中考数学二轮专题复习专题二运动型问题教案

专题二——运动型问题 题型概述 运动型问题一般是指动态几何问题，它是以几何知识和图形为背景，研究几何图形(点、直线、 三角形、四边形)在运动变化中存在的函数关系或规律，就其知识结构而言，是集几何、代数知识于 一体的数形结合问题，几何方面涉及的知识有全等形、相似形、勾股定理、特殊四边形和圆；代数 方面涉及的知识有方程、函数、不等式、坐标、解直角三角形等．其类型可归纳为：点的运动、直 线的运动、图形的运动．其中图形的运动变化有利于发展学生的空间想象能力和综合分析能力． 【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著 特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运 动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证 思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强. 运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3) 形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等). 1．点的运动问题 在三角形、特殊的四边形等一些图形上，有一个或几个动点，探究这些点在运动变化过程中伴 随着的变化规律．对于此类问题，要注意用运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系， 并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静． 2．线的运动问题 动线几何类试题是指研究直线或线段按指定的路径进行平移或旋转过程中的变化关系和变化规 律的一类综合性较强的试题．解决此类试题的关键是“动中取静”，即抓住静的瞬间，把一般情形 转化为特殊情形，抓住变化中的不变量，巧妙地利用各变量之间的关系建模解决问题． 3．图形的运动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变．三 角形、四边形的运动是常见的一种题型．要善于运用各种数学思想把问题转化为动点和动线问题， 结合多种知识，建立方程、不等式或函数模型解决. 【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变 化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。①动 中觅静；②动静互化；③以静制动；④变动为静。 解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变 化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体 问题,建立函数模型,达到解题目的。 线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成 点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系 和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示。 解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不 变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用 类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论 更加准确. 具体做法是：①全面阅读题目，了解运动方式与形式，全方位考查运动中的变量和图形之间的 位置关系；②运用分类讨论思想，将运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出， 变“动”为“静”；③在各类“静态图形”中，运用所学知识和方法(如方程、函数、相似)等进行探 索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应数学模型求解． 温馨提示： 当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常确立函数模型或不等式模型求解；当确 定图形之间的特殊位置关系或一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解. 真题剖析 类型一 点的运动 典例 1 如图(1),AB 是☉O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,AB=4,BC=2,P 是☉O 上半部分的一个动点, 连接 OP,CP. (1)求△OPC 的最大面积; (2)求∠OCP 的最大度数; (3)如图(2),延长 PO 交☉O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 时,求证:CP 是☉O 的切线. (2) (1) 【全解】 (1)∵AB=4,∴OB=2,OC=OB+BC=4. 在△OPC 中,设 OC 边上的高为 h, ∴当 h 最大时,S△OPC 取得最大值.观察图形,当 OP⊥OC 时,h 最大,如图(1)所示: 此时 h=半径=2,S△OPC=22=4.∴△OPC 的最大面积为 4. (2)当 PC 与☉O 相切时,∠OCP 最大.如图(2)所示: ∴∠ OCP=30°.∴∠OCP 的最大度数为 30°. (3)如图(3),连接 AP,BP.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD.∵ = ,∴ = .∴AP=BD. ∵CP=DB,∴AP=CP.∴∠A=∠C.∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C. 在△ODB 与△BPC 中, ∴△ODB≌△BPC(SAS).∴∠D=∠BPC. ∵PD 是直径,∴∠DBP=90°.∴∠D+∠BPD=90°.∴∠BPC+∠BPD=90°. ∴DP⊥PC.∵DP 经过圆心,∴PC 是☉O 的切线. 【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性 质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键. (1)在△OPC 中,底边 OC 长度固定,因此只要 OC 边上高最大,则△OPC 的面积最大;观察图形,当 OP⊥OC 时满足要求; (2)PC 与☉O 相切时,∠OCP 的度数最大,根据切线的性质即可求得; (3)连接 AP,BP 通过△ODB≌△BPC 可求得 DP⊥PC,从而求得 PC 是☉O 的切线. 举一反三 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB 于点 D.点 P 从点 D 出发,沿线段 DC 向点 C 运 动,点 Q 从点 C 出发,沿线段 CA 向点 A 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位长度,当点 P 运动 到 C 时,两点都停止.设运动时间为 t 秒. (1)求线段 CD 的长. (2)设△CPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻 t,使得 S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由. (3)当 t 为何值时,△CPQ 为等腰三角形? (第 1 题) 【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的 关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解. 类型二 线的运动 典例 2 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,BC=10cm,AD=8cm.点 P 从点 B 出发,在线段 BC 上以每 秒 3cm 的速度向点 C 匀速运动,与此同时,垂直于 AD 的直线 m 从底边 BC 出发,以每秒 2cm 的速度沿 DA 方向匀速平移,分别交 AB,AC,AD 于点 E,F,H,当点 P 到达点 C 时,点 P 与直线 m 同时停止运动,设运 动时间为 t 秒(t>0). 备用图 (1)当 t=2 时,连接 DE,DF,求证:四边形 AEDF 为菱形. (2)在整个运动过程中,所形成的△PEF 的面积存在最大值,当△PEF 的面积最大时,求线段 BP 的长. (3)是否存在某一时刻 t,使△PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻 t 的值;若不存在,请说明理 由. 【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明; (2)如图(2)所示,首先求出△PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解; (3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解. 【全解】 (1)当 t=2 时,DH=AH=4,则 H 为 AD 的中点,如图(1)所示. (1)∵EF⊥AD,∴EF 为 AD 的垂直平分线.∴AE=DE,AF=DF. ∵AB=AC,AD⊥BC 于点 D,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C. ∴∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形 AEDF 为菱形. (2)如图(2)所示,由(1)知 EF∥BC, (2) (3) ∴当 t=2 秒时,S△PEF 存在最大值,最大值为 10,此时 BP=3t=6. (3)存在.理由如下: ①若点 E 为直角顶点,如图(3)所示, 此时 PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t. ∵PE∥AD,此比例式不成立,故此种情形不存在. ②若点 F 为直角顶点,如图(4)所示,此时 PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t. ∵PF∥AD, . (4) (5) ③若点 P 为直角顶点,如图(5)所示. 过点 E 作 EM⊥BC 于点 M,过点 F 作 FN⊥BC 于点 N,则 EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.∵EM∥AD, 【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了 菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、 勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想. 举一反三 2.如图,直线 AB 与 x 轴相交于点 A(-4,0),与 y 轴相交于点 B(0,3),点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位 长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动.同时,将直线 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移,交 OA 于点 C,交 OB 于点 D,设运动时间为 t(0