山东省2018-2019学年德州市高一上学期期末考试数学试题

第 1 页，共 13 页 山东省德州市 2018-2019 学年高一上学期期末考试数学试 题 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知全集 ൌ 1 2，3，4，5，6， ， ൌ 1 3，5， ， ൌ ሼ 6， ，则 晦 ൌ 晦A. ሼ B. ʹǡC. 1 3，5，6， D. 1 3，4， 【答案】B 【解析】解： ൌ 1 3，5， ， ൌ ሼ 6， ， 则 ൌ 1 3，5，6， ， 又全集 ൌ 1 2，3，4，5，6， ， 则 晦 ൌ ʹǡ ． 故选：B． 根据并集与补集的定义，写出运算结果． 本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题． ʹ. 某高中学校共有学生 3000 名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取 1 名学生，抽到高二年级学生的概率是 .3ሼ. 现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名 学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为 晦年级 一年级 二年级 三年级 学生人数 1200 x y A. 25 B. 26 C. 30 D. 32 【答案】A 【解析】解：由题意得高二年级学生数量为： ൌ 3 .3ሼ ൌ 1ሼ ， 高三年级学生数量为 ൌ 3 1ʹ 1ሼ ൌ ሼ ， 现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名学生， 设应在高三年级抽取的学生的人数为 n， 则 ሼ ൌ 1 3 ，解得 ൌ ʹሼ ． 故选：A． 由题意得高二年级学生数量为 1050，高三年级学生数量为 750，由此用分层抽样的方法 能求出应在高三年级抽取的学生的人数． 本题考查应应在高三年级抽取的学生的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识， 第 ʹ 页，共 13 页 考查运算求解能力，是基础题． 3. 函数 ൌ log.ሼǡ 晦 的定义域是 晦A. 3 晦 B. 3h C. 3ǡ晦 D. ǡh【答案】C 【解析】解：函数 ൌ log.ሼǡ 晦 ， log.ሼǡ 晦 ，  ǡ 1 ， 解得 3  ǡ ， 函数 y 的定义域是 3ǡ晦 ． 故选：C． 根据二次根式和对数函数的定义，求出使函数解析式有意义的自变量取值范围． 本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题． ǡ. 已知点 sin1ሼ cos1ሼ 晦 ，则 P 在平面直角坐标系中位于 晦A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】解： sin1ሼ ൌ sin3 3 3 晦 ൌ sin3 ൌ 1 ʹ ， cos1ሼ ൌ cos3 3 3 晦 ൌ cos3 ൌ 3 ʹ ． 在平面直角坐标系中位于第二象限． 故选：B． 利用特殊角的三角函数值的符号，直接判断点所在象限即可． 本题考查了三角函数值的符号，考查了三角函数的诱导公式的应用，是基础题． ሼ. 如图，边长为 2 的正方形有一内切圆 . 向正方形内随机投入 1000 粒芝麻，假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有 795 粒芝 麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率 的近似值为 晦 A. 3.1 B. 3.ʹ C. 3.3 D. 3.ǡ【答案】B 【解析】解：由圆的面积公式得： 圆 ൌ ， 由正方形的面积公式得： 正 ൌ ǡ ， 由几何概型中的面积型可得： 圆 正 ൌ ㌳ሼ 1 ， 第 3 页，共 13 页 所以 ൌ ㌳ሼǡ 1 3.