山西省2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷

2018—2019 学年第二学期高一期末考试数学试题 【满分 150 分，考试时间 120 分钟】 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1．在 ABC 中， 7a ， 3c ， 3 A ．则 Csin 的值为( ) A． 16 33 B． 14 33 C． 7 34 D． 16 37 2．不等式 2 3 2 0x x    的解集是（ ）[来源:学*科*网] A． | 2 1x x x 或 B． | 2 1x x x 或 C． |1 2x x  D． |1 2x x  3．已知各项为正数的等比数列 na 中， 12 a ， 6464 aa ，则公比 q ( ) A．4 B．3 C．2 D． 2 4．若实数 ba, 满足条件 ba  ，则下列不等式一定成立的是 A． ba 11  B． 22 ba  C． 2bab  D． 33 ba  5．已知数列 na 为等差数列，若 41371  aaa ，则  )tan( 122 aa （ ） A． 3 3 B． 3 C． 3 3 D． 3 6．已知 yx, 满足条件       2 0 0 xy y x ，则目标函数 yxz  的最小值为( ) A．0 B．1 C． 2 D． 1 7．公差不为零的等差数列  na 的前 n 项和为 nS .若 4a 是 3a 与 7a 的等比中项, 31 a ，则 10S （ ） A．18 B．24 C．60 D．90 8．若关于 x 的一元二次不等式 0122  axax 的解集为 R ，则实数 a 的取值范围是( ) A．     ,10, B．  1,0 C．     ,10, D． 1,0 9．在 ABC 中，边 cba ,, 分别是角 , ,A B C 的对边，且满足 BcaCb cos)3(cos  ，若 4 BABC ， 则 ac 的值为 ( ) A．12 B．11 C．10 D．9 10．若 a,b 是方程 2 0( 0, 0)x px q p q     的两个根， 且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等 差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值为( ) A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 [来源:Z&xx&k.Com] 11．在 ABC 中，AB＝2，C＝ ，则 AC＋ BC 的最大值为（ ） A． 7 B． 73 C． 74 D． 72 12．对于数列 na ，定义 n aaaA n n n 1 21 22  为数列 na 的“好数”，已知某数列 na 的“好 数” 12  n nA ，记数列 knan  的前 n 项和为 nS ，若 6SSn  对任意的  Nn 恒成立，则实数 k 的取值范围为（ ） A．     7 16,4 9 B．     3 7,7 16 C．     5 12,3 7 D．     2 5,5 12 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．在 ABC 中， 32a , 2b ， 3ABCS ，则角 C ____. 14．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 3 75, 13a a  ，则 10S  ___________. 15．已知正实数 ,a b 满足 2 1a b  ，则 1 1 2a b  的最小值为_______ 16．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 2,1 21  aa 且 023 12   nnnn aSSS )(  Nn ，记 n n SSST 111 21  )(  Nn ，若   nTn  6 对  Nn 恒成立，则  的最小值 为 ． 三、解答题：本大题共 70 分 17．(本题满分 10 分)已知等差数列 na 满足 3 52, 3a a  ． （1） 求 na 的通项公式； （2） 设等比数列 nb 满足 1 1 4 15,b a b a  ,求 nb 的前 n 项和 nT . 18．(本题满分 12 分)在锐角 ABC 中， , ,a b c 分别为内角 , ,A B C 所对的边，且满足 0sin23  Aba ． （1）求角 B 的大小； （2）若 5, 7a c b   ，求 ABC 的面积． 19．(本题满分 12 分)已知数列 na 的前 项和为 ，且 2， ， 成等差数列． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 n nb n a  ，求数列 nb 的前 项和 nT ； 20．(本题满分 12 分)在 ABC 中，内角 A B C， ， 所对的边分别为 , ,a b c .已知 2b c a  ， 3 sin 4 sinc B a C . （1）求 cosB 的值； （2）求sin 2 6B     的值. 21．(本题满分 12 分)已知数列 na 满足 1 1a  ， 121  nn aa ， *n N . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设  2 2 1log 1n nb a   ，求数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT . 