七年级数学上 数据的收集与整理教案 (18)

第十九讲 数据的收集与整理 一、课标下复习指南 (一)数据的收集和整理 1．全面调查与抽样调查 统计调查分全面调查和抽样调查两种，实际中常采用抽样调查的方式． (1)考察全体对象的调查属于全面调查． (2)从总体中抽取样本进行调查，属于抽样调查．抽样调查是根据样本来估计总体的一种调查，简称抽查．抽查体现 了用样本估计总体的思想． (3)总体、个体及样本 总体：所要考察对象的全体，称为总体； 个体：总体中的每一个考察对象，称为个体； 样本：从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本． 样本中个体的数目称为样本容量． 说明 抽样调查是实际中应用非常广泛的一种调查方式，它是从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的 一种调查；常采用问卷调查等调查方式． 用划记法记录数据，通过表格整理数据，可以帮助我们找到数据的分布规律． 说明 对于不同的抽样，可能得到不同的结果． 2．频数与频率 (1)频数：落在不同小组中的数据个数称为该组的频数． (2)频数与数据总数的比称为频率．频率反映了各组频数在总数中所占的百分比． 3．几种常见的统计图表 (1)条形图 将数据按要求分成若干小组，并用“划记”的方法统计出各小组的频数；再根据统计的频数画出条形图． (2)扇形图 将数据按要求分成若干小组，统计出各小组的频数，并算出各组的频数占数据总数的百分比；画一个圆，并规定圆 的面积表示 100％；算出各百分数所对应的扇形的圆心角的度数，用量角器画出各扇形，并标出各百分数． (3)折线图 以横轴表示统计的时间，纵轴表示数据，建立平面直角坐标系；在坐标平面内描点；用线段从左到右将这些点依次 连接起来． (4)频数分布直方图 用频数分布直方图描述数据的一般步骤为：计算最大值与最小值的差；确定组距与组数；决定分点；列数频分布表； 画频数分布直方图． ①把数据按一定的规律分成组的个数为组数，每一组两个端点的差称为组距． 1 的整数部分组距 最小值最大值组数 ； ②数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则，既不能有一个数据同时落在两个组内重复出现的现象，也不能 有一个数据不在任何组内的遗漏现象； ③频数分布直方图能够显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别． (5)频数折线图 频数折线图可以在频数分布直方图的基础上画出来．取频数分布直方图中每一个矩形上边的中点，然后在横轴上取 两个频数为 0 的点，即在直方图的左边和右边各取一个频数为 0 的点，再用线段从左到右将这些点依次连接起来． 说明 利用统计图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据规律． (1)条形图：能显示具体数据，易于比较数据差别； (2)扇形图：用扇形的面积占圆的面积的百分比表示部分在总体中所占百分比，易于显示每组数据相对于总体的大小； (3)折线图：易于显示数据的变化趋势； (4)直方图：能显示各组频数分布的情况，易于显示各组之间频数的差别． (二)数据的分析 1．平均数、众数与中位数 (1)算术平均数 ).(1 21 nxxxnx   (2)加权平均数 如果一组数据中，x1 ，x2 ，x3 ，…，xk 出现的次数分别是 f1 ，f2 ，f3 ，…，fk ，那么这组数据的加权平均数   k kk ffff fxfxfxfxx   321 332211 (3)众数与中位数 ①在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时不止一个)； ②将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处在最中间的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组 数据的中位数； ③众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (4)平均数、中位数、众数的特征 ①平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的平均水平； ②平均数容易受极端值的影响，而中位数则不能充分利用所有数据的信息，众数在各个数据的重复次数大致相等时 往往没有特别的意义． 2．极差和方差、标准差 (1)极差：一组数据中数据最大值减去最小值的差叫做这组数据的极差． ①极差用来反映一组数据变化范围的大小，是刻画数据离散程度的最简单的统计量； ②极差受极端值的影响较大，不能反映中间数据的离散情况． (2)方差：在一组数据 x1，x2，x3，…，xn 中，各数据与它的平均数 x 的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差， 即 ].)