ʹ ， 故选：B． 由圆的面积公式得： 圆 ൌ ，由正方形的面积公式得： 正 ൌ ǡ ，由几何概型中的面积 型结合随机模拟试验可得： 圆 正 ൌ ㌳ሼ 1 ，得解． 本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题． . 根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 关于 x 的线性回归方程是 ൌ ㌳ ǡ ㌳ ǡ ， 则表中 m 的值为 晦x 8 10 11 12 14 y 21 25 m 28 35 A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】A 【解析】解：由题意可得： ൌ 1111ʹ1ǡ ሼ ൌ 11 ， 由线性回归方程的性质可知： ൌ ㌳ ǡ 11 ㌳ ǡ ൌ ʹ ， 故 ʹ1ʹሼʹ3ሼ ሼ ൌ ʹ ， ൌ ʹ ． 故选：A． 首先求得 x 的平均值，然后利用线性回归方程过样本中心点求解 m 的值即可． 本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，属于中等题． . 函数 晦 ൌ 3 3 晦 ln ʹ 3晦 的零点个数为 晦A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】解：当 时，由 晦 ൌ 得 ln ൌ ʹ 3 ， 作出函数 ൌ ln 和 ൌ ʹ 3 在 时的图象如 图： 由图象知两个函数有两个交点，即此时函数 晦 在 时有两个零点， 当 时，由 晦 ൌ 1 3 晦 3 ൌ 得 1 3 晦 ൌ 3 ，得 ൌ 1 ，此时有一个零点， 综上函数 晦 共有 3 个零点， 故选：D． 根据分段函数的表达式，分别求出当 和 时的零点个数即可． 第 ǡ 页，共 13 页 本题主要考查函数零点个数的判断，利用分段函数的解析式，分别进行求解是解决本题 的关键． . 抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件 A 为“奇数点向上”，事件 B 为“偶数 点向上”，事件C为“2点或4点向上”则在上述事件中，互斥但不对立的共有 晦A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对 【答案】C 【解析】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件 A 为“奇数点向上”， 事件 B 为“偶数点向上”，事件 C 为“2 点或 4 点向上”， 事件 A 与事件 B 是对立事件； 事件 A 与事件 C 是互斥但不对立事件； 事件 B 与事件 C 能同时发生，不是互斥事件． 故互斥但不对立的共有 1 对． 故选：C． 利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 本题考查互斥但不对立的判断，考查对立事件、互斥事件等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． ㌳. 为比较甲，乙两地某月 14 时的气温，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的 气温数据 单位： 晦 制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论： 甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； 甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差； 甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 