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广东省梅州市 2018-2019 学年高一上学期期末考试数学试
题(解析版)
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1.
已知集合
ൌ ሼ 2 e ሼ e in
,集合
ൌ ሼሼ e 1n
,则
ൌ 䁧 A.
䁧 2㌳1
B.
䁧 2㌳i
C.
䁧 ㌳1
D.
䁧 ㌳i【答案】D
【解析】解:
集合
ൌ ሼ 2 e ሼ e in
,集合
ൌ ሼሼ e 1n
,
ൌ ሼሼ e in ൌ ㌳i
.
故选:D.
利用并集定义直接求解.
本题考查并集的求法,考查并集定义等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程
思想,是基础题.
2. cos21s
ൌ 䁧 A.
1
2
B.
1
2
C.
i
2
D.
i
2
【答案】D
【解析】解:
cos21s
ൌ cos䁧1㌳s
is
ൌ cosis
ൌ
i
2
.
故选:D.
原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
i.
如图所示,D 是
䁨
的边 AB 的中点,则向量
䁨 ൌ 䁧
A.
䁨
1
2
B.
䁨
1
2
C.
䁨
1
2
D.
䁨
1
2
【答案】A
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【解析】解:由三角形法则和 D 是
䁨
的边 AB 的中点
得,
ൌ
1
2
,
䁨 ൌ 䁨 ൌ 䁨
1
2
.
故选:A.
根据向量加法的三角形法则知,
䁨 ൌ 䁨
,由 D 是中点和相反向量的定义,对向
量进行转化.
本题主要考查了向量加法的三角形法则,结合图形和题意找出向量间的联系,再进行化
简.
4.
函数
ൌ tan䁧2ሼ
i
的图象的一个对称中心为
䁧
A.
䁧
㌳s
B.
䁧
4 ㌳s
C.
䁧
i ㌳s
D.
䁧
2 ㌳s
【答案】C
【解析】解:令
2ሼ
i ൌ
2
,
;
解得
ሼ ൌ
4
,
;
当
ൌ 2
时,
ሼ ൌ
2
ൌ
i
,
函数
ൌ tan䁧2ሼ
i
的图象的一个对称中心为
䁧
i ㌳s
.
故选:C.
根据正切函数的对称中心为
䁧
2 ㌳s
,可求得函数 y 图象的一个对称中心.
本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题,是基础题.
5.
要得到函数
ൌ sin䁧2ሼ
的图象,只需将函数
ൌ sin2ሼ
的图象
䁧
A. 向左平移
12
个单位长度 B. 向右平移
12
个单位长度
C. 向左平移
个单位长度 D. 向右平移
个单位长度
【答案】A
【解析】解:将函数
ൌ sin2ሼ
的图象向左平移
12
个单位长度,可得函数
ൌ sin2䁧ሼ
12 ൌ sin䁧2ሼ
的图象,
故选:A.
根据函数
ൌ sin䁧ሼ
的图象变换规律,得出结论.
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本题主要考查函数
ൌ sin䁧ሼ
的图象变换规律,属于中档题.
.
设
ൌ i
s.i
,
ൌ logi
,
ൌ logs.i
,则 a,b,c 的大小关系是
䁧 A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解:
ൌ i
ሼ
是定义域上的增函数,
ൌ i
s.i
i
s
ൌ 1
,
又
ൌ logሼ
是定义域上的增函数,
s ൌ log1 e logi e log ൌ 1
,
又
ൌ logs.iሼ
是定义域上的减函数,
ൌ logs.i e logs.i1 ൌ s
,
;
故选:A.
考查函数
ൌ i
ሼ
,
ൌ logሼ
,
ൌ logs.iሼ
的单调性,借助于 0 和 1,对 a、b、c 比较大
小.
本题考查了函数数值大小的比较,解题时借助指数函数对数函数的单调性进行判定,是
基础题.
7.
若
cosሼ ൌ
i
5
,且
2 e ሼ e
,则
tanሼ sinሼ
的值是
䁧
A.
i2
15
B.
㌳
15
C.