()()[(1 22 2 2 1 2 xxxxxxns n   ①方差是用来反映一组数据波动情况的特征数，常常用来比较两组数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小； ②方差的单位是原数据单位的平方． (3)标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即 .2ss  *标准差的计算公式：  ])()()[(1 22 2 2 1 xxxxxxns n 说明 (1)一组数据的众数可以不唯一，但一定出现在这组数据中；而一组数据的其他统计量都是唯一的，但未必出 现在这组数据中； (2)一组数据都在常数 a 上下波动，即 x'1＝x1＋a，x2'＝x2＋a，…，xn'＝xn＋a 时，平均数 axx  ；方差 s'2＝s2． 二、例题分析 例 1 下列调查方式，合适的是( )． A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式 B．要了解甘肃电视台“陇原风貌”栏目的收视率，采用普查方式 C．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式 D．要了解人们对环境的保护意识，采用抽查方式 解 D． 说明 当一项调查具有破坏性或以现有的人力、物力、财力很难(或没有必要)进行普查时，就选择抽查，对像“神 舟六号”重要零部件的检查这类调查则必须选择普查． 例 2 某校对 1200 名女生的身高进行了测量，身高在 1.58～1.63(单位：m)这一小组的频率为 0.25，则该组的人数 为( )． A．150 人 B．300 个 C．600 人 D．900 人 分析 1200 名女生就有 1200 个身高，故数据总数为 1200．同理，该组的人数即为落在该组的数据个数，即该组的 频数．由频率＝频数÷数据总数得，频数＝频率×数据总数＝0.25×1200＝300．故该组的人数为 300 人．故选 B． 说明 对频数与频率的考查大多数放置于数据处理的背景之下，侧重于对概念的理解与运用，单独考查时一般以填 空和选择的题型出现，但更多的是与统计图等结合考查． 例 3 我市某一周的最高气温统计如下表： 最高气温(℃) 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 则这组数据的中位数与众数分别是( )． A．27℃，28℃ B．27.5℃，28℃ C．28℃，27℃ D．26.5℃，27℃ 分析 由上表可知，一共统计了 7 个数据，将它们按从小到大排列为 25，26，27，27，28，28，28，第 4 个数据是 27，故这组数据的中位数是 27(℃)．又数据 28 出现的次数最多，所以众数是 28(℃)．故选 A． 说明 (1)求中位数时，先看这组数据的个数是奇数还是偶数，然后将这组数据按从小到大的顺序排列．若有奇数个 数据，则最中间那个数据就是这组数据的中位数；若有偶数个数据，则最中间两个数据的平均数即是这组数据的中位数； (2)求众数时，先数出各数据在这组数据中出现的次数，出现次数最多的数据就是这组数据的众数．有时一组数据的众数 不只一个． 例 4 某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙 3 名候选人进行了笔试和面试两项测试，3 人的测试成绩如 下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 图 19－1 根据录用程序，组织 200 名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率(没有弃权票，每位职工只能 推荐 1 人)如图 19－1 所示，每得一票记作 1 分． (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三颂测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用(精确到 0.01)? (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的 4∶3∶3 比例确定个人成绩，那么谁将被录用? 解 (1)三人民主评议的得分分别为：甲 200×25％＝50(分)，乙 200×40％＝80(分)，丙 200×35％＝70(分)． (2)按三项平均成绩计算，甲的成绩是 3 1 (75＋93＋50)≈72.67，乙的成绩是 3 1 (80＋70＋80)≈76.67，丙的成绩是 3 1 (90 ＋68＋70)＝76.00．