专题 10——综合型问题
题型特征：综合型试题是将所学的知识在一定的背景下进行优化组合，找到解决问题的方案，
在解决问题的时候所用到的知识不再是单一的知识点，而是相关的知识，可能同时用到方程、函数，
也有可能是三角形与多边形，也有可能是相关学科的知识，这类题目对学生综合能力的要求较高，
同时这类题目有相对新颖的背静环境，数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．
解题思路：
解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转
化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是
学习解综合题的关键．
具体策略：
类型之一 代数类型的综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不
等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法
等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，
化整为零，层层深人，各个击破．
类型之二 几何类型的综合题
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，
对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 解决几何型综合题
的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到
解决问题的目的．
类型之三 几何与代数相结合的综合题
几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代
数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出
考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、
四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学
知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、
数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.
代数综合题
【题型特征】 综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度
的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何
知识相结合的综合题.
以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的
一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过
程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.
代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.
为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.
【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真
读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能
出差错,思维要宽,考虑问题要全面.
类型一 方程不等式型
∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式=1.
【提醒】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出 x 的值,再把 x
的值代入进行计算即可.
举一反三
1.已知 m,n,k 为非负实数,且 m-k+1=2k+n=1,则代数式 2k2-8k+6 的最小值为( ).
A. -2 B. 0 C. 2 D. 2.5
2.若-2xm-ny2 与 3x4y2m+n 是同类项,则 m-3n 的立方根是 .
类型二 函数型
典例 2 如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2 ).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,
线段 GE,FO 相交于点 H,平行于 y 轴的直线 MN 分别交线段 GF,GH,GO 和 x 轴于点 M,P,N,D,连接 MH.
(1)若抛物线 l:y=ax2+bx+c 经过 G,O,E 三点,则它的表达式为: ;
(2)如果四边形 OHMN 为平行四边形,求点 D 的坐标;
(3)在(1)(2)的条件下,直线 MN 与抛物线 l 交于点 R,动点 Q 在抛物线 l 上且在 R,E 两点之间(不含点
R,E)运动,设△PQH 的面积为 S,当 时,确定点 Q 的横坐标的取值范围.
(1)
【全解】 (1)如图(1),过点 G 作 GI⊥CO 于点 I,过点 E 作 EJ⊥CO 于点 J,
∵A(2,0),C(0,2 ),∴OE=OA=2,OG=OC=2 .∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°,
∴G(- ,3),E( ,1).
设抛物线表达式为 y=ax2+bx+c,∵经过 G,O,E 三点,
(2) (3)
【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.
(2)平行四边形对边平行且相等,恰得 MN 为 OF,即为中位线,进而横坐标易得,D 为 x 轴上的点,
所以纵坐标为 0.
(3)已知 S 范围求横坐标的范围,那么表示 S 是关键.由 PH 不为平行于 x 轴或 y 轴的线段,所以考虑利
用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,
高为横坐标的差,进而可表示出 S,但要注意,当 Q 在 O 点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达
式再代入 ,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑 Q 本身在 R,E 之间的限制.
举一反三
类型二
3.现有 A,B 两种商品,买 2 件 A 商品和 1 件 B 商品用了 90 元,买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品用了 160 元.
(1)求 A,B 两种商品每件各是多少元?
(2)如果小亮准备购买 A,B 两种商品共 10 件,总费用不超过 350 元,但不低于 300 元,问有几种购买方
案,哪种方案费用最低?
4.如图,抛物线 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C,顶点为 D.
(1)求点 A,B,D 的坐标;
(2)连接 CD,过原点 O 作 OE⊥CD,垂足为点 H,OE 与抛物线的对称轴交于点 E,连接 AE,AD,求证:∠AEO=
∠ADC;
(3)以(2)中的点 E 为圆心,1 为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P,过点 P 作☉E 的切线,
切点为 Q,当 PQ 的长最小时,求点 P 的坐标,并直接写出点 Q 的坐标.
【小结】 本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的
表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于 y 轴的直线切三角形为 2 个三角形的常规方法来表示
面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.
课后精练：
类型一
1.若 ,则(x+y)2015 等于( ). A. -1 B. 1 C. 32015 D. -32015
2.若 a+b=2 ,ab=2,则 的值为( ).A. 6 B. 1 C. 3 D. 2
3.若-2amb4 与 5an+2 可以合并成一项,则 mn 的值是( ).
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
4.先化简 ,再从不等式 2x-3
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