中考数学考前冲刺题8

中考数学考前冲刺题 8 专项练习 常用几何辅助线 【角平分线】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 【中垂线】 线段垂直平分线，常向两端把线连。 【线段倍分】要证线段倍与半，延长缩短可试验。 【中点】三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线构全等。 三角形中一中点，补中点来补中线，补完中线分面积。 中点附在线段上，构建全等 X 字形。中线交点是重心，分清哪是一比三。 【四边形】平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 【相似】证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 【垂径】 半径与弦长计算，弦心距来中间站。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 【切线】 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 【直径】是直径，成半圆，想成直角径连弦。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 【作圆】 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 【两圆】如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，此弦被它垂直且平分 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 【辅圆】要作等角添个圆，证明题目少困难。 【归一】假如图形较分散，对称旋转去实验。 6 月 3 日 【中点问题】 【先练后讲】 例 1.如图所示，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF。求证：AC=BF。 例 2.正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点， 且 AE=DC+CE。求证：AF 平分∠DAE 例 3.在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，AE 与 BF 交于点 P，连接 DP， （1）求证：AE⊥BF； （2）求证：DA＝DP。 例 4.如图，ABC 中，AD 平分∠BAC，从 B 作 BE⊥AD，交 AD 的延 长线于 E，M 为 BC 中点。试说明：  ME AB AC 1 2 P F E CD A B F B C D E A A E F B D C DM E A B C 【巩固研究】 1、此题多解）已知：正方形 ABCD 中，对角线 AC BD、 相交于 O BE， 平分  CBD AG BE， 分别交 BC BD、 于 G F、 。 求证： CG OF 2 6 月 4 日【角平分线】 【先练后讲】 1、如图，Rt△ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D， 求证：MA＝MD。 2、在△ABC 中，AB≠AC，D、E 在 BC 上，且 DE＝EC，过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F，DF＝AC， 求证：AE 平分∠BAC。 3、如图，在△ABC 中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB 的垂直平分线 交 BC 于点 D，BD＝ 26 ，AE⊥BC 于点 E，求 EC 的长。 4、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝900，AC＝BC，D 为 BC 的中 点，CE⊥AD，垂足为 E，BF∥AC 交 CE 的延长线于点 F，求证： AB 垂直平分 DF。 【巩固研究】 1、 如图 1，在△ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，△BDG 与四边 形 ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段 BG 的长； （2）求证：DG 平分∠EDF; （3）连接 CG，如图 2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG. A D O F B G C E 第 1 题图 M D C B A 第 2 题图 E F D CB A 第 3 题图 E F D CB A 第 4 题图 E F D C BA 6 月 5 日【变式】 【先练后讲】 1、 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合．将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP= a ， CQ= 9 2 a 时，P、Q 两点间的距离 (用含 a 的代数式表示)． 2、如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上， 此时 BD=CF，BD⊥CF 成立． （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若 成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G． ①求证：BD⊥CF； ②当 AB=4，AD= 时，求线段 BG 的长． 3、在 Rt⊿POQ 中，OP=OQ=4,M 是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放 在点 M 处，以 M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿POQ 的两直角边分别交于点 A、B， (1)求证：MA=MB (2)连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，⊿AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出 最小值，若不存在。请说明理由。 4、如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M、N； ②连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O； ③过 C 作 CE∥AB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD． （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）当∠ACB=90°，BC=6，△ADC 的周长为 18 时，求四边形 ADCE 的面积． 【巩固研究】 1 、 已 知 梯 形 ABCD ， AD∥BC ， AB⊥BC ， AD ＝ 1 ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 3 ， 问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ，DC 的长能否相等，为什么？ 问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线 PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由． 问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DE＝PD，再以 PE，PC 为边作平行 四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果 不存在，请说明理由． 