广东省2018-2019学年汕头市潮阳区高一上期末数学试卷

ൌ log2 log22 ൌ 1由指数函数的图象和性质可得 ， 1 ൌ 1 2 ൏ log 1 ൌ log 【解析】解：由对数函数的图象和性质可得 ൏ ൏ 【答案】B D. ൏ ൏ C. ൏ ൏ B. ൏ ൏ A. ，则 . 2 1 ൌ ， ൌ log2 ， 2 1 ൌ log 设 . 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． ． 2sin cos 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 故选：C． ， 1 1 1 ൌ 2 1 1 1 2sin cos ൌ ， 1 2 1 䁕 ൌ 2 cos ൌ ， 1 1 䁕 ൌ sin ൌ 则 ， 2䁥 坐标为 终边上有一点 P 始边与 x 轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 【解析】解：已知角 【答案】C D. 1 1 1 C. 1 1 B. 1 1 2sin cos ൌ A. ，则 2䁥 终边上有一点 P 坐标为 始边与 x 轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且 在平面直角坐标系中，已知角 2. 的运算． 考查描述法、区间表示集合的概念，对数函数的定义域，以及指数函数的单调性，补集 可解出集合 A，B，然后进行补集的运算即可． 故选：A． ． ൌ 䁥 ； ൌ ሼ 1 ൏ ሼ ൏ ݔ ൌ ሼሼ 1ݔ 【解析】解： 䁥 1 䁥 【答案】A D. ， 䁥 1 䁥 C. B. 䁥 A. ൌ ，则 ݔ 1 ሼ ൌ ሼ ，集合 2ሼ ݔ 2 ൌ ሼݔ ൌ ln ሼ 已知集合 1. 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 试卷（解析版） 广东省汕头市潮阳区 20182019 学年高一（上）期末数学 页 12 页，共 1 第 ．故选：C 0)'/>， 或 C 由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数 【解析】解：A 虽增却非奇非偶，B、D 是偶函数， 【答案】C ሼ 2 ሼ ݔ ൌ 2 D. ሼ 2 ሼ ݔ ൌ 2 C. ሼ ݔ ൌ 2 B. ሼ ݔ ൌ 2 A. 下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是 . 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，平面向量基本定理． ． 量，从而得出 都是非零向 和 ，而根据题意可判断 ൌ 即可得出 ൌ 根据 故选：C． ． 都是非零向量； 和 不共线； 䁥 又 ； ൌ 2 2 ൌ ； ൌ 【解析】解： 【答案】C A. 相等 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直 的关系是 与 不共线时， ， ，当 ൌ 满足 ， 若向量 . 本题考查函数值的求法，考查实数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ，能求出结果． 2 2 ൌ ， logሼ ሼ ൌ 2 ሼ 由 故选：B． ． 2 䁕 2 ൌ 1 log2 ൌ 2 ൌ 2 2 2 ൌ ， logሼ ሼ ൌ 2 ሼ 【解析】解： 【答案】B D. 17 log C. 2 䁕 2 ൌ A. 2 B. ，则 logሼ ሼ ൌ 2 ሼ 若 . 调性，以及图象的分布，属中档题． 本题主要考查指对数函数的图象和性质在比较大小中的应用，一般来讲，考查函数的单 ，从而可得 a、b、c 的大小关系． ൏ 1 ൏ ，根据指数函数的图象和性质可得 1 ， ൏ 根据对数函数的图象和性质可得 ൏ ൏ 故选：B． ൌ 1 2 ൏ 1 . 2 ൏ ൌ 1 页 12 页，共 2 第 【答案】C C. D. A. B. 的部分图象大致为 1cosሼ sin2ሼ ݔ ൌ 函数 . 此题考查了向量加法法则，重心定理等，难度不大． 即可得解． 2 1 为 ，再结合四边形法则转化 2 ൌ 利用重心定理得到 故选：A． ， 1 1 ൌ 2 1 ൌ 2 ൌ 2 ， 2 ൌ 为重心， ，E 为中点， 【解析】解： 【答案】A 2 2 D. 2 1 C. 1 2 B. 1 1 ൌ A. 