㌳
15
D.
i2
15
【答案】B
【解析】解:
cosሼ ൌ
i
5
,且
2 e ሼ e
,
sinሼ ൌ 1 cos
2
ሼ ൌ
4
5
,
tanሼ ൌ
sinሼ
cosሼ ൌ
4
i
,
tanሼ sinሼ ൌ
4
i
4
5 ൌ
㌳
15
.
故选:B.
由已知利用同角三角函数基本关系式可求
sinሼ
,
tanሼ
的值,即可得解.
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.
㌳.
函数
䁧ሼ ൌ ሼsinሼ
的图象大致是
䁧
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解:函数
䁧ሼ ൌ ሼsinሼ
满足
䁧 ሼ ൌ ሼsin䁧 ሼ ൌ ሼsinሼ ൌ 䁧ሼ
,函数的偶
函数,排除 B、C,
因为
ሼ 䁧㌳2
时,
sinሼ e s
,此时
䁧ሼ e s
,所以排除 D,
故选:A.
利用函数的奇偶性排除选项,然后利用特殊值判断即可.
本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题解决问题
的能力.
9.
函数
ൌ cos
2
ሼ sinሼ
的值域为
䁧 A.
1㌳1
B.
5
4 ㌳ 1
C.
5
4 ㌳1
D.
1㌳
5
4
【答案】C
【解析】解:
ൌ cos
2
ሼ sinሼ
,
ൌ sin
2
ሼ sinሼ 1
,
ൌ 䁧sinሼ
1
2
2
5
4
,
当
sinሼ ൌ
1
2
时,
䁞 ൌ
5
4
.
当
sinሼ ൌ 1
时.
ሼ ൌ
9
4
5
4 ൌ 1
,
故函数的值域为:
5
4 ㌳1
.
故选:C.
首先通过三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成二次函数的顶点式,进一
步利用函数的定义域求出函数的值域.
本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,二次函数的性质的应用.
1s.
已知函数
䁧ሼ ൌ sinሼ lg䁧ሼ ሼ
2
1 2
,且
䁧 1 ൌ 1
,则
䁧1 ൌ 䁧 A.
4 i 1
B. 0 C.
i
D. 3
【答案】D
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【解析】解:
䁧ሼ ൌ sinሼ lg䁧ሼ ሼ
2
1 2
,且
䁧 1 ൌ 1
,
䁧 1 ൌ sin1 lg䁧 1 2 2 ൌ 1
,
则
䁧1 ൌ sin lg䁧1 2 2
,
两式相加得且
䁧1 1 ൌ lg䁧 1 2 lg䁧1 2 4
,
即
䁧1 1 ൌ lg䁧 1 2䁧1 2 4
,
ൌ lg䁧2 1 4 ൌ 4 lg1 ൌ 4
,
则
䁧1 ൌ 4 1 ൌ i
,
故选:D.
根据条件,建立方程组进行求解即可.
本题主要考查函数值的计算,结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键.
11.
已知
䁨
是边长为 1 的等边三角形,点 D、E 分别是边 AB、BC 的中点,连接
DE 并延长到点 F,使得
ൌ 2쳌
,则
쳌 䁨
的值为
䁧 A.
5
㌳
B.
1
4
C.
1
㌳
D.
11
㌳
【答案】C
【解析】解:如图,
、E 分别是边 AB、BC 的中点,且
ൌ 2쳌
,
쳌 䁨 ൌ 䁧 쳌 䁨 ൌ 䁧 1
2 i
2 䁨
ൌ 䁧 1
2 i
4 䁨 䁨 ൌ 䁧 1
2 i
4 䁨 i
4 䁨
ൌ 䁧 5
4 i
4 䁨 䁨 ൌ 5
4 䁨 i
4 䁨
2
ൌ 5
4 䁨 coss
i
4 1
2
ൌ
5
4 1 1
1
2
i
4 ൌ
1
㌳
.
故选:C.
由题意画出图形,把
쳌
、
䁨
都用
、
䁨
表示,然后代入数量积公式得答案.
本题考查平面向量的数量积运算,考查向量加减法的三角形法则,是中档题.
12.