晦A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙甲，乙两地某月 14 时的气温抽取的 样本温度分别为： 甲：26，28，29，31，31 乙：28，29，30，31，32； 可得：甲地该月 14 时的平均气温： 1 ሼ ʹ ʹ ʹ㌳ 31 31晦 ൌ ʹ㌳ ， 乙地该月 14 时的平均气温： 1 ሼ ʹ ʹ㌳ 3 31 3ʹ晦 ൌ 3 ， 故甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； 第 ሼ 页，共 13 页 甲地该月 14 时温度的方差为： 甲 ʹ ൌ 1 ሼ ʹ ʹ㌳晦 ʹ ʹ ʹ㌳晦 ʹ ʹ㌳ ʹ㌳晦 ʹ 31 ʹ㌳晦 ʹ 31 ʹ㌳晦 ʹ h ൌ 3.乙地该月 14 时温度的方差为： 乙 ʹ ൌ 1 ሼ ʹ 3晦 ʹ ʹ㌳ 3晦 ʹ 3 3晦 ʹ 31 3晦 ʹ 3ʹ 3晦 ʹ h ൌ ʹ ， 故 甲 ʹ 乙 ʹ ， 所以甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温标准差． 故选：B． 由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙甲，乙两地某月 14 时的气温抽取的样本温度， 进而求出两组数据的平均数、及方差可得答案 本题考查数据的离散程度与茎叶图形状的关系，考查学生的计算能力，属于基础题 1. 已知扇形的周长为 C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为 晦A. 1 ʹ ㈳洠 B. 1rad C. 3 ʹ ㈳洠 D. 2rad 【答案】D 【解析】解：设扇形的圆心角大小为 ㈳洠晦 ，半径为 r， 根据扇形的面积为 扇形 ൌ 1 ʹ ㈳ ʹ ，周长为 ʹ ൌ 䁠 ， 得到 ൌ 䁠 ʹ ，且   ʹ ， 扇形 ൌ 1 ʹ 䁠 ʹ 晦 ʹ ൌ 䁠 ʹ ʹ ʹ ൌ 䁠 ʹ ʹ 晦 ， 又 ʹ ʹ ʹ ൌ ，当且仅当 ʹ ൌ ，即 ൌ ʹ 时，“ ൌ ”成立， 此时 扇形取得最大值为 䁠 ʹ 1 ，对应圆心角为 ൌ ʹ ． 故选：D． 根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出 扇形的最大值，以及对 应圆心角的值，即可得解． 本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 二、填空题（本大题共 7 小题，共 28.0 分） 11. 下列函数中值域为 R 的有______． A. 晦 ൌ 3 1 .晦 ൌ lg ʹ ʹ晦䁠.晦 ൌ ʹ ʹ ʹ ʹ .晦 ൌ 3 1【答案】ABD 【解析】解： .晦 ൌ 3 1 为增函数，函数的值域为 R，满足条件． B.由 ʹ ʹ 得 ʹ 或  ʹ ，此时 晦 ൌ lg ʹ ʹ晦 的值域为 R，满足条件． C. 晦 ൌ ʹ ʹ ʹ ʹ ， 第 页，共 13 页 当 ʹ 时， 晦 ൌ ʹ ǡ ， 当 ʹ 时， 晦 ൌ ʹ ǡh ，真是 晦 ，即函数的值域为 晦 ，不满足 条件． .晦 ൌ 3 1 是增函数，函数的值域为 R，满足条件． 故答案为：ABD． 分别判断函数的单调性和取值范围，结合函数的值域进行求解即可． 本题主要考查函数值域的求解，结合函数单调性的性质是解决本题的关键． 1ʹ. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其 频率分布直方图如图所示，其中支出在 ሼ晦 元的学生有 60 人，则下列说法正确 的是______． A.样本中支出在 ሼ晦 元的频率为 .3B.样本中支出不少于 40 元的人数有 132 C.n 的值为 200 D.若该校有 2000 名学生，则定有 600 人支出在 ሼ晦 元 【答案】BC 【解析】解：由频率分布直方图得： 在 A 中，样本中支出在 ሼ晦 元的频率为： 1 .1 .