高二数学暑假学习材料1

1 暑期专题辅导材料 1 一、本讲进度 第六章 不等式 6.3 算术平均数与几何平均数 二、主要内容 基本不等式：a，b>0 时， 2 ba  ≥ ab 的运用。 三、学习指导 1、本节给出的两个基本不等式为：①a，b∈R 时，a2+b2≥2ab（当且仅当 a=b 时“=” 号成立）；②a，b≥0 时，a+b≥2 ab （当且仅当 a=b 时“=”号成立）。这两个公式的结 构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据 题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ 2 ba 22  ，ab≤ 2)2 ba(  。对不等 式 ab≤ 2 ba 22  ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 2 ba 22  。 由高一学习可知， 2 ba  称为 a，b 的等差中项， ab 称为 a，b 的等比中项，故算 术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中 项”。 同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当 a，b，c>0 时， a+b+c≥ 3 abc ，当且仅当 a=b=c 时，等号成立，……乃至 n 元基本不等式；当 ai>0（i=1， 2，…，n）时，a1+a2+…+an≥ n n21 aaa  。 二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当 a>0，b>0 时， b a a b  ≥2，a+ a 1 ≥2 等。 当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如 a1，0b>0，求函数 y=a+ b)ba( 1  的最小值； （6）求函数 y=x(10-x)(14-3x)（00 ， W2=3x+2y+2 y2x3210y2x3  ≤ 4 22 )y2()x3(10  =10+(3x+2y)=20 ∴ W≤ 5220  （4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为 x 的二次，为使积的结果在分 式位置上出现 x2，应对 4x 均匀裂项，裂成两项即可。 f(x)=2x+2x+ 2x 9 ≥ 33 2 36 x 9x2x23  （5）本题思路同（1）： y=(a-b)+b+ )ba( 1  ≥ 3b)ba( 1b)ba(3 3  （6）配 x 项前面系数为 4，使得与后两项和式中的 x 相消 y= 3 1 (4x)(10-x)(14-3x)≤ 2)3 x314x10x4(3 1  = 3 512)3 24(3 1 3  （7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到  22 sincos =1 为常数，应对解 析式平方。 y>0，y2= )cos2(sinsin2 1cossinsincossin 22222224  ≤ 27 4)3 cos2sinsin(2 1 3 222  y≤ 39 2 例 4、已知 a，b 为正实数，2b+ab+a=30，求函数 y= ab 1 的最小值。 解题思路分析： 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数 问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基 本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求 出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、 法一： 1b b230a   ， 1b b30b2b1b b230ab 2    由 a>0 得，00，b>0，x∈[c，+∞），c>0）的最小值时，有下列结 论 6 （1）若 c≤ b a ，当且仅当 x= b a 时， ab2y min  ； （2）若 c> b a ，当且仅当 x=c 时， bcc ay min  。 例 6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池（平面图如 图），如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池 底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价 最低，并求出最低造价。 解题思路分析： 这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考 虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价 是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设 相关墙壁长度为未知数。 