高二数学暑假作业3

高二数学暑假作业(3) 一、选择题 1.若关于肓线加丿与平而 G, 0,有下列四个命题: 1 若 m/ /a.n/ //3，且 a 11p，则 m / In ； ②若 m 丄 a,丄 0, 且 G 丄 0,则加丄 n ； ③若加丄 a.n /1P , 且 G//0,则加丄刃； ④若加/1 a, n 丄 P ,且 Q 丄 0 ,则 ml In x 其中真命题的序号（ ) A.①② B.③④ C.②③ D.① 2. jfiia 丄 0,直线 bua, mu 卩，且 b 丄加，则/?与 0 （ ) A. b 丄〃 B b 与 0 斜交 C. D.位置关系不确定 3.已知四面体 ABCD 屮，EF 分别是 AUBD 的屮点，若 AB = 4, CD = 2, EF 丄 AB , 则 EF 与 CD 所成角的度数为（ ） A. 90° B. 45° C. 60° D. 30° 4.设正方体 ABCD_A\BCD\的棱长为 2,则点 Q 到平面 A}BD 的距离是（） 5. 四棱柱 ABCD—A.B.C.Di 的三视图如右图所示•则异面直线 D£与 A G 所成的角为（ D. 2 厲 "T" 2 Di Ci I Bi 俯视 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（） A- 3+4 3 B. 2 龙+4 C.龙+4 D.龙+2 7.在正方体 ABCD-\BXCXD{^, M 是线段 AG 的屮点，若四面体 M - ABD 的外接球 体积为 36 龙，则正方体棱长为（） A. 8. C. 4 则该四棱锥的体积为 D. 5 ) A. 9. A. B. C. D. 10 T 已知两个不重合的平面□ , B 和两条不同直线 若 m 丄 n, n 丄（】，me P ,贝 lj a 丄 B 若 a 〃 B , n 丄 a , m 丄 0 ,则 m//n 若 m 丄 n, nu a , mu B , 贝 U a 丄 P 若 a 〃 0 , nu a , m// 0 ,则 m〃n 2 B.- 3 C. 3 D. m, n 则下列说法正确的是（ ） 10. 在下列四个疋方体中，能得 111 AB 丄 CD 的是（） B. B. 32 11. 如图,在正四棱柱 ABCD - AiBiC.Di 中,AA 尸 2, AB=BC=1,动点 P、Q 分别在线段 GD、 AC 上，则线段 PQ 长度的最小值时（） A.书 B•誓 C.| 12. 四棱柱棱 ABCD-A^C^中，AB = BC, M = 2AB ,则 CD 与平而 BDC｛所成角 的正弦值等于（） 2 V3 、近 1 A. - B.丄— C.丄一 D. 3 3 3 3 二、填空题 13. 已知立方体 ABCD-A!BfCD\E,F,G,H 分别是棱 AD,BB'・ B'C', £>"中点，从中任 取两点确定的直线中，与平面 ABD 平行的冇____________条. 14. 设加/是不同的直线，%队丫是不同的平面，有以下四个命题: ①第卜如②驚｝"丄 0 一 丄 小—m 〃 n ③加/0〕》丄 0④“打 5〃“ •其中，正确的命题是________ 15. iuS, ABCD—A1B1C1D1 为正方体,下而结论: 1 BD 〃平面 CB】D］； 2 ACi±BD； 3 AG 丄平 CBiD.； 4 异面直线 AD 与 CBi 所成角为 60° . 错误的有___________ .（把你认为错谋的序号全部写上） • • 16.已知正三棱锥 P-ABC，点 P,A,B 都在半径为 V3 的球面上，若 PA,PB,PC 两两互 相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________. 三、解答题 17 ・在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD ,底面 ABCD 为直角梯形, ZCDA = ZBAD = 90\ AB = AD = 2DC = 2 近,PA = 4.f\.E 为 PB 的中点. （1） 求证：CE//平面 PAD； （2） 求直线 CE 与平面 PAC 所成角的正切值. 18. 如图所示，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AD 丄 CD, AB〃CD, AB 二 AD 二去 D 二 2，EC (0/2, V2,0), = (0,0,4),设平面 PAC 的法向量为 n - (%, y, z)，则有 AC n = 2\[lx + 41y - 0 APn = 4z = 0 故不妨 n = (-1,2,0),则 sin a =| cos < CE, n>\=①⑷. \CEV\n\ 从而可 2^3x75 V15 得 cos a = J taw 等.••直线 CE 与平而 PAC 所成角的正切值为等 D _______ R c 考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.线面角的求解. 