ʹǡ .3晦 1 ൌ .3 ，故 A 错误； 在 B 中，样本中支出不少于 40 元的人数有： .3 .3 ൌ 13ʹ ，故 B 正确； 在 C 中， ൌ .3 ൌ ʹ ，故 n 的值为 200，故 C 正确； D.若该校有 2000 名学生，则可能有 600 人支出在 ሼ晦 元，故 D 错误． 故答案为：BC． 在 A 中，样本中支出在 ሼ晦 元的频率为 .3 ；在 B 中，样本中支出不少于 40 元的人 数有： .3 .3 ൌ 13ʹ ；在 C 中， ൌ .3 ൌ ʹ ； . 若该校有 2000 名学生，则可 能有 600 人支出在 ሼ晦 元． 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想，是基础题． 13. 符号 h 表示不超过 x 的最大整数，如 3.1ǡh ൌ 3 ， 1.h ൌ ʹ ，定义函数： 晦 ൌ h ，则下列命题正确的是______． A. .晦 ൌ .ʹ 第 页，共 13 页 B.当 1  ʹ 时， 晦 ൌ 1C.函数 晦 的定义域为 R，值域为 1晦D.函数 晦 是增函数、奇函数 【答案】A，B，C 【解析】解： 晦 ൌ h 表示数 x 的小数部分， 则 .晦 ൌ 1 .ʹ晦 ൌ .ʹ ，故 A 正确； 当 1  ʹ 时， 晦 ൌ h ൌ 1 ，故 B 正确； 函数 晦 的定义域为 R，值域为 1晦 ，故 C 正确； 当  1 时， 晦 ൌ h ൌ ， 当 1  ʹ 时， 晦 ൌ 1 ， 当 ൌ .ሼ 时， .ሼ晦 ൌ .ሼ ，当 ൌ 1.ሼ 时， 1.ሼ晦 ൌ .ሼ ， 则 .ሼ晦 ൌ 1.ሼ晦 ，即有 晦 不为增函数， 由 1.ሼ晦 ൌ .ሼ ， 1.ሼ晦 ൌ .ሼ ，可得 1.ሼ晦 ൌ 1.ሼ晦 ， 即有 晦 不为奇函数． 故答案为：A，B，C． 由题意可得 晦 表示数 x 的小数部分，可得 .晦 ൌ .ʹ ，当 1  ʹ 时， 晦 ൌ 1 ，即可判断正确结论． 本题考查函数新定义的理解和运用，考查函数的单调性和奇偶性的判断，以及函数值的 求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 1ǡ. 已知 ൌ 1 ʹ ʹ ， ൌ 1 ，且 ൌ ，则 m 的取值范围 是______． 【答案】 1 ʹ 1h【解析】因为 ൌ ，所以 ， 由已知 ൌ 1 ʹ ʹ ， ൌ 1 得， 1 ʹ 1 ʹ 故 m 的取值范围是 1 ʹ 1h ． 故答案为： 1 ʹ 1 ． 根据 A 与 B 的子集关系，借助数轴求得 a 的范围． 此题考查了集合的子集关系及其运算，属于简单题． 1ሼ. 已知 ㈳ 且 ㈳ 1 ，函数 ൌ ㈳ ʹ 的图象恒过定点 P，若 P 在幂函数 晦 的 图象上，则 3晦 ൌ ______． 【答案】27 【解析】解：令 ʹ ൌ ，解得 ൌ ʹ ，此时 ൌ 1 ൌ ， 指数函数 ൌ ㈳ ʹ 的图象恒过定点 ʹ晦 ； 设幂函数 晦 ൌ ， 为实数， 由点 P 在 晦 的图象上， ʹ ൌ ， 第 页，共 13 页 解得 ൌ 3 ， 晦 ൌ 3 ， 3晦 ൌ 3 3 ൌ ʹ ． 故答案为：27． 根据指数函数的图象恒过定点，求出点 P 的坐标，代入幂函数的解析式求出 晦 ，再 计算 3晦 的值． 本题考查了指数函数与幂函数的应用问题，是基础题． 1. 已知 sin cos ൌ 1 ሼ ， 晦 ，则 sincos 晦 ൌ ______； tan ൌ ______． 【答案】 1ʹ ʹሼ ǡ 3 【解析】解： sin cos ൌ 1 ሼ ， sin cos晦 ʹ ൌ 1 ʹsincos ൌ 1 ʹሼ ，即 sincos ൌ 1ʹ ʹሼ ． sincos 晦 ൌ sincos ൌ 1ʹ ʹሼ ； sin cos晦 ʹ ൌ 1 ʹsincos ൌ ǡ㌳ ʹሼ ， 晦 ， sin ， cos  ，即 sin cos ， sin cos ൌ ሼ ． 联立 sin cos ൌ 1 ሼ sin cos ൌ ሼ ，解得 sin ൌ ǡ ሼ ， cos ൌ 3 ሼ ． tan ൌ ǡ 3 ． 