22．(满分 12 分)设数列 na , nb ，已知 2 4,5,3 111 n n baba   ， 2 4 1 n n ab    Nn ， (1) 求数列 nn ab  的通项公式； (2) 设 nS 为数列 nb 的前 n 项和,对任意  Nn . (i) 求证： 8 nn ba ； (ii)若  3,1)4(  nSp n 恒成立，求实数 p 的取值范围． 2018—2019 学年第二学期高一期末考试数学试题答案 1.B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.D 11.C 12.B 13. 30 或 150 14. 90 15. 2 9 16. 6 1 [来源:学|科|网] 17.（1）设 na 的公差为 d ，则由      3 2 5 3 a a 得      2 1 11 d a ,即 2 1 nan （2）由（1）得 8,1 41  bb ．设 na 的公比为 q ，则 8 1 43  b bq ，从而 2q ， 故 nb 的前 n 项和 1221 )21(1   n n nT ． 18.（1） 3 B （2）由余弦定理 Baccab cos2222  ,得 722  acca 5 ca 6ac 2 33sin2 1   BacS ABC 19. （1）由题意知 nn Sa ,,2 成等差数列，所以 nn Sa  22 ① ,可得 )2(22 11   nSa nn ② ①-②得 )2(2 1   naa nn ，又 11 22 aa  ， 21 a ，[ 所以数列 na 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， n na 2 . （2）由（1）可得 n n nb 2 ，用错位相减法得： n n nT 22423222 432  ① nT2 132 22)1(222  nn nn ② ①-②可得 22)1( 1  n n nT . 20.（1）解：在 ABC△ 中，由正弦定理 sin sin b c B C  ，得 sin sinb C c B ，又由3 sin 4 sinc B a C ， 得 3 sin 4 sinb C a C ，即 3 4b a .又因为 2b c a  ，得到 4 3b a ， 2 3c a .由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 4 16 19 9cos 22 42 3 a a aa c bB a a         . （2）解：由（1）可得 2 15sin 1 cos 4B B   ， 从而 15sin 2 2sin cos 8B B B   ， 2 2 7cos2 cos sin 8B B B    ， 故 15 3 7 1 3 5 7sin 2 sin 2 cos cos2 sin6 6 6 8 2 8 2 16B B B                ， 21.（1）由 121  nn aa 得：  1211  nn aa ，即 1 1 21 n n a a    ，且 1 1 2a   数列 1na  是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 11 2 2 2n n na      数列 na 的通项公式为：  *2 1n na n N   （2）由（1）得：    2 1 2 2 1 2log 1 log 2 1 1 2 1n n nb a n          1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n nb b n n n n            *1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 1 1 6 4 62 3n n nT n Nn                              22. (1) )(2 1 22 4 2 4 11 nn nnnn nn abbabaab   ，又 211  ab ，[来源:学|科|网]  nn ab  是以 2 为首项， 2 1 为公比的等比数列， 1 2 12       n nn ab ； （2）（i） 422 4 2 4 11   nnnn nn babaab ， )8(2 1811   nnnn baba 又 08,0811  nn baba 恒成立，即 8 nn ba （ ii) 由 8 nn ba , 1 2 12       n nn ab ， 两 式 相 加 即 得 ： 1)2 1(4  n nb ，                     n n n nnS 2 113 24 2 11 2 11 4                n n pnSp 2 113 24    3,14  nSp n ， 32 113 21               np 02 11      n  ， nn p         2 11 3 3 2 2 11 1 ， 当 n 为奇数时， n n 2 11 1 2 11 1       随 n 的增大而递增，且 1 2 11 10      n ； 当 n 为偶数时， n n 2 11 1 2 11 1       随 n 的增大而递减，且 1 2 11 1     n ； n     2 11 1 的最大值为 3 4 ， n     2 11 3 的最小值为 2， 23 2 3 4  p 解得 32  p ，所以实数 p 的取值范围为 3,2 ．