定义域为 R 的函数
䁧ሼ ൌ 1㌳ሼ ൌ 2
lgሼ2㌳ሼ2
㌳
若关于
ሼ
的方程
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
恰有 5
个不同的实数解
ሼ1
,
ሼ2
,
ሼi
,
ሼ4
,
ሼ5
,则
䁧ሼ1 ሼ2 ሼ2 ሼ4 ሼ5
等于
䁧 A. 0 B. 21g2 C. 31g2 D. 1
【答案】C
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【解析】解:当
ሼ ൌ 2
时,
䁧ሼ ൌ 1
,则由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
1 ൌ s. ሼ1 ൌ 2
,
ൌ 1
.
当
ሼ 2
时,
䁧ሼ ൌ lg䁧ሼ 2
,由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
lg䁧ሼ 2
2
lg䁧ሼ 2
1 ൌ s
,解得
lg䁧ሼ 2 ൌ 1
,
ሼ2 ൌ 12
或
lg䁧ሼ 2 ൌ
,
ሼi ൌ 2 1s
.
当
ሼ e 2
时,
䁧ሼ ൌ lg䁧2 ሼ
,由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
lg䁧2 ሼ
2
lg䁧2 ሼ
1 ൌ s
,解得
lg䁧2 ሼ ൌ 1
,
ሼ4 ൌ ㌳
或
lg䁧2 ሼ ൌ
,
ሼ5 ൌ 2 1s
.
䁧ሼ1 ሼ2 ሼi ሼ4 ሼ5 ൌ 䁧2 12 2 1s
㌳ 2 1s
ൌ 䁧1s ൌ lg1s
2 ൌ lg㌳ ൌ ilg2
.
故选:C.
分情况讨论,当
ሼ ൌ 2
时,
䁧ሼ ൌ 1
,则由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
1 ൌ s
,求
出
ሼ1 ൌ 1
;当
ሼ 2
时,
䁧ሼ ൌ lg䁧ሼ 2
,由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
lg䁧ሼ 2
2
lg䁧ሼ 2 1 ൌ s
,解得
lg䁧ሼ 2 ൌ 1
,或
lg䁧ሼ 2 ൌ
,从而求出
ሼ2
和
ሼi
;当
ሼ e 2时,
䁧ሼ ൌ lg䁧2 ሼ
,由
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
得
lg䁧2 ሼ
2
lg䁧2 ሼ 1 ൌ s
,
解得
lg䁧2 ሼ ൌ 1
,或
lg䁧2 ሼ ൌ
,从而求出
ሼ4
和
ሼ5
,5 个不同的实数解
ሼ1
、
ሼ2
、
ሼi
、
ሼ4
、
ሼ5
都求出来后,就能求出
䁧ሼ1 ሼ2 ሼi ሼ4 ሼ5
的值.
这是一道比较难的对数函数综合题,解题时按照题设条件分别根据
ൌ s
、
s
和
e
s
三种情况求出关于 x 的方程
2
䁧ሼ 䁧ሼ ൌ s
的 5 个不同的实数解
ሼ1
、
ሼ2
、
ሼi
、
ሼ4
、
ሼ5
,然后再求出
䁧ሼ1 ሼ2 ሼi ሼ4 ሼ5
的值.
二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
1i.
函数
䁧ሼ ൌ log2ሼ 1
的定义域为______.
【答案】
2㌳ 【解析】解:由题意得:
log2ሼ 1
,
解得:
ሼ 2
,
函数
䁧ሼ
的定义域是
2㌳
.
故答案为:
2㌳
.
解关于对数函数的不等式,求出 x 的范围即可.
本题考查了对数函数的性质,考查求函数的定义域问题,是一道基础题.
14.
已知平面向量
ൌ 䁧2㌳i
,
ൌ 䁧ሼ㌳4
,若
䁧
,则
ሼ ൌ
______.
【答案】
1
2【解析】解:
ൌ 䁧2 ሼ㌳ 1
;
䁧
;
䁧 ൌ 2䁧2 ሼ i ൌ s
;
解得
ሼ ൌ
1
2
.
故答案为:
1
2
.
可求出
ൌ 䁧2 ሼ㌳ 1
,根据
䁧
即可得出
䁧 ൌ s
,进行数量积的坐
标运算即可求出 x.
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考查向量垂直的充要条件,向量坐标的减法和数量积运算.
15.