故答案为： 1ʹ ʹሼ ； ǡ 3 ． 把已知等式两边平方，求出 sincos 的值，再利用完全平方公式求出 sin cos 的值， 联立求解再结合同角三角函数间的基本关系可求得 tan 的值． 本题考查同角三角函数间的基本关系，求得 sin cos ൌ ሼ 是关键，也是难点，属于中 档题． 1. 已知偶函数 晦 的图象过点 ʹ晦 ，且在区间 晦 上单调递减，则不等式 晦 的解集为______． 【答案】 ʹ晦 ʹ晦【解析】解： 偶函数 晦 的图象过点 ʹ晦 ，且在 区间 晦 上单调递减， 函数 晦 的图象过点 ʹ晦 ，且在区间 晦 上 单调递增， 第 ㌳ 页，共 13 页 作出函数 晦 的图象如图： 则不等式 晦 等价为 晦 或 晦   ， 即   ʹ 或  ʹ ， 即不等式的解集为 ʹ晦 ʹ晦 ， 故答案为： ʹ晦 ʹ晦根据函数奇偶性和单调性的性质作出 晦 的图象，利用数形结合进行求解即可． 本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出 晦 的图象是 解决本题的关键． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 82.0 分） 1. 计算 1晦 晦 .ʹሼ ǡ ʹ ʹ ʹ 3 1 ʹ 晦 ʹ ʹ晦 1 ʹ lgʹሼ ʹlg ʹ loglog3㌳晦 logʹ 3晦 已知： ㈳ 1 ʹ ㈳ 1 ʹ ൌ 3 ，求 ㈳㈳ 1 ʹ ㈳ ʹ ㈳ ʹ ʹ【答案】解： 1晦 原式 ൌ 1 ʹ 3 ǡ ʹ 1 ǡ 3 ʹ ʹ ʹ ൌ 1 ʹ ㌳ ǡ ൌ ǡ ； ʹ晦 原式 ൌ lgሼ lgʹ logʹ logʹ ൌ 1 1 ൌ ʹ ； 3晦 ㈳ 1 ʹ ㈳ 1 ʹ ൌ 3 ； ㈳ 1 ʹ ㈳ 1 ʹ 晦 ʹ ൌ ㈳ ʹ ㈳ 1 ൌ ㌳ ； ㈳ ㈳ 1 ൌ ； ㈳ ㈳ 1 晦 ʹ ൌ ㈳ ʹ ʹ ㈳ ʹ ൌ ǡ㌳ ； ㈳ ʹ ㈳ ʹ ൌ ǡ ； ㈳㈳ 1 ʹ ㈳ ʹ ㈳ ʹ ʹ ൌ ㌳ ǡሼ ൌ 1 ሼ ． 【解析】 1晦 进行分数指数幂的运算即可； ʹ晦 进行对数的运算即可； 3晦 根据 ㈳ 1 ʹ ㈳ 1 ʹ ൌ 3 可求出 ㈳ ㈳ 1 ൌ ，进而求出 ㈳ ʹ ㈳ ʹ ൌ ǡ ，带入 ㈳㈳ 1 ʹ ㈳ ʹ ㈳ ʹ ʹ 即可． 考查分数指数幂和对数的运算，完全平方式的运用． 1㌳. 从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 单位：千元 晦 与月储蓄 单位：千元 晦 的数据资料，算得 ൌ1 1 ൌ ， ൌ1 1 ൌ ʹ ， ൌ1 1 ൌ 1ǡ ， ൌ1 1 ʹ ൌ ʹ. 附：线性回归方程 ൌ ㈳ 中， ൌ ൌ1 ൌ1 ʹ ʹ ， ㈳ ൌ ，其中 ， 为样本平均值． 1晦 求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 ൌ ㈳ ； ʹ晦 判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关； 3晦 若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄． 第 1 页，共 13 页 【答案】解： 1晦 由题意知， ൌ 1 ， ൌ1 1 ൌ ， ൌ1 1 ൌ ʹ ， ൌ 1 ൌ ， ൌ ʹ 1 ൌ ʹ那么： ൌ 1 ʹ ൌ 1 ， ʹ ൌ 1 ǡ ൌ ǡ ． ൌ1 1 ൌ 1ǡ ， ൌ1 1 ʹ ൌ ʹ ． 由 ൌ ൌ1 ൌ1 ʹ ʹ ൌ 1ǡ1 ʹǡ ൌ .3 ． ㈳ ൌ ൌ ʹ .3 ൌ .ǡ ， 故所求回归方程为 ൌ .3 .ǡ ． ʹ晦 由于变量 y 的值随 x 的值增加而增加，即 ൌ .3 ． 故 x 与 y 之间是正相关． 3晦 将 ൌ 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 ൌ .3 .