问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AE＝nPA(n 为常数)，以 PE、 PB 为边作平行四边形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求 出最小值，如果不存在，请说明理由． 6 月 6 日【圆切线】 【先练后讲】 1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交 F E D C B A O 第 1 题图 于点 F ，如果 CEDE 4 3 ， 58AC ， D 为 EF 的中点． （1）求证： ACFAFC  ； （2）求 AB 的长． 2、 如图，△ABC 中，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E，交 CD 于点 F． （1）求证：CE=CF； （2）若 sinB= 3 5 ，求 DF ∶CF 的值． 3、如图，△ABC 内接于⊙O, AD 是⊙O 直径, E 是 CB 延长线上一点, 且BAE=C.（1）求证： 直线 AE 是⊙O 的切线； （2）若 EB=AB , 5 4cos E , AE=24，求 EB 的长及⊙O 的半径． 4、 如图，已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且 AC 平分 ∠PAE，过点 C 作 CD⊥PA 于 D． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若 AD：DC=1：3，AB=8，求⊙O 的半径． O A B C D E 【课后研究】 1、如图，C 是⊙O 的直径 AB 延长线上一点，点 D 在⊙O 上，且∠A=30°，∠BDC = 1 2 ABD ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 OF∥AD 分别交 BD、CD 于 E、F，BD =2，求 OE 及 CF 的长． 2、已知：如图，在△ABC 中，AB=BC，D 是 AC 中点，BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 B、E 两点, 交 BD 于点 G，交 AB 于点 F． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当 BD=6，sinC= 5 3 时，求⊙O 的半径． 6 月 7 日【变式综合】 【先练后讲】 1．用两个全等的等边△ABC 和△ACD 拼成如图的菱形 ABCD。现把一个含 60°角的三角板 与这个菱形叠合，使三角板的 60°角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB、AC 重合。将三 角板绕点 A 逆时针方向旋转。 （1）当三角板的两边分别与菱形的两边 BC、CD 相交于点 E、F 时（图 a） ①猜想 BE 与 CF 的数量关系是__________________；②证明你猜想的结论。 （2）当三角板的两边分别与菱形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 E、F 时（图 b）,连结 EF，判断△AEF 的形状，并证明你的结论。 A F D O E B G C A B C D E F 图 a A B C D E F 图 b 2.（1）如图 a，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三 角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC． （1）求∠AEB 的大小； （2）如图 b，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点 O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. 3．（1）如图 10，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，M 为 AB 中点，AF=CE，请判 断△MEF 的形状. （2）已知：如图 11 在 Rt△ABC 中, AC=BC, ∠C=90°，点 D 为 AB 上任一点，DF⊥AC 于 F， DE⊥BC 于 E，M 为 BC 的中点. ① 判断△MEF 是什么形状的三角形并证明你的结论. ② 当点 D 在 AB 上运动时，四边形 FMEC 的面积是否会改变,并证明你的结论． ③ 当点 D 在 BA 的延长线上运动时，如图 12，①中的结论还成立吗？ 4.已知：正方形 中， ， 绕点 顺时针旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）于点 ．当 绕点 旋转到 时（如图 18），易证 ． （1）当 绕点 旋转到 时（如图 19），线段 和 之间 有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明． （2）当 绕点 旋转到如图 20 的位置时，线段 和 之间又有怎样 的数量关系？请直接写出你的猜想． C B OD 图 a A B AO D C E 图 b 图3 G F B C A D L E 5．（1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E 作 EF⊥BD 于点 F， EG⊥AC 于点 G，CH⊥BD 于点 H，试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF⊥BD 于点 F，EG⊥AC 的延长线于点 G，CH⊥BD 于点 H， 则 EF、EG、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL，点 E 是 CL 上 任一点, EF⊥BD 于点 F，EG⊥BC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间具有怎样的数量关系， 直接写出你的猜想； (4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有 EF、 EG、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论. 【课后研究】 1. 在 ABC△ 中，AC=BC， 90ACB   ，点 D 为 AC 的中点． （1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到线段 DF， 连结 CF，过点 F 作 FH FC ，交直线 AB 于点 H．判断 FH 与 FC 的数量关系 并加以证明． （2）如图 2，若 E 为线段 DC 的延长线 上任意一点，（1）中的其他条件不变， 你在（1）中得出的结论是否发生改变， 直接写出你的结论，不必证明． 2. 如图 1，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作 AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分 别为 F、G，连接 FG，延长 AF、AG，与直线 BC 相交于 M、N． （1）试说明：FG= 12（AB+BC+AC）； （2）如图 2，若 BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段 FG 与△ABC 三边又有怎样 H F 图2 图1 H F E B C D A E D B C A 图2 图1 G F H D H G F D A B B A C E C E 的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由； （3）如图 3，若 BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段 FG 与 △ABC 三边的数量关系是 3. 