的边 BC，AC 上的中点，AD、BE 交于点 F，则 已知 D，E 分别是 7. 性质． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断． 页 12 页，共 第 䁕 ൌ 2 ൌ 2 2 ൌ 2 ൌ 2 1 ൌ 所以 ൌ 2 所以 D 为线段 AB 上的点且 2 1 ൌ 即对于平面 ABC 内的任一点 M，平面 ABC 内总有一点 D 使得 ， ൌ 2 【解析】解：对于平面ABC内的任一点，平面ABC 内总有一点 D 使得 【答案】D ൌ A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 ，则 ൌ 2 内总有一点 D 使得 ，对于平面 ABC 内的任一点 M，平面 ABC ൌ ， 2 ൌ 在直角三角形 ABC 中， 1. 的大小关系和范围是关键． ሼ 和 ሼ 2 本题考查了二次函数与指数函数的性质，比较 的单调性得出结论． ሼ 的大小关系，结合 ሼ 和 ሼ 得出 ，从而 ൌ 2 ，可求出 ሼ ൌ 1 可知对称轴为 ሼ ൌ 2 ሼ ，由 ൌ 得出 ൌ 由 .故选：A． ሼ ሼ .综上， ሼ ൌ ሼ 2 ， ൌ 1 ሼ ൌ 2 ሼ 时， ሼ ൌ .当 ሼ ൏ ሼ 2 上单调递增， 1䁥 在 ሼ ， 1 ሼ 2 ሼ 时， ሼ .当 ሼ ൏ ሼ 2 上单调递减， 䁥1 在 ሼ ， ൏ 1 ሼ ൏ 2 ሼ ൏ 时， ሼ ൏ 当 ． ൌ 2 ，即 2 ൌ 1 ， ሼ ൌ 2 ሼ ， ൌ ， ൌ 【解析】解： 【答案】A 不可比较 ሼ 与 ሼ D. ሼ ሼ C. ሼ ൏ ሼ B. ሼ ሼ A. ，则 ሼ ൌ 2 ሼ ，有 ሼ ，且对任意 ൌ 满足 ሼ 2 ሼ ൌ ሼ 设 䁕. 数的图象的常用方法． 本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的特殊点是判断函 判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可． 故选：C． ，排除 D． ൌ 时， ሼ ൌ ，排除 A， 2 ൌ 1 1 2 ൌ 时， ሼ ൌ 当 可知函数是奇函数，排除选项 B， ， 1cosሼ sin2ሼ ݔ ൌ 【解析】解：函数 页 12 页，共 第 ． 2 或 2 1 ൏ 成立，解之可得 1 1 2 2 ൌ 1 的最大值大于 1，由二次函数的性质得： 1 2 2 2 1 ݔ ൌ ሼ 是空集，可得函数 ，结合题中不等式解集不 1 2 2 2 1 ሼ 整理成 ሼ ሼ 先利用定义把 故选：A． ． 2 或 2 1 ൏ 成立，解之可得 1 1 2 2 ൌ 1 即 的最大值大于 1， 1 2 2 2 1 ݔ ൌ ሼ 转化为函数 成立， ሼ ሼ 1 ，使得不等式 ሼ ． 1 2 2 2 1 ሼ ൌ 2 ሼ 2 ሼ ሼ ൌ ሼ 1 ሼ ܽ ൌ ሼ 【解析】解：由题知 【答案】A 2 䁥 1 2 䁥 D. 2 1 2 䁥 C. 2 2 䁥 1 B. 2 䁥 2 1 䁥 A. 则实数 a 的取值范围是 成立， ሼ ሼ 1 使得 ሼ ，若 ሼ ݔ ൌ ሼ1 ݔ 在 R 上定义运算： 12. 的图象变换规律，诱导公式，属于基础题． ݔ ൌ sinሼ 本题主要考查函数 的图象变换规律，诱导公式，得出结论． ݔ ൌ sinሼ 利用函数 故选：D． ， 12 则正实数 m 的最小值为 的图象， 2 sin2ሼ ൌ cos2ሼ ݔ ൌ 可得 ݉ 个单位长度 12 的图象至少向右平移 ݔ ൌ cos2ሼ 【解析】解：将函数 【答案】D 12 D. 12 7 C. B. 7 A. ݔ ൌ sin2ሼ的图象，则正实数 m 的最小值为 可得 ݉ 的图象向右平移 m 个单位长度 ݔ ൌ cos2ሼ 已知将函数 11. 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题． 后代入相乘即可． ， 转化为 将 ，再 ൌ 2 所以 D 为线段 AB 上的点且 2 1 ൌ 2 ൌ 故选：D． 页 12 页，共 第 第 页，共 12 页 本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用 . 关于新定义型的题，关键是理解定义， 并会用定义来解题． