[ D． )2 1,28 1[ 5．对于满足 40  p 的所有实数 p ，使不等式 342  pxpxx 都成立的 x 的取值范围是（ ） A． 3x B． 1x C． 13  xx 或 D． 31  x 6．现有一组实验数据如下： t ：1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v ：1.5 4.04 7.5 12 18.01 准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ） A． tv 2log B． tv 2 1log C． 2 12  tv D． 22 t 7． 5log)(log 2 4 1 2 4 1  xxy ， ]4,2[x 的值域是 8． 1loglog 2 1 2 2 1  xxy 的单调增区间是 9．若 axf xx lg22)(   为奇函数，则实数 a 10．若函数 )2(log)( axxf a  在 ]1,0[ 上单调递减，则 a 的取值范围是 11．设二次函数 12)2(24)( 22  ppxpxxf ，若存在 ]1,1[c 使 0)( cf ，则实数 p 的取值 范围是 12．若关于 x 的方程 )(log1 2 2 axx  有正数解，则 a 的取值范围是 13．若 10  a 且 0logloglog 31212   xxx aa a ，则 1x 、 2x 、 3x 的大小关系是 14．设 a 是正数， )0,0(2  yxyax 记 2 2 13 xxy  的最大值是 )(aM 。求： （1） )(aM 表达式； （2） )(aM 的最小值。 12 15．定义在 )1,1( 上的函数满足：①对任意 )1,1(, yx 都有 )1()()( xy yxfyfxf   ；②当 )0,1(x 时， 0)( xf 。求证： （1） 0)0( f ； （2） )(xf 在 )1,1( 上是减函数； （3） )2 1() 13 1()19 1()11 1()5 1( 2 f nn ffff    16．已知函数 )01,0()lg()(  bakbkaxf xx 定义域为 0| xx 。问：是否存在实数 ba, ， 使得 ),1( x 时， )(xf 的值可取一切正实数，且 4lg)3( f ？若存在，求出 ba, 的值；若不存在，请 说明理由。 13 参考答案 1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 9．B 10． nm 2 11．8 12． ]2,1[]1,3[  13． ),1(  14． ],2 7[  15． 74310|  xxxx 或或 16．① ]2 15,0[]1,2 51[   ②当 02 1  a 时， ]1,[ aa  当 2 10  a 时， ]1,[ aa  17． 3b 参考答案 1．B 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C 7． ]4 17,4[ 8． ]2 2,0( 9．10 10． 21  a 11． 2 33  p 12． 02  a 13． 231 xxx  14．①             32 )21(62 )3210(2)3(2 1 2 2 )( a aaa aaa M a 或 ②2 15．证略 16．存在 2 15 a ， 2 15 b