若幂函数
䁧ሼ ൌ 䁧
2
1 ሼ
2
2i
在
䁧s㌳
上是减函数,则实数
ൌ
______.
【答案】2
【解析】解析
䁧ሼ ൌ 䁧
2
1ሼ
2
2i
为幂函数,
2
1 ൌ 1
,
ൌ 2
或
ൌ 1
.
当
ൌ 2
时,
䁧ሼ ൌ ሼ
i
在
䁧s㌳
上是减函数,
当
ൌ 1
时,
䁧ሼ ൌ ሼ
s
ൌ 1
不符合题意.
综上可知
ൌ 2
.
故答案为:2.
根据幂函数的系数一定为 1 可先确定参数 m 的值,再根据单调性进行排除,可得答案.
本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性,属于基础题.
1.
已知实数
s
,函数
䁧ሼ ൌ sin䁧
4
在
䁧
2 ㌳
上是单调递减函数,则
的取值
范围是______.
【答案】
1
2
5
4
【解析】解:
ሼ 䁧
2 ㌳
,
s
,
ሼ
4 䁧 1
2
4 ㌳
4
函数
䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ
4
在
䁧
2 ㌳
上单调递减,
周期
ൌ
2
,解得
2
䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ
4
的减区间满足:
2 2 e ሼ
4 e
i
2 2
,
取
ൌ s
,得 1
2
4
2
4
i
2
,解之得
1
2
5
4
故答案为:
1
2
5
4
根据题意,得函数的周期
ൌ
2
,解得
2.
又因为
䁧ሼ ൌ sin䁧ሼ
4
的减区间
满足:
2 2 e ሼ
4 e
i
2 2䁧
,而题中
ሼ
4 䁧
1
2
4 ㌳
4 .
由此建
立不等关系,解之即得实数
的取值范围.
本题给出函数
ൌ sin䁧ሼ
的一个单调区间,求
的取值范围,着重考查了正弦函
数的单调性和三角函数的图象变换等知识,属于基础题.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
第
㌳
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17.
已知集合
ൌ ሼ
1
4 e ሼ e 2n
,集合
ൌ ሼ 1 ሼ i 2n
.
䁧1
当
ൌ 1
时,求
及
;
䁧2
若
ൌ
,求实数 m 的取值范围.
【答案】解:(1)当 m=1 时,Q= ,
所以 P
Q= ,
CRQ= ,
(2)因为 P∩Q=Q,所以 Q
⊆
P,
①当 m-1>3m-2,即 m<
1
2
时,Q=
∅
,满足题意,
②当 m-1≤3m-2,即 m
1
2
时,
1
>
1
4
i 2
<
2
,
解得:
5
4
<
<
4
i
,
综合①②可得:
实数 m 的取值范围 ,
【解析】(1)由集合的交、并、补运算得:当 m=1 时,Q= ,即 P
Q= ,CRQ= ,
(2)集合的包含关系,得 Q
⊆
P,讨论①Q=
∅
,②Q≠
∅
,运算可得解.
本题考查了集合的交、并、补运算及集合的包含关系,属简单题.
1㌳. 䁧1
已知角
的终边经过点
䁧1㌳ 2
,求
sin䁧
2cos䁧
5
2
cos䁧
的值;
䁧2
已知
tan ൌ 2
,求
sin4cos
5sin2cos
的值.
【答案】解:
䁧1
角
的终边经过点
䁧1㌳ 2
,
cos ൌ
1
14 ൌ
1
5 ൌ
5
5
,
sin ൌ
2
14 ൌ
2 5
5
,
sin䁧
2cos䁧
5
2
cos䁧 ൌ
cossin
cos ൌ sin ൌ
2 5
5
.
䁧2
已知
tan ൌ 2
,
sin4cos
5sin2cos ൌ
tan4
5tan2 ൌ
24
1s2 ൌ
1
.
【解析】
䁧1
由题意利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得要求式子的值.
䁧2
利用查同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式,查同角三角函数的基本关系,属于
基础题.
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19.
已知平面向量
ൌ 䁧i㌳4
,
ൌ 䁧9㌳ሼ
,
ൌ 䁧4㌳
,且
,
䁧1
求
与
䁧2
若
ൌ 2
,
䁞 ൌ
,求向量
、
䁞
的夹角的大小.