若设污水池长为 x 米，则宽为 x 200 （米） 水池外圈周壁长： x 2002x2  （米） 中间隔墙长： x 2002  （米） 池底面积：200（米 2） 目标函数： 200802x 200248)x 2002x2(400y  1600)x 324x(800  ≥ 448001600x 324x1600  同步练习 （一）选择题 1、设 a，b∈R，且 a≠b，a+b=2，则下列不等式成立的是（ ） A、 2 baab1 22  B、 2 ba1ab 22  C、 12 baab 22  D、 1ab2 ba 22  3、若 a，b∈R，且 ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（ ） A、a2+b2+c2≥2 B、(a+b+c)2≥3 C、 c 1 b 1 a 1  ≥ 32 D、a+b+c≤ 3 7 4、x>0，y>0，则下列不等式中等号不成立的是（ ） A、 x 1x 1 x 1x  ≥2 B、 )y 1y)(x 1x(  ≥4 C、 )y 1 x 1)(yx(  ≥4 D、 2)2 ylgxlg(  ≤ 2 ylgxlg 22  5、在下列函数中，最小值为 2 的是（ ） A、 5 x x 5y  （x≠0） B、 xlg 1xlgy  （10，b>0，a≠b，则下列各式中最小的是（ ） A、 ba 1  B、 ab2 1 C、 ab2 1 D、 22 ba 1  9、函数 xsin 1xsiny  ，x∈（0， 4  ]的最小值是（ ） A、2 B、 2 C、 22 3 D、不存在 10、已知 x>0，y>0，x+y≤4，则下列不等式成立的是（ ） A、 yx 1  ≤ 4 1 B、 y 1 x 1  ≥1 C、 yx  ≥2 D、 xy 1 ≥1 （二）填空题 11、若 x0，当 x=________时， 2x xy 2   的最大值是__________。 13、03，当 x=________时， 3x 1xy   最小值是__________。 15、若 x∈（0， 4  ]，当 x=________时， xsin 1xsiny  有______值是________。 （三）解答题 8 16、正数 a，b，c 满足 a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。 17、已知 a>0，b>0，ab-(a+b)=1，求 a+b 的最小值。 18、若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 19、已知 a>b>c，n∈N+，且 ca 1 ba 1  ≥ ca n  恒成立，求 n 的最大值。 20、某房屋开发公司用 100 万元购得一块土地，该地可以建造每层 1000m2 的楼房， 楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每 升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高 5%。已知建筑 5 层楼房时，每平方米建筑费 用为 400 元，公司打算造一幢高于 5 层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用 最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 参考答案 （一）选择题 1、B。 ∵a≠b，a>0，b>0，∴ab< 1)2 ba( 2  ， 2 ba 2 ba 22  =1， 2 ba 22  >1。 2、B。 由 a>b>0 得， a2 aa 2 ba  ， bbbab  。 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=3。 4、A。 令 t= x 1x  ，则 t≥2， t 1t  在[2，+∞）上递增， t 1t  ≥ 2 5 2 12  ，即 x 1x 1 x 1x   ≥ 2 5 ， x 1x 1 x 1x   不能取到最小值 2。 5、C。 x xxx 3 1333y   ≥ 2 3 132 x x  ，当且仅当 xx 33  ，x=0 时等号成 立。 6、D。 x3 >0， y3 >0， yx 33  ≥ 3183232 5yx  ，当且仅当 x=y= 2 5 时取得最 小值。 7、D。 x>y>1，lgx>0，lgy>0，lgx·lgy= 4)2 ylgxlg( 2  ，当且仅当 lgx=lgy=2， x=y=100 时等号成立。 8、A。 比较分母 a+b， ab2 ， ab2 ， 22 ba  大小即可。 9 a+b> ab2ab2ab2  , ba)ba(ab2baba 22222  。 9、C。 令 t=sinx，t∈（0， 2 2 ]， t 1ty  在（0， 2 2 ]上递减，∴ 2 2t  ，即 4x  时， 22 322 2y min  。 10、B。 ∵x>0，y>0 时， y 1 x 1 2  ≤ 2 yx  ，∴ y 1 x 1  ≥ yx 4  ≥ 14 14  。 （二）填空题 11、 624,2 6  ∵x0，∴ x 3)x(2  ≥ 62 ，∴y=4-2x- x 1 ≥ 624  ，当且仅当-2x= x 3  ，x2= 2 3 ，x= 2 6 （舍正）时，等号成立。 