18. (1)证明见解析(2)入仝(舍)或入=卫 2 4 【解析】 试题分析：(1)収 DE 中点 N,连结 MN, AN,则山中位线定理可得 BM/7AN,从而 BM〃平面 ADEF； (2)建立空间坐标系，求出平面 ABF 和平 BDM 的法向量，根据法向量夹角与二面角的关 系 列方程解出入. 证明:(1)取 DE 中点 N,连结 MN, AN, 当 X=1 时，M 为 EC 中点,又 N 是 DE 中点, ・・・ MN〃CD, MN 二？CD ・ ・・・ AB〃MN, AB 二 MN. ・・・四边形 ABMN 是平行四边形, ABM#AN, TANu 平面 ADEF, BMQ 平面 ADEF, ・・・ BM〃平面 ADEF. (2)以 D 为坐标原点建立空间坐标系如图: 则 AD 为平面 ABF 的一个法向量，兀二(- 2, 0, 0)- DB= (2, 2, 0)，DM 二(0, 4X , 2-2X ). 入一 1 设 FF (x, y, z)为平面 BDM 的一个法向量, 2x+2y=0 、，令得二(匕竺 解得 7 (舍)或"弐 0X 考点：直线与平面平行的判定；二面介的平面和及求法. 【解析】 试题分析：(1)证明异面直线垂直一般的思路是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到 线 线垂直.根据已知条件 ZABD = ZCBD , AB = BC,可以得到= 所以 AD = CD ・再取 4C 的中点 E,连接 BE, DE ,可以得到 BE 丄 AC, DE 丄 AC,且 BE^DE = E,所以 AC 丄 BDE,根据线面垂直的性质 AC 丄 50； (2)求解二面角的关 键是找出二曲角.如图，作 CH BD 于 H ,因为 ABD 丄 CBD,所以 CH 丄 ABD ： 再作 CK 垂直 AD 于 K,连接 HK,根据 CH 丄 ABD 得 CH 丄 HK,又根据三垂线定理 知 HK 丄 AD,所以 ZHKC 为二面角 C-AD-B 的平而角，在 4CHK 中求解 ZCKH 即 可. 试题解析：(1)证明：VZABD=ZCBD, AB 二 BC, BD=BD. AAABD^ACBD,「.AD 二 CD. 取 AC 的屮点 E,连结 BE, DE,则 BE 丄 AC, DE 丄 AC. 乂 VBEADED, BEu 平面 BED, BDu 平面 BED,.・.AC 丄平面 BED, ・・.AC 丄 BD. (2)解：过 C 作 CH 丄 BD 于点 H.则 CHu 平面 BCD, 又•・•平面 ABD 丄平面 BCD,平面 ABD fl 平面 BCD 二 BD, ・・・ CH 丄平面 ABD. 过 H 做 HK±AD 于点 K,连接 CK ・ TCH 丄平面 ABD, ・・・ CH 丄 AD, 乂 HKACH=H, ・・・ AD 丄平面 CHK, ・・・ CK 丄 AD. ・・・ ZCKH 为二面角 C-AD-B 的平面角. 连接 All. VAABD^ACBD, ・・.A1I 丄 BD. V ZABD=ZCBD=60° , AB 二 BC=2, _5 _3 ・・・ AH 二 CH=U^, BH=1 ・ VBD= 2, :,m= 2. V21 AH ・ DH 3 听 V30 ・・・二而角 C-AD-B 的余弦值为 10 2 4 19. (1)证明见解析;(2) ・・・ AD 二 2 ,・・.HK 二 AD = 了. 考点：1、异而宜线垂肓的判断；2、二面角• 20. ⑴详见解析；（2）訶⑶罕 【解析】 试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线 面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出 二而角的平而角，再利用已知数据即可求解；（3）利用 VP_CDE = VC_PDE ,从而即可求得所 求 距离. 试题解析：（1）如图所示，取 PD 屮点 G,连结 GF, GE,・・・£, F 分别为 BC , PA 的中点，・ ••可证得 FG//BE, FG = BE,：・四边形 BFGE 是平行四边形，:.BFIIEG, 又•: EG u 平 面 PDE, BFU 平 PDE , Z. BF!!而 PDE；（2）作 DH 丄 AE 于 H 点， 作丄 PE 于/点，连结£>/, 易证 DH 丄平面 PAE,・・・ DH 丄 PE , XV PE 丄 HI , HI^DH = H ,・ *. PE 丄平而 DIH , :. PE 丄 D/, ・・・乙 DIH 即为二面角 D-PE-A 的平面角，在 RtADIH 中， DI x/7 V21 7 丫 P-CDE ~ Vc-PDE SMDE X S、PDE Tx73 =V2i § »CDE % § S、PDE xhd h = 考点：1.线面平行的判定；2.二面饬的求解；3.体积法求线面距离. 【方法点睛】立体儿何大题通常会考查两条界面直线所成的角，求二血角的平面角，点到 面 的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概 念, 二而角的概念，作出札 I 应的角，再通过平而几何知识进行计算，求点到平面的距离， 通常可 考虑体积法，此外，空间向屋也是解决立体儿何大题的一种方法. 