【答案】解:
䁧1
由
得
iሼ 4 9 ൌ s
,解得
ሼ ൌ 12
;
由
得
9 4 ሼ ൌ s
,
解得
ൌ
i
ሼ ൌ
i
12 ൌ i
;
所以
ൌ 䁧9㌳12
,
ൌ 䁧4㌳ i
;
䁧2 ൌ 2 ൌ 䁧 i㌳ 4
,
䁞 ൌ ൌ 䁧7㌳1
;
所以
䁞 ൌ i 7 4 1 ൌ 25
,
ൌ 䁧 i
2
䁧 4
2
ൌ 5
,
䁞 ൌ 7
2
1
2
ൌ 5 2
;
所以
cos e
,
䁞 ൌ
䁞
䁞 ൌ
25
55 2 ൌ
2
2
,
所以向量
、
䁞
的夹角为
i
4
.
【解析】
䁧1
由
求出 x 的值,由
求出 y 的值,从而得出
、
;
䁧2
计算
、
䁞
,利用平面向量夹角的公式求出
cos e
,
䁞
,即得夹角的大小.
本题考查了数量积表示两个向量的夹角,平行向量与共线向量,数量积判断两个平面向
量的垂直关系,其中根据“两个向量平行,坐标交叉相乘差为零,两个向量若垂直,对
应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键.
2s.
已知函数
䁧ሼ ൌ 2sin䁧
1
2 ሼ
.
䁧1
求
䁧ሼ
的最小正周期及其单调递增区间;
䁧2
若
ሼ ㌳
,求
䁧ሼ
的值域.
【答案】解:
䁧1 䁧ሼ ൌ 2sin䁧
1
2 ሼ
,
䁧ሼ
的最小正周期
ൌ
21
2 ൌ 4
.
由
2
2
1
2 ሼ
2
2
,得
4
4
i ሼ 4
2
i
,
.
䁧ሼ
的单调递增区间为
4
4
i ㌳4
2
i
,
;
䁧2 ሼ
,
2
1
2 ሼ
2
,则
i
1
2 ሼ
2
i
,
i
2 sin䁧
1
2 ሼ
1
,
i 2sin䁧
1
2 ሼ
2
.
即
i 䁧ሼ 2
.
䁧ሼ
的值域为
i㌳2.
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页
【解析】
䁧1
由三角函数的周期公式求周期,再由复合函数的单调性求函数的单调区间;
䁧2
由 x 的范围求得相位的范围,则函数的值域可求.
本题考查三角函数的恒等变换应用,考查
ൌ sin䁧ሼ
型函数的图象和性质,是基
础题.
21.
一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时,它才能起到有效治疗的作用,已知每服
用
䁧1 12
且
克的药剂,药剂在血液中的含量
䁧
克
随着时间
ሼ䁧
小
时
变化的函数关系式近似为
ൌ
i 䁧ሼ
,其中
䁧ሼ ൌ
1s
4ሼ ㌳s ሼ e
4
ሼ
2 ㌳ ሼ ㌳
.
䁧1
若病人一次服用 9 克的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?
䁧2
若病人第一次服用 6 克的药剂,6 个小时后再服用 3m 克的药剂,要使接下来的
2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值.
【答案】解:
䁧1
由
ൌ 9
可得
ൌ i䁧ሼ ൌ
is
4ሼ ㌳s ሼ e
12
iሼ
2 ㌳ ሼ ㌳
,
当
s ሼ e
时,
is
4ሼ 2
,解得
ሼ 11
,此时
s ሼ e
;
当
ሼ e ㌳
时,
12
iሼ
2 2
,解得
ሼ
2s
i
,此时
ሼ
2s
i
,
综上可得
s ሼ
2s
i
,
病人一次服用 9 克的药剂,则有效治疗时间可达
2s
i
小时;
䁧2
当
ሼ ㌳
时,
ൌ 2䁧4
ሼ
2 䁧
1s
4䁧ሼ ൌ ㌳ ሼ
1s
ሼ2
,
由
ൌ ㌳ ሼ
,
ൌ
1s
ሼ2 䁧 1
在
㌳㌳
均为减函数,
可得
ൌ ㌳ ሼ
1s
ሼ2
在
㌳㌳
递减,
即有
㌳ ㌳
1s
㌳2 ൌ
5
i
,
由
5
i 2
,可得
5
,
可得 m 的最小值为
5
.