乙的成绩最高，他将被录用． (3)若笔试、面试、民主评议三项测试得分按 4∶3∶3 的比例确定，三人的成绩分别为： .9.72334 350393475  甲x .0.77334 380370480  乙x .4.77334 370368490  丙x 丙的成绩最高，他将被录用． 说明 (1)计算加权平均数，随着权数的不同，结果可能不同．权数最大的数据对平均数的结果影响最大； (2)在实际问题中，往往采用加权平均数算法，而很少用算术平均数的算法． 例 5 甲、乙两同学近期 5 次百米跑测试成绩的平均数相同，甲同学成绩的方差 2 甲s ＝4，乙同学成绩的方差 2 乙s ＝3.1， 则对他们测试成绩的稳定性判断正确的是( )． A．甲的成绩较稳定 B．乙的成绩较稳定 C．甲、乙成绩的稳定性相同 D．甲、乙成绩的稳定性无法比较 分析 因为方差越小，波动就越小，且 2 甲s ＞ 2 乙s ，所以乙同学的成绩波动就小，即乙的成绩较稳定．故选 B． 说明 中考对极差、方差和标准差这三个统计量的考查，主要侧重于在实际情景中对其意义的理解，以及根据统计 结果做出合理的判断和预测． 例 6 某校从甲、乙两名优秀选手中选择一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了 8 狄，测试成绩如下表：(单位：s) 1 2 3 4 5 6 7 8 甲选手 的成绩 12.1 12.2 13.0 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙选手 的成绩 12.0 12.4 12.8 13.0 12.2 12.8 12.3 12.5 根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好?为什么? 解 通过计算，可得 甲x ＝12.5， 乙x ＝12.5， 2 甲s ＝0.12， 2 乙s ＝0.1025． ∵ 甲x ＝ 乙x ，∴两位选手的平均成绩相等． 又∵ 2 甲s ＝ 2 乙s ，∴乙选手的成绩更稳定． 因此应该派乙选手去参加比赛． 说明 (1)当用求平均数的方法(包括众数和中位数)无法比较两组数据的集中趋势时，还要用方差(包括极差)进一步比 较两组数据的波动情况；看谁的波动小，就说明谁更稳定． (2)变式练习：在一次毕业考试中，某校九年级(1)、(2)两班学生数学成绩统计如下表： 分数 50 60 70 80 90 100 人 (1)班 3 5 16 3 11 12 数 (2)班 2 5 11 12 13 7 请你根据所学的统计知识，分别从①平均数；②众数；③方差等不同的角度判断，综合分析这两个班中哪个班的考 试成绩更加优秀． 解 通过观察和计算， 九年级(1)班：平均数 80，众数 70，方差 244； 九年级(2)班：平均数 80，众数 90，方差 180． 从平均数看，两个班考试成绩相当，不分优劣；从众数看(2)班成绩较好；从方差看(2)班成绩较稳定；综上所述(2) 班成绩更加优秀． (3)比较的角度不同，所得结论不一定相同． 三、课标下新题展示 例 7 某校为了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按 A，B，C，D 四个等 级进行统计，并将统计结果绘成如下两幅统计图(见图 19－2)，请你结合图中所给信息解答下列问题： 图 19－2 (说明：A 级：90 分～100 分；B 级：75 分～89 分；C 级：60 分～74 分；D 级：60 分以下) (1)求出 D 级学生的人数占全班总人数的百分比； (2)求出扇形统计图中 C 级所在的扇形圆心角的度数； (3)该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内； (4)若该校九年级学生共有 500 人，请你估计这次考试中 A 级和 B 级的学生共有多少人? 解 (1)4％；(2)72°；(3)B； (4)依题意知：A 级和 B 级学生的人数和占全班总人数的 76％，500×76％＝380，所以估计这次考试中 A 级和 B 级 的学生共有约 380 人． 例 8 在第 49 届世界乒乓球锦标赛中，男子单打决赛在我国选手马琳和王励勤之间展开．双方苦战七局，最终王励 勤以 4∶3 获得胜利．七局比分如下表： 局数 得分 姓名 一 二 三 四 五 六 七 马琳 11 11 5 11 8 9 6 王励勤 9 7 11 8 11 11 11 (1)请将七局比分的相关数据的分析结果直接填入下表中(结果保留两个有效数字)． 