中考数学二轮专题复习：几何型综合题

中考数学二轮专题复习 几何型综合题 【简要分析】 几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以 圆为重点，还常与代数综合．它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目． 值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探 索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型 综合题命题的新趋势． 【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-27，四边形 ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中 CE=CF，G 是 CD 与 EF 的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE． （2）若 BC=5，CF=3，∠BFC=900，求 DG：GC 的值． （2005 年吉林省中考题） 分析与解答 （1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCF+∠FCD=900，BC=CD． ∵△ECF 是等腰直角三角形，CF=CE． ∴∠ECD+∠FCD=900．∴∠BCF=∠ECD．∴△BCF≌△DCE （2）在△BFC 中，BC=5，CF=3，∠BFC=900． ∴BF= 2 2 2 25 3 4BC CF    ． ∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=900． ∴DE∥FC．∴△DGE∽△CGF．∴DG：GC=DE：CF=4：3． 例 2：已知如图 2-4-28，BE 是⊙O 的走私过圆上一点作⊙ O 的切线交 EB 的延长线于 P．过 E 点作 ED∥AP 交⊙O 于 D，连 结 DB 并延长交 PA 于 C，连结 AB、AD． （1）求证： 2AB PB BD  ． （2）若 PA=10，PB=5，求 AB 和 CD 的长． （2005 年湖北省江汉油田中考题） 分析与解答 （1）证明：∵PA 是⊙O 的切线，∴∠1=∠2． ∵ED∥AP，∴∠P=∠PED． 图2-4-28 C 3 2 1 O E P B A 图2-4-27 G F E D C B A 而∠3=∠BED，∴∠3=∠P．∴△ABD∽△PBA．∴ 2AB PB BD  ． （2）连结 OA、AE．由切割线定理得， 2PA PB BD  ．即 210 5 (5 )BE   ， ∴BE=15．又∴△PAE∽△PBA，∴ 2AE PA AB PB   ，即 AE=2AB． 在 Rt△EBA 中， 2 2 215 (2 )AB AB  ， ∴ 3 5AB  ．将 AB、PB 代入 2AB PB BD  ，得 BD=9． 又∵∠BDE=900，ED∥AP， ∴DC⊥PA．∴BC∥OA．∴ BC PB OA PO  ． ∴ 5 15 315 25 2 BC     ．∴CD=12 例 2：如图 2-4-29，⊙ 1O 和⊙ 2O 相交于 A、B 两点，圆心 1O 在 ⊙ 2O 上，连心线 1O 2O 与⊙ 1O 交于点 C、D，与⊙ 2O 交于点 E， 与 AB 交于点 H，连结 AE． （1）求证：AE 为⊙ 1O 的切线． （2）若⊙ 1O 的半径 r=1，⊙ 2O 的半径 3 2R  ，求公共弦 AB 的长． （3）取 HB 的中点 F，连结 1O F，并延长与⊙ 2O 相交于点 G，连结 EG，求 EG 的长 （2005 年广西壮族自治区桂林市中考题） 分析与解答 （1）连结 A 1O ．∵ 1O E 为⊙ 2O 的直径，∴∠ 1O AE=900． 又∵ 1O A 为⊙ 1O 的半径，∴AE 为⊙ 1O 的切线． （2）∵ 1O A=r=1， 1O E=2R=3，△A 1O E 为 Rt△，AB⊥ 1O E， ∴△A 1O E∽△H 1O A．∴ 2 1 1 1O A O H O E  ． O 2 O 1 H G F E D B C A 图2-4-28 ∴ 1 1 3O H  ． 2 2 42 2 23AB AH OA OH    ． （3）∵F 为 HB 的中点，∴HF= 1 2 4 3HF AB  ， ∴ 2 2 1 1 3 3O F O H HF   ． ∵ 1 1HO F GO E   ． ∴Rt△ 1O HF ∽Rt△ 1O GE ．∴ 1 1 O F HF O E EG  ． ∴ 1 1 HF O EEG O F   ，即 2 33 6 2 3 EG    ． 