【解析】
䁧1
由
ൌ 9
可得函数 y 的解析式,可令
2
,分段解不等式求并集即可;
䁧2
由当
ሼ ㌳
,可得函数 y 的解析式,化简,结合函数的单调性,可得最小值.
本题考查函数在实际问题中的运用,考查函数的单调性的运用:求最值,考查化简变形
能力和运算能力,属于中档题.
22.
已知函数
䁧ሼ ൌ ln䁧4 ሼ 2 5
,
䁧ሼ ൌ ln䁧
1
ሼ
,其中 a 为常数.
䁧1
当
ൌ i
时,设函数
䁧ሼ ൌ 䁧2ሼ
2
1 䁧ሼ
2
,判断函数
䁧ሼ
在
䁧s㌳
上是
增函数还是减函数,并说明理由;
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䁧2
设函数
쳌䁧ሼ ൌ 䁧ሼ 䁧ሼ
,若函数
쳌䁧ሼ
有且仅有一个零点,求实数 a 的取值
范围.
【答案】解:
䁧1 ൌ i
时,
䁧ሼ ൌ ln䁧ሼ 1
,
故
䁧ሼ ൌ ln
2ሼ
2
ሼ
2
1 䁧ሼ s
,
䁧ሼ
在
䁧s㌳
递增,
2ሼ
2
ሼ
2
1 ൌ 2
2
ሼ
2
1
,
2
ሼ
2
1
在
䁧s㌳
递减,
2
2
ሼ
2
1
在
䁧s㌳
递增,
故
䁧ሼ
在
䁧s㌳
递增;
䁧2
由
쳌䁧ሼ ൌ s
,得
䁧ሼ ൌ 䁧ሼ
,即
ln䁧4 ሼ 2 5 ൌ ln䁧
1
ሼ
,
若函数
쳌䁧ሼ
有且只有 1 个零点,
则方程
ln䁧4 ሼ 2 5 ൌ ln䁧
1
ሼ
有且只有 1 个实数根,
化简得
䁧4 ሼ 2 5 ൌ
1
ሼ
,
即
䁧4 ሼ
2
䁧 5ሼ 1 ൌ s
有且只有 1 个实数根,
ൌ 4
时,
䁧4 ሼ
2
䁧 5ሼ 1 ൌ s
可化为
ሼ 1 ൌ s
,即
ሼ ൌ 1
,
此时
1 ൌ i s
䁧4125ൌis
,满足题意,
当
4
时,由
䁧4 ሼ
2
䁧 5ሼ 1 ൌ s
得:
䁧4 ሼ 1䁧ሼ 1 ൌ s
,解得:
ሼ ൌ
1
4
或
ሼ ൌ 1
,
䁧
当
1
4 ൌ 1
即
ൌ i
时,方程
䁧4 ሼ
2
䁧 5ሼ 1 ൌ s
有且只有 1 个实数根,
此时
1 ൌ 2 s
䁧4125ൌ2s
,满足题意,
䁧
当
1
4 1
即
i
时,
若
ሼ ൌ 1
是
쳌䁧ሼ
的零点,
则
1 s
䁧4125s
,解得:
1
,
若
ሼ ൌ
1
4
是
쳌䁧ሼ
的零点,则
䁧4
1
4 2 5 s
11
4 s
,解得:
2
,
函数
쳌䁧ሼ
有且只有 1 个零点,
2
1
或
2
1
1 e 2
,
综上,a 的范围是
䁧1㌳2 i
,
4n
.
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【解析】
䁧1
代入 a 的值,求出
䁧ሼ
的解析式,判断函数的单调性即可;
䁧2
问题转化为
䁧4 ሼ
2
䁧 5ሼ 1 ൌ s
有且只有 1 个实数根,通过讨论 a 的范围,
结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式组,解出即可.
本题考查了函数的单调性,零点问题,考查二次函数的性质以及分类讨论思想,转化思
想,是一道综合题.