ǡ ൌ 1. 千元 晦 ． 【解析】 1晦 由题意求出 ， ，根据 ൌ1 ሼ ʹ ， ൌ1 ሼ ，代入公式求值 ，又由 ㈳ ൌ ， 得出 ㈳ 从而得到回归直线方程； ʹ晦 变量 y 的值随 x 的值增加而增加，可知 x 与 y 之间是正相关还是负相关． 3晦 代入 ൌ 即可预测该家庭的月储蓄． 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题． ʹ. 已知角 的终边上有一点 ሼ㈳1ʹ㈳晦 ，其中 ㈳ ． 1晦 求 sin cos 的值； ʹ晦 求 sincos cos ʹ sin ʹ 1 的值． 【答案】解： 1晦 角 的终边上有一点 ሼ㈳1ʹ㈳晦 ，其中 ㈳ ， ൌ ሼ㈳ ൌ 1ʹ㈳ ൌ ʹሼ㈳ ʹ 1ǡǡ㈳ ʹ ൌ 13㈳ ， 当 ㈳ 时， ൌ 13㈳ ， sin ൌ ൌ 1ʹ 13 ， cos ൌ ൌ ൌ ሼ 13 ， sin cos ൌ 13 ． 当 ㈳  时， ൌ 13㈳ ， sin ൌ ൌ 1ʹ 13 ， cos ൌ ൌ ൌ ሼ 13 ， sin cos ൌ 13 ． ʹ晦 由题意可得 tan ൌ ൌ 1ʹ ሼ ， sincos cos ʹ sin ʹ 1 ൌ sincosʹcos ʹ sin ʹ cos ʹ ൌ tanʹ tan ʹ 1 ൌ 1 1㌳ ． 【解析】 1晦 任意角的三角函数的定义，求得 sin 和 cos 的值，可得 sin cos 的值． ʹ晦 先求得 tan 的值，同角三角函数的基本关系， 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题． ʹ1. 现有 8 名马拉松比赛志愿者，其中志愿者 1 ， ʹ ， 3 通晓日语， 1 ， ʹ ， 3 通晓 俄语， 䁠1 ， 䁠ʹ 通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各 1 名，组成一 个小组． 1晦 列出基本事件空间； ʹ晦 求 1 被选中的概率； 3晦 求 1 和 䁠1 不全被选中的概率． 第 11 页，共 13 页 【答案】解： 1晦 现有 8 名马拉松比赛志愿者，其中志愿者 1 ， ʹ ， 3 通晓日语， 1 ， ʹ ， 3 通晓俄语， 䁠1 ， 䁠ʹ 通晓英语， 从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各 1 名，组成一个小组． 基本事件空间 ൌ 11䁠1晦 ， 11䁠ʹ晦 ， 1ʹ䁠1晦 ， 1ʹ䁠ʹ晦 ， 13䁠1晦 ， 13䁠ʹ晦 ， ʹ1䁠1晦 ， ʹ1䁠ʹ晦 ， ʹʹ䁠1晦 ， ʹʹ䁠ʹ晦 ， ʹ3䁠1晦 ， ʹ3䁠ʹ晦 ， 31䁠1晦 ， 31䁠ʹ晦 ， 3ʹ䁠1晦 ， 3ʹ䁠ʹ晦 ， 33䁠1晦 ， 33䁠ʹ晦 ，共 18 个基本事件． ʹ晦 由于每个基本事件被选中的机会相等， 这些基本事件是等可能发生的， 用 M 表示“ 1 被选中”， 则 ൌ 11䁠1晦 ， 11䁠ʹ晦 ， 1ʹ䁠1晦 ， 1ʹ䁠ʹ晦 ， 13䁠1晦 ， 13䁠ʹ晦 ，含有 6 个基本事件， 1 被选中的概率 晦 ൌ 1 ൌ 1 3 ． 3晦 用 N 表示“ 1 和 䁠1 不全被选中”，则 表示“ 1 和 䁠1 全被选中”， ൌ 11䁠1晦 ， ʹ1䁠1晦 ， 31䁠1晦 ，含有 3 个基本事件， 1 和 䁠1 不全被选中的概率 晦 ൌ 1 3 1 ൌ ሼ ． 【解析】 1晦 利用列举法能求出基本事件空间． ʹ晦 用 M 表示“ 1 被选中”，利用列举法求出 M 中含有 6 个基本事件，由此能求出 1被选中的概率． 3晦 用 N 表示“ 1 和 䁠1 不全被选中”，则 表示“ 1 和 䁠1 全被选中”，利用对立事件概 率计算公式能求出 1 和 䁠1 不全被选中的概率． 本题考查基本事件空间、概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题． ʹʹ. 