12、 4 2,2 ∵x>0，∴ x 2x 1y   ≤ 4 2 22 1 x 2x2 1   ，当且仅当 x= x 2 ，x2=2， x= 2 （舍负）时，等号成立。 13、 4 1,8 1 ∵00，∴ )x41(x4  ≤ 4 1)2 x41x4( 2  ，∴ )x41(x  ≤ 16 1 ，∴y≤ 4 1 ，当且仅当 4x=1-4x，x= 8 1 时等号成立。 14、 4，5 ∵x>3，∴x-3>0，∴ 3x 1)3x(y  +3≥ 3x 1)3x(2  +3=5，当 且仅当 3x 13x  (x-3)2=1，x=4，或 x=2（舍）时等号成立。 15、 22 3,,4 小 （三）解答题 16、证明：∵ a+b+c=1 ∴ 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b ∵ a>0，b>0，c>0 ∴ b+c≥2 bc >0 a+c≥2 ac >0 a+b≥2 ac >0 将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc 10 即 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 17、解：∵ a>0，b>0 ∴ ab≤ 2)2 ba(  又 ab=a+b+1 ∴ a+b+1≤ 4 )ba( 2 令 t=a+b ∴ t2-4t-4≥0 ∴ t≥2(1+ 2 )，或 t≤2(1- 2 )（舍） ∴ )21(2)ba( min  ，当且仅当 a=b=1+ 2 时等号成立。 评注：本题亦可用消元思想求解。 由 ab-(a+b)=1 得： 1b 211b 1ba   +b ∴ a+b=1+ 1b 2  +b=(b-1)+ 21b 2  ∵ a>0，b>0 ∴ b>1 ∴ (b-1)+ 21b 2  ≥ 222  ∴ a+b≥ 222  ，当且仅当 b=1+ 2 ，a=1+ 2 时等号成立。 18、解：设直角三角形两直角边长分别为 a，b，则条件为 1baba 22  ，目 标函数为 S= ab2 1 ，求 S 的最大值。 令 ab=t 则 a+b≥ t2ab2  ，a2+b2≥2ab=2t， 22 ba  ≥ t2 ∵ a+b+ 22 ba  ≥ t)22(t2t2  ∴ t ≤ 2 22 22 1   ∴ S≤ 4 223  ， 4 223Smax  当且仅当 a=b= 2 22  时，取得最大值。 19、解：∵ a-c>0 ∴ cb 1 ba 1  ≥  ca n a≤ )cb 1 ba 1)(ca(  11 令 )cb 1 ba 1)(ca(y  则 n≤y  n≤(y)min ∵ a-c=(a-b)+(b-c)≥ 0)cb)(ba(2  cb 1 ba 1  ≥ 0)cb)(ba( 12  ∴ )cb 1 ba 1)(ca(  ≥4 ∴ ymin=4 ∴ n≤4 又 n∈N+ ∴ nmax=4 20、解；设该楼建成 n 层，则整幢楼每平方米的建筑费用为 400+400(x-5)×5%（元） 又每平方米购地费用为 x 1000 x1000 10100 4  （元） 故每平方米的平均综合费用 300)x 50x(20%5)5x(400400x 1000y  ≥ 3002200300x 50x220  ，当且仅当 x 50x  ，x2=50，x≈7 时，y 最小 ∴ 大楼应建成 7 层综合费用最低。 附录 例 2 的解： (x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=y(x+y)+z+xz ∵ x>0，y>0，z>0 ∴ y(x+y=z)>0，xz>0 ∴ y(x+y+z)+xz≥ 2)zyx(xyz2xz)zyx(y2  当且仅当           1)zyx(y 1xz,1)zyx(xyz xz)zyx(y 时等号成立。 例 3 的解： （1）∵ x>1 ∴ x-1>0 ∴ 41x 4)1x(311x 4x3  ≥ 34441x 4)1x(32  当且仅当 1x 4)1x(3  ， 33 21x  时等号成立。 12 （2） 2 y 2 1x2y1x 2 2  ≤ 2 2 1 2 yx 22 )2 y 2 1(x 2 2 22 2 2     = 24 3 2 2 11 2    当且仅当                 2 2y 2 3x , 12 yx 2 y 2 1x 2 2 2 时等号成立。 （3）∵ x>0，y>0 ∴ W>0 ∴ W2= y2x3210y2x32y2x3)y2x3( 2  ≤10+3x+2y=20 ∴ W≤ 52 当且仅当              2 5y 3 5x ,10y2x3 y2x3 时等号成立。 （4）∵ x>0 ∴ 2x 9x2x2y  ≥ 33 2 363 x 9x2x23  当且仅当 2x 9x2  ， 3 2 9x  时等号成立。 （5）∵ a>b>0 ∴ a-b>0 ∴ b)ba( 1b)ba(y  ≥ 3b)ba( 1b)ba(3 3  当且仅当           1b 2a, b)ba( 1b bba 时等号成立。 （6）∵ 00，14-3x>0 ∴ )x314()x10()x4(4 1y  ≤ 3 512)3 24(4 1)3 x314x10x4(4 1 33  当且仅当      x314x4 x10x4 ，x=2 时等号成立。 13 （7）∵ 0