两块等腰直角三角板△ABC 和△DEC 如图摆放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F 是 DE 的 中点，H 是 AE 的中点，G 是 BD 的中点． （1）如图 1，若点 D、E 分别在 AC、BC 的延长线上，通过观察和测量，猜想 FH 和 FG 的 数量关系为_______和位置关系为______； （2）如图 2，若将三角板△DEC 绕着点 C 顺时针旋转至 ACE 在一条直线上时，其余条件 均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由； （2）如图 3，将图 1 中的△DEC 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 3，（1）中的猜想还成 立吗？直接写出结论，不用证明. 6 月 8 日【几何最值】 【先练后讲】 1、在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转，得到 △A1BC1． （1）如图 1，当点 C1 在线段 CA 的延长线上时，求∠CC1A1 的度数； （2）如图 2，连接 AA1，CC1．若△ABA1 的面积为 4，求△CBC1 的面积； （3）如图 3，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 按逆时针方向 旋转过程中，点 P 的对应点是点 P1，求线段 EP1 长度的最大值与最小值． A B D E CH F G 图 3 A B DE C H F G 图 1 图 2 A B D E C H F G 2、如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M 是 BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形； （2）将△MDC 绕点 M 旋转，当 MD（即 MD′）与 AB 交于一点 E，MC（即 MC′）同时与 AD 交 于一点 F 时，点 E，F 和点 A 构成△AEF．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在， 请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值． 【课后研究】 1、如图①，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使 B 落在边 AD（含端点）上，落点记为 E，这时 折痕与边 BC 或者边 CD（含端点）交于 F，然后展开铺平，则以 B、E、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形” （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 三 角形 （2）如图②、在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于 AD 的中 点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点 F 的坐标； （3）如图③，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？ 若存在，说明理由，并求出此时点 E 的坐标？若不存在，为什么？ 图① 图② 图③ 图④ 2、在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕顶点 C 顺时针旋转， 旋转角为 (0°＜ ＜180°)，得到△A1B1C． (1)如图 1，当 AB∥CB1 时，设 A1B1 与 BC 相交于点 D．证明：△A1CD 是等边三角形； (2)如图 2，连接 AA1、BB1，设△ACA1 和△BCB1 的面积分别为 S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图 3，设 AC 的中点为 E，A1B1 的中点为 P，AC＝a，连接 EP．当 ＝ °时， EP 的长 度最大，最大值为 ． 6 月 9 日【定值与变化】 【先练后讲】 1、如图 1,在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为圆心的⊙O 的半径为 2 －1,直线 l y=－X－ 2 与坐标轴分别交于 A,C 两点,点 B 的坐标为(4,1) ,⊙B 与 X 轴相切于点 M. (1) 求点 A 的坐标及∠CAO 的度数; (2) ⊙B 以每秒 1 个单位长度的速度沿 X 轴负方向平移,同时,直线 l 绕点 A 顺时针匀速旋转. 当⊙B 第一次与⊙O 相切时,直线 l 也恰好与⊙B 第一次相切.问:直线 AC 绕点 A 每秒旋转多 少度? (3)如图 2.过 A,O,C 三点作⊙O1 ,点 E 是劣弧AO⌒ 上一点,连接 EC,EA.EO,当点 E 在劣弧AO⌒ 上 运动时(不与 A, O 两点重合), EO EAEC  的值是否发生变化?如果不变,求其值,如果变化,说明 理由. 2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 5y= x+m4 ( m 为常数)的图象与 x 轴交于点 A( 3 ，0)，与 y 轴交于点 C．以直线 x=1 为对称轴的抛物线 2y=ax +bx+c (a，b，c 为常 数，且 a≠0)经过 A，C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B． （1）求 m 的值及抛物线的函数表达式； （2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F．是否存 在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 E 的坐 标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与 y 轴 不平行的直线交抛物线于    1 1 1 2 2 2M x y M x y， ， ， 两点，试探究 1 2 1 2 M P M P M M  是否为定值， 并写出探究过程． 【课后研究】 1、如图 1，直线 y=mx+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，CE∥x 轴交∠CAO 的平分线于点 E，抛物线 452  axaxy 经过点 A、C、E，与 x 轴交于另一点 B （1）求抛物线的解析式。 （2）点 P 是线段 AB 上的一个动点，边 CP，作∠CPF=∠CAO，交直线 BE 于 F，设线段 PB 的长为 x，线段 BF 的长为 y5 6 ，当 P 点运动时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自 变量 x 的取值范围，在同一坐标系中，该函数的图象与（1）的抛物线中 y≥0 的部分有 何关系？ （3）如图 2，点 G 的坐标为（ 3 16 ，0），过 A 点的直线 )0(3  kkkxy 交 y 轴于点 N，与过 G 点的直线 kxky 3 161  交于点 P，C、D 两点交于原点对称，DP 的延长 线交抛物线于点 M，当 k 的取值发生变化时，问：tan∠APM 的值是否发生变化？若不变， 求其值，若变化，请说明理由。 2、已知，如图：在平面直角坐标系中，点 D 是直线 y=-x 上一点，过 O、D 两点的圆⊙O1 分 别交 x 轴、 y 轴于点 A 和 B， （1）当 A（-12，0），B（0，-5）时，求 O1 的坐标； （2）在（1）的条件下，过点 A 作⊙O1 的切线与 BD 的延长线相交于点 C，求点 C 的坐标． （3）若点 D 的横坐标为 2 7 ，点 I 为△ABO 的内心，IE⊥AB 于 E，当过 O、D 两点的⊙O1 的 大小发生变化时，其结论：AE-BE 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求 出变化范围． 【先练后讲】 1、如图 1，直线 AB 的解析式为 y=kx-2k（k