2020届甘肃省靖远四中高二下学期期末数学理试题

2020 届甘肃省靖远四中高二下学期期末数学理试题 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有 一个符合题目要求的。) 1．已知集合 3{ | 0}1 xA x x   ，B={－1,1,2,3}，则 A∩B=( ) A．{1,2} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{－1,1,2,3} 2．在复平面内与复数 2i 1 iz   所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则 A 对应的复数为（ ） A．1 i B．1 i C． 1 i  D． 1 i  3．平面向量 a 与 b 的夹角为 π 3 ，  2,0a ， 1b ，则 2 a b （ ） A． 2 3 B． 6 C．0 D． 2 4.已知 x，y 满足不等式组 2 2 y x x y x       ，则 2z x y  的最大值与最小值的比值为( ) A. 2 1 B.2 C. 2 3 D. 3 4 5.若将函数 2sin 2y x 的图像向左平移 12  个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A. ( )2 6 kx k Z    B. ( )2 6 kx k Z    C. ( )2 12 kx k Z    D. ( )2 12 kx k Z    6.在某互联网大会上,为了提升安全级别,将 5名特警分配到 3 个重要路口执勤,每个人只能选择一 个路口,每个路口最少1人,最多3 人,且甲和乙不能安排在同一个路口,则不同的安排方法有( ) A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 7.若曲线    , af x x g x x  ，在点  1,1P 处的切线分别为 1 2,l l ，且 1 2l l ，则实数 a 的值为 A.-2 B.2 C. 1 2 D. 1 2  8.下面四个命题,其中为真命题的个数是( ) p1：命题“ 2, 2nn n  N ”的否定是“ 02 0 0, 2nn n  N ”； p2:向量    ,1 , 1,m n  a b ，则 m n 是 a b 的充分且必要条件； p3：“在△ABC 中，若 A B ，则sin sinA B ”的逆否命题是“在△ABC 中，若sin sinA B ，则 A B ”； p4：若“ p q ”是假命题，则 p 是假命题. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.在等比数列{an}中，已知 5 7 1 2 4 11, 8 a aa a a   ，则 5a 的值为（ ） A． 1 2 B． 1 4 C． 1 8 D． 1 16 10.我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同， 则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几 何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知 某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中 俯视图中的圆弧为 1 4 圆周，则该不规则几何体的体积为（ ） A． π1 2  B． 1 π 3 6  C．1 2π D． 1 2π 3 3  11.已知 1 2,F F 为椭圆 2 2 2 12 x yM m  ： 和双曲线 2 2 2 1xN yn  ： 的公共焦点，P 为它们的一个公共点， 且 1 1 2PF F F ，那么椭圆 M 和双曲线 N 的离心率之积为( ) A. 2 B.1 C. 2 2 D. 1 2 12．已知 1x 是函数    1 ln 2f x x x    的零点， 2x 是函数   2 2 4 4g x x ax a    的零点， 且满足 1 2 1x x  ，则实数 a 的最小值是（ ） A． 1 B．1 2 2 C． 2 2 2 D． 2 2 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．曲线 23( )exy x x  在点 (0 )0， 处的切线方程为____________． 14．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 2 1 4 6 1 3a a a ， ，则 S5=____________． 15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根 据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6， 客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4∶1 获胜的概率是____________． 16．设 F 为双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的圆 与圆 2 2 2x y a  交于 P，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分 12 分）如图，在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，且  sin cosa c B B  . （1）求∠ACB 的大小； （2）若 ACB ABC   ，点 A、D 在 BC 的异侧， 2DB  ， 1DC  ， 求平面四边形 ABDC 的面积的最大值。 18.（本题满分 12 分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来 越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性 循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的 调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题 的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出 200 人，并 将这 200 人按年龄分组：第 1 组[15,25)，第 2 组[25,35)， 第 3 组[35,45)，第 4 组[45,55)，第 5 组[55,65]，得到的 频率分布直方图如图所示 (1) 求 a 的值 (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人，再从这 12 人中随机抽取 3 人 进行问卷调查，求在第 1 组已被抽到 1 人的前提下，第 3 组被抽到 2 人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出 3 人，记关注“生态文明”的人数为 X，求 X 的分布列与期 望. 20．如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值. 21．（本题满分 12 分）已知椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的上顶点为 A,以 A 为圆心，椭圆的长 半轴为半径的圆与 y 轴的交点分别为 (0,1 3) 、 (0,1 3) . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设不经过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，且 0AP AQ   ,试探究直线 l 是否过定点？ 若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由. 22．（本题满分 12 分）已知函数 2( ) ( 1) xf x x e ax   ， 3 2( ) 2 1g x ax ax x    ，（其中 a∈R， e 为自然对数的底数，e=2.71828…）. （1）当 2 ea  时，求函数 f(x)的极值； （2）若函数 g(x)在区间[1,2]上单调递增，求 a 的取值范围； （3）若 2 ea  ，当 [1, )x  时， ( ) ( )f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，圆C 的参数方程为 ty tx sin23 cos25{   （t 为参数），在以原点 O 为极 点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 2)4cos(   ， BA， 两点的极坐标分别为 )2,2( A 、 ),2( B ． （1）求圆 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点 P 是圆 C 上任一点，求 PAB 面积的最小值．