3^41 4\/4\ 21. （ I ）证明如下；（II） ——； （III）——； 41 41 【解析】 试题分析：由题可知，（I ）翻折后成 ABC?）以后线段的长度不发生变化，所以可得 CD = 6, BC' = BC = iO, 3D 二&即 BC2 = CD2BD2 f 所以 C7）丄 3D,再结合面面 垂直的性质定理可得 线面垂直；（II）根据题意建立空间直角坐标系，求岀直线所在的向量 与平血的法向量，再 利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为线面角；（III）根据建立的坐标系分 别求出两个平面的法向屋，再求出两个向量的夹介 j,进而转化为二 ifiSj 的平面角得到答案； 试题解析：（I ）平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD二8,沿直线BD将ZiBCD翻折成△ BC'D , 可知 CD 二 6, SC，= BC = 10, BD 二 8,即 BCJCQ+BD?,故 C'D 丄 BD ・ 因为平面 BC'D 丄平 Iflj ABD ,平面 BCfDp［平面 ABD 二 BD, C'Du 平血 BC'D , 所以 C7）丄平 Ifil ABD . （II）由（I ）知 C'D 丄平而 ABD, RCD 丄 BD, 如图，以 D 为原点，建立空间肓角坐标系 D-^z. z / 则 £)(0,0,0) , 4(8,6,0), B(8,0,0), C'(0,0,6). 由于 E 是线段 AD 的中点， 所以 E(4,3,0), BD = (-8,0,0). 在平面 BEC'中，BE = (-4,3,0), BC' = (-&0,6), 设平面 BEC'法向量为 n = (x, y, z), BE •兄=0 即 J -4x + 3 y = 0 BC,« = 0， [_8y + 6z = 0 令 x = 3 ,得 y = 4, z = 4 , n — (3,4,4). 设直线 BD 与平而 BEC'所成角为&，则 sini?=| cos |= L" 豐 = \n\-\BD\ 3x/41 _ 41 * 故肓•线妙与平面吐所成角的正弦值为畔. (III)由(II )知平面 BEC 的法向量为 n = (3,4,4),而平面 DBE 的法向量为 DCf = (0,0,6), I 外 -7^r\ tl-C D 4V4T 故 cos < n.C D >=——— =---------, \n\\CfD\ 41 因为二面角 D-BE-C 为锐角， 所以二面角 D-BE-C 的余弦值为出叵. 41 考点:①用空间向量求平面间的夹角②直线为平面垂直的判定 22. (1)见解析； (2)— 3 【解析】 试题分析：(1)由已知得 CN 丄 DN, CN 丄 AD,由此能证明 CN 丄平面 ADN. (2)以 N 为原点，ND 为 x 轴，NC 为 y 轴，过点 N 垂直于平面 CND 的直线为 z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AB 与 DN 所成角的大小. 【解答】证明：(1) J 矩形 ABCD 是圆柱 00 的轴截面，N 在上底面的圆周 02 上， ・・・ CN 丄 DN, AD 丄平而 CDN, TCNu 平而 CDN, ・・.CN 丄 AD, VADQDN=D, ・・・ CN 丄平面 ADN. 解：(2)・・・圆锥 MO】和圆锥 枪的侧面展开图恰好拼成一个半径为 2 的圆， AMC=MD=MA=MB=2, 设 AD 二 c,贝 IJAB 二寸 16_ 二， 以 N 为原点，ND 为 x 轴，NC 为 y 轴，过点 N 垂直于平面 CND 的直线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 设 D (a, 0, 0), C (0, b, 0),则 A (a, 0, - c), B (0, b, - c), N (0, 0, 0), NA= (a, 0, - c), NC- (0, b, 0), BC-(0, 0, c), 所以 设平 itri NAC 的法向量 rr (x, y, z), n•吁才取口,得二⑴°,则 [n ■NC=by=O 2) c ・・•直线 BC 与平血 CAN 所成角的正切值为 乂 3, 6 ・・・直线 BC 与平面 CAN 所成角的匸弦值为 亠, V13 111 1 2 ・・・ AB=J16_ 12=2, a2+b2=AB2=4, V CA- (a, -b, - c),平而 NAC 的法向 M rr (b 0, 解得c二2馅, ■1), ACA •n=a - 1=0,解得 3 二 1,・・小=馅, AB- (- 1, V5，0), ND= (1, 0, 0), 设异面直线 AB 与 DN 所成角为 a , 则 cos a = I 忑■无 I _丨_1(1 |AB H|CD | 2 叵 JT ・•・异血肓线 AB 与 DN 所成角 为二. 考点：异而肓线及其所成的角；肓线与平而垂肓的判定.