据调查，某地区有 300 万从事传统农业的农民，人均年收入 6000 元，为了增加农 民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加 工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有 晦 万人进企 业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高 ，而进入企业工 作的农民的人均年收入为 ㈳1 ㈳ 3晦 元． 1晦 在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的 总收入最大，并求出最大值； ʹ晦 为了保证传统农业的顺利进行，限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数 的 ʹ 3 ，当地政府如何引导农民，即 x 取何值时，能使 300 万农民的年总收入最大． 【答案】解： 1晦 由题意如果有 晦 万人进企业工作，设从事传统农业的所有农民 的总收入为 y， 则 ൌ 1 晦3 晦 ൌ ʹ ʹ 3晦 ，   3晦 ， 第 1ʹ 页，共 13 页 对称轴为 ൌ 1 ，抛物线开口向下，即当 ൌ 1 时，y 取得最大值为 ൌ ʹǡ 万元 晦 ． 即由 100 万人进企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为 2400000 万元． ʹ晦 设 300 万农民的总收入为 晦 ，  ʹ ， 则 晦 ൌ ʹ ʹ 3晦 ㈳ ൌ ʹ ʹ ㈳晦 1 ൌ ሼʹ ㈳晦h ʹ 1 1ሼʹ ㈳晦 ʹ ， 对称轴为 ൌ ሼʹ ㈳晦 ൌ 1 ሼ㈳ ， 当 1 ㈳  ʹ 时， 1 ሼ㈳  ʹ ，当 ൌ 1 ሼ㈳ 时， 晦 取得最大值， 当 ʹ ㈳ 3 时， 1 ሼ㈳ ʹ ，当 ൌ ʹ 时， 晦 取得最大值． 【解析】 1晦 根据题意建立函数关系结合二次函数的单调性的性质进行求解即可 ʹ晦 根据条件设 300 万农民的年总收入为 晦 ，建立函数关系，利用一元二次函数的性 质进行求解 本题主要考查函数的应用问题，利用条件建立函数关系利用一元二次函数的性质是解决 本题的关键． ʹ3. 对于函数 晦 ൌ ㈳ ʹ 1 晦 1㈳ 晦 ，若存在实数 ，使 晦 ൌ 成立，则称 为 晦 关于参数 m 的不动点． 1晦 当 ㈳ ൌ 1 ， ൌ ʹ 时，求 晦 关于参数 1 的不动点； ʹ晦 若对于任意实数 b，函数 晦 恒有关于参数 1 两个不动点，求 a 的取值范围； 3晦 当 ㈳ ൌ 1 ， ൌ ʹ 时，函数 晦 在 ʹh 上存在两个关于参数 m 的不动点，试 求参数 m 的取值范围． 【答案】解： 1晦 当 ㈳ ൌ 1 ， ൌ ʹ 时， 晦 ൌ ʹ 3 ， 由题意有 ʹ 3 ൌ ，即 ʹ ʹ 3 ൌ ， 解得： ൌ 1 ， ൌ 3 ， 故当 ㈳ ൌ 1 ， ൌ ʹ 时， 晦 的关于参数 1 的两个不动点为 1 和 3； ʹ晦 晦 ൌ ㈳ ʹ 1晦 1㈳ 晦 恒有两个不动点， ㈳ ʹ 1晦 1 ൌ ，即 ㈳ ʹ 1 ൌ 恒有两个不等实根， ൌ ʹ ǡ㈳ ǡ㈳ 晦 恒成立， 于是 ൌ ǡ㈳晦 ʹ 1㈳  ，解得  ㈳  1 ， 故当 且 晦 恒有关于参数 1 的两个相异的不动点时，  ㈳  1 ； 3晦 由已知得 ʹ 3 1 ൌ 在 ʹh 上有两个不同解， 即 ʹ 3 晦 1 ൌ 在 ʹh 上有两个不同解， 令 晦 ൌ ʹ 3 晦 1 ， 所以 晦 ൌ 1 ʹ晦 ൌ 11 ʹ ൌ 3 晦 ʹ ǡ  3 ʹ  ʹ ， 解得： ሼ  11 ʹ ． 【解析】 1晦㈳ ൌ 1 ， ൌ ʹ 时，解方程 晦 ൌ 即可； ʹ晦晦 ൌ 即 ㈳ ʹ 1 ൌ 恒有两个不等实根，两次使用判别式即可得到； 第 13 页，共 13 页 3晦 问题转化为 ʹ 3 晦 1 ൌ 在 ʹh 上有两个不同解，再利用二次函数的图象 列式可得． 本题考查了二次函数的性质与图象，属中档题．