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 已知 tan ൌ 2 ，则 sincos sincos 的值为______． 【答案】 1 【解析】解： tan ൌ 2 ， sincos sincos ൌ tan1 tan1 ൌ 21 21 ൌ 1 ， 故答案为： 1 ． 将所求关系式“切”化“弦”，将 tan ൌ 2 代入计算即可． 本题考查同角三角函数基本关系的运用，“切”化“弦”是关键，属于基础题． 1. 已知 ሼ ൌ log2ሼ 1䁥ሼ 1 2 ሼ1 2䁥ሼ1 ，且 ൌ ，则 ൌ ______． 【答案】7 【解析】解： ሼ ൌ log2ሼ 1䁥ሼ 1 2 ሼ1 2䁥ሼ1 ，且 ൌ ， 当 1 时， ൌ 2 1 2 ൌ ，无解； 当 1 时， ൌ log2ሼ 1 ൌ ，解得 ൌ 7 ． 综上， ൌ 7 ． 故答案为：7． 当 1 时， ൌ 2 1 2 ൌ ；当 1 时， ൌ log2ሼ 1 ൌ . 由此能求 出 a． 本题考查实数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 1. 设 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， 2 ൌ 1 ， ൌ ， 则 ൌ ______． 【答案】2 【解析】解： ൌ 以 AB、AC 为邻边作平行四边形，可得对角线 AD 与 BC 长度相等 因此，四边形 ABDC 为矩形 是线段 BC 的中点， 是 斜边 BC 上的中线，可得 ൌ 1 2 2 ൌ 1 ，得 2 ൌ 1 ，即 ൌ ൌ 1 2 ൌ 2 ．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题 根据向量的夹角公式可求得． 2 ； 䁥 可得 1䁥1 据 ，再根 ൌ 2䁥 1 ，从而得 ‶ ൌ 1 得到 ，根据 ݉ ൌ 2 得到 根据 1 【解析】 ． ൌ 2䁥11䁥2 ൌ ൌ ， cos ൏ 可知 1 由 2 ； 䁥 所以 ， ൌ ൌ 1䁥1 2䁥 1 ൌ 䁥 所以 ， 1䁥1 ，因为 ൌ ݉䁥‶ ൌ 2䁥 1 所以 ， 2 ൌ 1 1 ‶ ൌ 2 ， ݉ ൌ 2 ， 1 ൌ 2݉ ൌ 【答案】解： 夹角的余弦值． 与向量 求向量 2 求实数 m，n 及点 B 的坐标； 1 ． ൌ ݉䁥‶ ， ， 且 2 䁥‶ 1 ൌ ， ൌ 䁥݉ ， ൌ 1䁥 2 ，平面向量 1䁥1 已知点 A 在平面直角坐标系中的坐标为 17. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力． 利用分段函数画出函数的图象，然后求解 a 的范围即可． ． 䁥1 故答案为： ． 䁥1 可得 个交点． 由 4 ݔ ൌ ， ݔ ൌ ሼ 转化为 有四个不同的实数根， ሼ ൌ 函数的图象如图：方程 ， ሼ䁥 ሼ 䁕 cos logሼ䁥 ൏ ሼ ൏ ሼ ൌ 䁥1【解析】解：函数 【答案】 则实数的取值范围是______． 有四个不同的实数根， ሼ ൌ ，若方程 ሼ䁥 ሼ 䁕 cos logሼ䁥 ൏ ሼ ൏ ሼ ൌ 已知函数 1. 加法、减法法则和模的计算公式等知识，属于基础题． 着重考查了向量的 . 的模，求另一个向量的模 满足的等式和向量 、 本题给出向量 的值． 结合题中数据即可算出 ， 2 1 ൌ 斜边 BC 上的中线，可得 四边形 ABDC 为矩形，可得 AM 是 根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以 AB、AC 为邻边的平行 故答案为：2 页 12 页，共 7 第 第 页，共 12 页 1. 1 求值： 1 2 lg2 log1 log27 log72 ； 2 已知 为第四象限角，且 sin21䁕costan tancos 2 ൌ 1 ，求 sin 的值． 【答案】解： 1 1 2 lg2 log1 log27 log72 ൌ 1 2 lg2 lg lg7 lg2 lg2 lg7 ൌ 1 2 lg2 lg2 ൌ 11 2 ． 2 sin21䁕costan tancos 2 ൌ 1 ， 可得： sincostan tansin ൌ cos ൌ 1 ， cos ൌ 1 ， 为第四象限角， sin ൌ 1 cos 2 ൌ 2 2 ． 【解析】 1 通过对数的运算法则化简求解即可． 2 利用诱导公式化简求解即可． 