初二数学上册三角形知识详解教案

初二数学上册三角形知识详解 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三 角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻 两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 2 三角形的表示 三角形 ABC 用符号表示为△ABC，三角形 ABC 的边 AB 可用边 AB 所对的 角 C 的小写字母 c 表示，AC 可用 b 表示，BC 可用 a 表示.三个顶点用大写字 母 A,B,C 来表示。 注意：(1)三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；(2)三角形是一 个封闭的图形；(3)△ABC 是三角形 ABC 的符号标记，单独的△没有意义。3 三角形的分类 (1)按边分类： (2)按角分类 4 三角形的主要线段的定义 ②∠1=∠2=∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形 的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。角平分线的性 质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线。 (3)三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段． 表示法：①AD 是△ABC 的 BC 上的高线②AD⊥BC 于 D③∠ADB=∠ ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部， 直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在 直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面 积的时候就有三种（因为高底不一样） 5 三角形的主要线段的表示法 三角形的角平分线的表示法：如图 1，根据具体情况使用以下任意一种 方式表示：① AD 是 DABC 的角平分线；② AD 平分ÐBAC，交 BC 于 D； (图 1) (2)三角形的中线表示法：如图 1，根据具体情况使用以下任意一种方式 表示：①AE 是 DABC 的中线；②AE 是 DABC 中 BC 边上的中线； (3)三角线的高的表示法：如图 2，根据具体情况，使用以下任意一种方 式表示：①AM 是 DABC 的高；②AM 是 DABC 中 BC 边上的高；③如果 AM 是 DABC 中 BC 边上高，那么 AM^BC，垂足是 E； 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图 3， 三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图 4，三角形的三 条中线交点一点，交点都在三角形内部. 图 3 图 4 如图 5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三 角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条 高的交点在直角三角形的直角顶点上. 图 5 图 6 图 7 6 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：(1)三边关系的依据是：两点之间线段是短；(2)围成三角形的条件 是任意两边之和大于第三边． 7 三角形的角与角之间的关系 (1)三角形三个内角的和等于 180°;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻 的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4) 直角三角形的两个锐角互余. 8 三角形的内角和定理 定理：三角形的内角和等于 180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。 推理过程：(1)作 CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180 度，即∠A+ ∠B+∠ACB=180 度．(2)作 MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180 度即∠BAC+∠B+∠C=180 度． 注意：(1)证明的思路很多，基本思想是组成平角．(2)应用内角和定理可 解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角． 9 三角形的外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.注意：每个 顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.（所以一般我们只研究一个） 如:∠ACD、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个 三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外 角就只有三个了. 10 三角形外角的性质 (1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． (2)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：(1)它不相邻的内角不容忽视； (1) 作 CM∥AB 由于 B、C、D 共线 ∴∠A=∠1，∠B=∠2 .即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B. 11 三角形的稳定性 三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳 定性。 注意：(1)三角形具有稳定性；(2)四边形没有稳定性. 关于三角形会经常遇到的题型：适当添加辅助线，寻找基本图形。 (1)基本图形一，如图 8，在 ABC 中，AB=AC，B,A,D 成一条直线， 图 8 (2) 基本图形二，如图 9，如果 CO 是∠AOB 的角平分线，DE∥OB 交 OA,OC 于 D,E，那么 DOE 是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中， 或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的 两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即： 角平分线+平行线→等腰三角形. 图 9 (3) 基本图形三，如图 10，如果 BD 是ÐABC 的角平分线，M 是 AB 上一点， MN^BD，且与 BP,BC 相交于 P,N.那么 BM=BN，即 DBMN 是等腰三角形， 且 MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形 . 当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基 本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图 11， 图 12。 12 多边形 在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。(1)多边 形的对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 (2)正多边形各边相等，各角都相等的多边形叫做正多边形 (3)多边形的内角和为（n-2）*180 度多边形的外角和为 360 度注：当求 角度时应该想起 内角和 或者 外角和 或者 一个角的外角 13 密铺 所谓“密铺”，就是指任何一种图形，如果能既无空隙又不重叠的铺在平 面上，这种铺法就叫做“密铺”。用形状、大小完全相同的一种或几种平面图 形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密 铺，又称做平面图形的镶嵌。 可单独密铺的图形①所有三角形与四边形均可以单独密铺。②正多边形 只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。 ③对边平行的六边形 可以单独密铺。平面上有：完全相同的三角形、四边形能密铺（或三角形与 四边形组合）、正多边形密铺时,只有正三、四、六边形可以密铺。 (利用内角和的知识来计算，如：任意三角形内角 180，则三个相同的任 意三角形即可形成∠180，六个就可以密铺；同理，四边形内角 360，四个就 可以密铺；正多边形的顶角的整数倍等于 180 或 360) 曲面像 12 个正五边形和 20 个正六边形可以铺成个球(足球就是)。