项目 分析 结果 姓名 平均分 众数 中位数 马琳 8.7 9.0 王励勤 11 (2)中央电视台在此次现场直播时，开展了“短信互动，有奖竞猜”活动，凡是参与短信互动且预测结果正确的观众， 都能参加“乒乓大礼包”的抽奖活动．据不完全统计，有 32320 名观众参与了此次短信互动活动，其中有 50％的观众预 测王励勤获胜．刘敏同学参加了本次“短信互动”活动，并预测了王励勤获胜，如果从中抽取 20 名幸运观众，并赠送“乒 乓大礼包”一份，那么刘敏同学中奖概率有多大? 解 (1)马琳得分的众数为 11；王励勤得分的平均数为 9.7，中位数为 11． (2)根据题意，预测正确的观众总数为 32320×50％＝16160，他们成为幸运观众的可能性相同，而幸运观众数为 20， 故刘敏中奖的概率为  808 1 16160 20 四、课标考试达标题 (一)选择题 1．某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是( )． A．在公园调查了 1000 名老年人的健康状况 B．在医院调查了 1000 名老年人的健康状况 C．调查了 10 名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区 10％的老年人的健康状况 2．图 19－3 中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )． 图 19－3 3．某地今年 1 月 1～4 日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1 月 1 日 1 月 2 日 1 月 3 日 1 月 4 日 最高 气温 5℃ 4℃ 0℃ 4℃ 最低 气温 0℃ －2℃ －4℃ －3℃ 其中温差最大的是( )． A．1 月 1 日 B．1 月 2 日 C．1 月 3 日 D．1 月 4 日 4．已知样本 x1，x2，x3，x4 的平均数是 2，则 x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3 的平均数为( )． A．2 B．2.75 C．3 D．5 5．数学老师对小明参加的四次中考数学模拟考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，因此老师需要知道 小明这四次数学成绩的( )． A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．在 1000 个数据中，用适当的方法抽取了 50 个数据作为样本进行统计．频率分布表中， 在 54.5～57.4 这一组的频率是 0.12，那么估计总体落在这一组之间的数据有( )． A．120 个 B．60 个 C．12 个 D．6 个 (二)填空题 7．在扇形统计图中，占圆 12％的扇形的圆心角是______°，圆心角是 144°的扇形占它所在圆的面积的______(填百分 数)． 8．班主任为了解学生周末在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么这六 位学生学习时间的众数是______，中位数是______． 学生姓名 小丽 小明 小颖 小华 小乐 小恩 学习时间 (小时) 4 6 3 4 5 8 9．数据－2，－1，0，1，2 的方差是______． 10．某生物小组 11 人到校外采集植物标本，其中有 2 人每人采集到 6 件，有 4 人每人采集到 3 件，有 5 人每人采集到 4 件，则这个小组平均每人采集标本______件． (三)解答题 11．宁波港是一个多功能、综合性的现代化大港，年货物吞吐量位居中国内地第二、世界排名第五，成功跻身于国际大 港行列．如图 19－4 是宁波港 1994 年至 2004 年货物吞吐量统计图． 图 19－4 (1)从统计图中你能发现哪些信息，请说出两个； (2)有人判定宁波港货物吞吐量每两年间的增长率都不超过 30％，你认为他的说法正确吗?请说明理由． 12．某校初一年级学生每人都只使用甲、乙、丙三种品牌中的一种计算器，图 19－5 是该年级全体学生使用 3 种不同品 牌计算器人数的频率分布直方图． 图 19－5 (1)求该校初一年级学生的总人数； (2)你认为哪种品牌计算器的使用频率最高?并求出这个频率． (3)通过以上统计结果，请你给为学校供货的商家提出一条进货的合理化建议． 参考答案 第十九讲 数据的收集与整理 1．D． 2．D． 3．D． 4．D． 5．D． 6．A． 7．43.2，40％． 8．4，4.5． 9．2． 10．4． 11．(1)略； (2)不对；比如 1994 年到 1996 年的年增长率为 30.6％，超过了 30％． 12．(1)20＋60＋120＝200(人)； (2)丙牌使用频率最高，为 %100200 120  ＝60％； (3)多进丙牌计算器．