本题考查对数运算法则的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力． 1䁕. 已知定义在R 上的函数 ሼ ൌ sinሼ 䁥 䁥 2 的最大值和最小 值分别为 m、n，且函数 ሼ 同时满足下面三个条件： 相邻两条对称轴相距 ； ‶ ݉ ൌ ； 2 ൌ 2 ． 1 求函数 ሼ 的解析式； 2 求函数 ሼ 的单调递减区间及其对称轴； 求函数 ሼ 在区间 䁥 上的值域． 【答案】解： 1 相邻两条对称轴相距 ， 周期 ൌ ， ൌ 2 ，又 ， ൌ 1 ， 又 ‶ ݉ ൌ ൌ 2 ， ൌ 2 ， ሼ ൌ 2sin 2 ， 由 2 ൌ 2sin 2 ൌ 2 ，可知 sin 2 ൌ 1 ， 即 2 ൌ 2 2൭ ， ൭ ， 解得 ൌ 2൭ ， ൭ ， 又 2 ， ൌ ， ሼ ൌ 2sin 1 ሼ . 2 由 2 2൭ 1 ሼ 2 2൭ ， ൭ ， 2 ൭ ሼ ൭ ， 函数的单调性减区间为 2 ൭䁥 ൭ܽ ， ൭ ． 由 sin 1 ሼ ൌ 1 ，得 1 ሼ ൌ 2 ൭ ， ൭ ， 解得 ሼ ൌ 2 ൭ ， ൭ ， ， ሼ 1 1 ሼ ൌ 1 ݔ ൌ 1 则 元时能出租的车辆将减少 1 辆， 由表格可知，当定价为 3000 元时，能出租 100 辆，当定价每提升 50 1 【答案】解： 当 x 何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？ 2 按调查数据，请将 y 表示为关于 x 的函数． 1 能出租的汽车数量为 y 辆． 设租赁公司每辆车月租金定价为 x 元时，每月 . 使得公司每月至少能出租 10 辆汽车 定价必须 不低于 3000 元； 为方便预测，月租金定价必须为 50 的整数倍； 价满足： 由上表，他决定每辆车月租金定 . 费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元 若他打算购入汽车 100 辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护 辆 100 99 98 97 96 95 能出租的车辆数 3000 3050 3100 3150 3200 3250 元 每辆车月租金定价 司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表： 有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公 . 三轮车减少，市民出行偶有不便 随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的 . 称号 市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺 2020 年“全国文明城市” 一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头 环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这 一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、 . 2016 年汕头市开展了一场创文行动 2. 础知识，考查运算求解能力，是中档题． 本题考查三角函数的解析式、减区间、对称轴、值域的求法，考查三角函数的性质等基 上的值域． 䁥 在区间 ሼ ，由此能求出函数 䁥 ሼ 1 ，得 ሼ 䁥 由 ，能求出函数的对称轴． ൌ 1 ሼ 1 sin ，能求出函数的单调性减区间；由 ൭ ， 2 2൭ ሼ 1 2 2൭ 由 2 ． ሼ 此能求出 ，由 ൌ ，求出 ൌ 2 2 2 ൌ 2sin ，由 2 ሼ ൌ 2sin ，从而 ൌ 2 得 ， ‶ ݉ ൌ ൌ 2 ，由 1 ൌ ，求出 ൌ ，从而周期 相邻两条对称轴相距 1 【解析】 ． 1䁥2ܽ 上的值域为 䁥 在区间 ሼ 函数 2 䁥1ܽ. 1 ሼ sin 1 ， 䁥 ሼ 1 ， ሼ 䁥 ． ൭ ， ሼ ൌ 2 ൭ 函数的对称轴为 页 12 页，共 䁕 第 ， ሼ 2ሼ 1 即 ， 2ሼ1 ൌ 2 2ሼ2 2 2 ሼ 2 即 ， ሼ1 2 ሼ 2 1 不等式等价为 在 R 上是增函数， ሼ ， 1 ሼ 2 2 1 ൌ 1 ሼ 2 12 ሼ 2 1 ൌ ሼ 2 1 ሼ 2 ሼ ൌ ， ሼ1 2 ሼ1 ൌ 2 2ሼ 1 得 ሼ1 2 2ሼ 1 由不等式 是奇函数． ሼ ，即函数 1 ൌ ሼ ሼ 2 1 ሼ 2 ൌ ሼ 12 ሼ 12 1 ൌ ሼ 2 1 ሼ 2 ሼ ൌ 函数的定义域为 R， 2 ． 