例 4 如图 2-4-30，A 为⊙O 的弦 EF 上的一点，OB 是和这条弦垂直的半径，垂足为 H,BA 的延长线交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线与 EF 的延长线交于点 D． （1）求证：DA=DC （2）当 DF：EF=1：8 且 DF= 2 时，求 AB AC 的值． （3）将图 2-4-30 中的 EF 所在的直线往上平移到⊙O 外，如图 2-4-31，使 EF 与 OB 的延 长线交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线交 EF 于点 D．试猜想 DA=DC 是否仍然成立，并证明你 的结论． （2005 年山东省菏泽市中考题） 分析与解答 （1）连结 OC，则 OC⊥DC，∴∠DCA=900-∠ACO=900-∠B． 图2-4-30 H F E D O C B A K 图2-4-30 H F E D O C B A 又∠DAC=∠BAE=900-∠B，∴∠DAC=∠DCA．∴DA=DC． （2）∵DF：EF=1：8， 2DF  ，∴EF=8DF=8 2 ， 又 DC 为⊙O 的切线，∴ 2 2 9 2 18DC DF DE    ． ∴ 18 3 2DC   ． ∴ 3 2AD DC  ， 3 2 2 2 2AF AD DF     ， 8 2 2 2 6 2AE EF AF     ． ∴ 6 2 2 2 24AB AC AE AF     ． （3）结论 DA=DC 仍然成立．理由如下：如图 2-4-31， 延长 BO 交⊙O 于 K，连结 CK，则∠KCB=900． 又 DC 是⊙O 的切线，∴∠DCA=∠CKB=900-∠CBK． 又∠CBK=∠HBA，∴∠BAH=900-∠HBA=900-∠CBK． ∴∠DCA=∠BAH．∴DA=DC． 说明：本题是融几何证明、计算和开放探索于一体的综合题，是近几年中考的热点题目型， 同学们复习时要引起注意． 【提高训练】 1．如图 2-4-32，已知在△ABC 中，AB=AC，D、E 分别是 AB 和 BC 上的点，连结 DE 并延 长与 AC 的延长线相交于点 F．若 DE=EF，求证：BD=CF． 2．点 O 是△ABC 所在平面内一动点，连结 OB、OC，并将 AB、 OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连结，如果 DEFG 能构成 图2-4-32 F E D C B A 图2-4-33 O G F E D C B A 四边形．（1）如图 2-4-33，当 O 点在△ABC 内时，求证四边形 DEFG 是平行四边形．（2）当 点 O 移动到△ABC 外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形 DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由． 3．如图 2-4-35，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠DBC=450．翻折梯形 ABCD，使点 B 重合 于点 D，折痕分别交边 AB、BC 于点 F、E．若 AD=2，BC=8，求：（1）BE 的长．（2）∠ CDE 的正切值． 4．如图 2-4-35，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知直径 AD=2，∠ABC=1200，∠ACB=450，连结 OB 交 AC 于点 E．（1）求 AC 的长．（2）求 CE：AE 的值．（3）在 CB 的延长上取一点 P， 使 PB=2BC，试判断直线 PA 和⊙O 的位置关系，并加以证明你的结论． 图2-4-34 F E D C B A O 图2-4-35 P E D C B A 5．如图 2-4-36，已知 AB 是⊙O 的直径，BC、CD 分别是⊙O 的切线，切点分别为 B、D，E 是 BA 和 CD 的延长线的交点．（1）猜想 AD 与 OC 的位置关系，并另以证明．（2）设 AD OC 的 值为 S，⊙O 的半径为 r，试探究 S 与 r 的关系．（3）当 r=2， 1sin 3E  时，求 AD 和 OC 的长． 【答案】 1．过 D 作 DG∥AC 交 BC 于 G，证明△DGE≌△FCE 2．（1）证明 DG∥EF 即可 （2）结论仍然成立，证明略 （3）O 点应在过 A 点且垂直于 BC 的直线上（A 点除外），说理略． 3．（1）BE=5 （2） 3tan 5CDE  4．（1） 3AC  （2） 1: 2CE AE  图2-4-36 O E D C B A （3）∵ 1: 2CE AE  ，PB=2BC，∴CE：AE=CB：PB． ∴BE∥AP．∴AO⊥AP．∴PA 为⊙O 的切线 5．（1）AD∥OC，证明略 （2）连结 BD，在△ABD 和△OCB 中，∵AB 是直径，∴∠ADB=∠OBC=900． 又∵∠OCB=∠BAD，∴Rt△ABD∽Rt△OCB． ∴ AD AB OB OC  ． 22 2S AD OC AB OB r r r      ， ∴ 22S r （3） 4 3 3AD  ， 2 3OC  .