2 1 ൌ ， ൌ 2 2 则 ， 21 ൌ 2 1 1 2 22 ൌ 2 1 ൌ 2 即 ， 1 ൌ 2 2 2 2 2 得 ， 1 ൌ 2 2 2 2 1 ൌ 1 2 12 2 1 ൌ 2 1 2 ，则 ൌ 2 2 若 1 【答案】解： 的解集． ሼ1 2 ሼ 2 1 求不等式 的奇偶性，并证明你的结论． ሼ 判断函数 2 ，求 a 的值． ൌ 2 2 若 1 ． 1 ሼ 2 1 ሼ 2 ሼ ൌ 21. 已知函数 值的关系是解决本题的关键． 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用一元二次函数对称轴与最 利用配方法结合一元二次函数最值的性质进行求解 2 能出租的车辆将减少 1 辆，根据变化关系，设出函数关系即可 根据表示得到当定价为 3000 元时，能出租 100 辆，当定价每提升 50 元时 1 【解析】 即月租金定为 4050 时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为 307050 元． 取得最大值为 307050， ሼ 时， ሼ ൌ 当 ， ሼ 7 ， 7 2 ሼ 1 ൌ 12ሼ 21 2 ሼ 1 ሼ ൌ 1 ሼሼ 1 1 1 1 ሼ ൌ 1 则 ， ሼ 知，租赁公司的月收益为 1 由 2 ， ൭ ， ሼ ൌ ൭ ，且 ሼ 7 ， ሼ 1 1 ݔ ൌ 所以所求函数 ， ሼ 7 ，得 ሼ 1 1 ，得 ሼ 1 1 1 ，得 ݔ 1 令 页 12 页，共 1 第 本题主要考查不等式的解法，结合一元二次不等式的解法，利用分类讨论法是解决本题 分别讨论 a 的取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可 2 ，结合一元二次不等式的解法进行求解即可 ሼ 时，先求出 ൌ 1 当 1 ݔ.【解析】 2 ൏ ሼ ൏ ሼ ，不等式的解集为 2 1 若 ，不等式的解集为空集， 2 1 ൌ 若 ， ݔ ൏ ሼ ൏ 2 ሼ ，不等式的解集为 2 1 ൏ ൏ 若 ， ݔ 2 ሼሼ ，不等式的解集为 ൌ 若 ， ݔ 2 ሼ 或 ሼ ൏ ሼ ൏ ，不等式的解集为 ൏ 综上若 ， 2 ሼ 或 ൏ ሼ ൏ ，得 1 lnሼ ൏ 或 lnሼ ，即 1 ൏ 或 此时不等式的解为 ， 1 2 ，且 1 开口向下，有两个零点 2， ݔ ൌ 1 2 ，抛物线 ൏ 若 ， 2 ൏ ሼ ൏ ，得 ൏ lnሼ ൏ 2 1 ，即 ൏ ൏ 2 1 ，此时不等式的解为 1 2 ，则 2 1 若 的无解， 1 2 ൏ ，此时不等式 1 2 ൌ ，则 2 1 ൌ 若 ， ൏ ሼ ൏ 2 ，得 1 2 ൏ lnሼ ൏ ，即 1 2 ൏ ൏ ，此时不等式的解为 1 2 ൏ ，则 2 1 ൏ ൏ 若 ， 1 开口向上，有两个零点 2， ݔ ൌ 1 2 ，抛物线 若 ， 1 2 ൏ ，则不等式等价为 ൌ lnሼ 令 ， lnሼ 1lnሼ 2 ൏ ，则不等式等价为 若 ， 2 ሼ ，得 lnሼ 2 得 lnሼ 2 ൏ ，则不等式等价为 ൌ 若 ， 2 1lnሼ 2 ൏ 2 lnሼ 即 ， 2 ൏ 21 lnሼ 2 lnሼ 得 ሼ ൏ 由 2 . 2 䁥 为 ，即不等式的解集 2 ൏ ሼ ൏ ，即 1 ൏ lnሼ ൏ 2 ，得 lnሼ 1lnሼ 2 ൏ 得 ሼ ൏ 由 ， 1lnሼ 2 lnሼ 2 ൌ lnሼ 2 2 ൌ lnሼ lnሼ 2 ሼ ൌ lnሼ 时， ൌ 1 当 1 【答案】解： 的解集． ሼ ൏ 讨论不等式 2 的解集． ሼ ൏ 时，求不等式 ൌ 1 当 1 ． 2ሼ 21 lnሼ 2 ሼ ൌ lnሼ 22. 已知函数 是解决本题的关键． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数单调性和奇偶性的定义，进行转化 利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可 根据函数奇偶性的定义进行证明 2 根据条件建立方程进行求解即可 1 【解析】 ． 1䁥 即不等式的解集为 ． ሼ 1 得 页 12 页，共 11 第 第 12 页，共 12 页 的关键．