七年级数学上 数据的收集与整理教案 (30)

数据的收集与整理 ◆【课前热身】 1.一组数据 4，5，6，7，7，8 的中位数和众数分别是（ ） A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7 2.我市统计局发布的统计公报显示，2004 年到，我市 GDP 增长率分别为 9.6%、10.2%、10.4%、 10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这 5 年的年度 GDP 增长率相当平稳，从统计学的角度看， “增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小. A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 3.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9， 9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是（ ） A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.5 4.若样本数据 1， 2，3，2 的平均数是 a，中位数是 b，众数是 c，则数据 a，b，c 的标准差 是_______． 【参考答案】 1. D 2. D 3. D 4. 0 ◆【考点聚焦】 〖知识点〗 平均数、方差、标准差、方差的简化公式 〖大纲要求〗 了解样本方差、 总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计 算公式，会计算样本方差和样本标准差，掌握整理数据的步骤和方法. ◆【备考兵法】 1．方差的定义 在一组数据 x1，x2，…，xn 中，各数据与它 们的平均数 x 的差的平方的平均数，叫做 这组数据的方差．通常用“S2”表示，即 S2= 1 n [（x1－ x ）2+（x2－ x ）2+…+（xn－ x ）2]． 2．方差的计算 （1）基本公式 S2= 1 n [（x1－ x ）2+（x2－ x ）2+…+（xn－ x ）2] （2）简化计算公式（Ⅰ） S2= 1 n [（x1 2+x2 2+…+xn 2）－n x 2]，也可写成 S2= 1 n （x1 2+x2 2+…+xn 2）－ x 2，此公式的记 忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（Ⅱ） S2= 1 n [（x`1 2+x`2 2+…+x`n 2）－nx x `2]． 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一 个与它们的平均数接近的常数 a，得到一组数据 x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么 S2= 1 n [（x`1 2+x`2 2+…+x`n 2）－n x `2]，也可写成 S2= 1 n （x`1 2+x`2 2+…+x`n 2）－ x `2．记忆方 法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． 3．标准差的定义和计算 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即 S= 2S = 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( )nx x x x x xn       4．方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大 小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况． 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小． 〖考查重点与常见题型〗 1．考查平均数的求法，有关习题常出现在填空题或选择题中，如： (1)已知一组数据为 3，12，4，x，9，5，6，7，8 的平均数为 7，则 x＝ (2)某校篮球代表队中，5 名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180， 则这些队员的平均身高为（ ） （A）183 （B）182 （C）181 （D）180 2．考查样本方差、标准差的计算，有关试题常出现在选择题或填空题中，如： （1）数据 90，91，92，93 的标准差是（ ）（A）2 （B）54 （C）54 （D）52 （2）甲、乙两人各射靶 5 次，已知甲所中环数是 8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数 x2＝8，方差 S2 乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ） （A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定 （C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较 ◆【考点链接】 1．平均数的计算公式___________________________． 2. 加权平均数公式_____________________________． 3. 中位数是___________________________，众数是__________________________． 4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________． 标准差的计算公式：_________________________． ◆【典例精析】 例 1 甲、乙两个学习小组各 4 名学生的数学测验成绩如下（单位：分） 甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数； （2）分别计算这两组数据的方差； （3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？ 【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差． 【答案】（1） x 甲= 1 4 （6+2+7+5）+80=85， x 乙= 1 4 （5+1+5+9）+80=85． （2）S 甲 2= 1 4 [（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S 乙 2 = 1 4 [（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8． （3）∵S 乙 2>S 甲 2，∴甲组学习成绩较稳定． 【点评】方差是反映一组数据波动大小的量． 例 2 在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了 抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分 为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为 1 分，2 分，3 分，4 分． （1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众 数为_______分． （2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到 0.01） （3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高，并简要说明理由． 【分析】牢记平均数的计算公式，进而求解. 【答案】（1）3 3 （2）甲商场抽查用户数为： 500+1000+2000+1000=4500（户）， 乙商场抽查用户数为： 100+900+2200+1300=4500（户）． 所以甲商场满意度分数的平均值 = 500 1 1000 2 2000 3 1000 4 4500        ≈2.78（分）． 乙商场满意度分数的平均值 =100 1 900 2 2200 3 1300 4 4500        ≈3.04（分） 答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为 2.78 分，3.04 分． （3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以 乙商场的用户满意度较多． ◆【迎考精练】 一、选择题 1.（吉林省）某校七年级有 13 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前 6 名参加 决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 13 名同学 成绩的（ ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差 2.(四川内江)今年我国发现的首例甲型 H1N1 流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握 他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人 7 天体温的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．频数 3.（湖北仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买 10 双运动鞋，各种 尺码的统计如下表所示，则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）． A.25.6 26 B.26 25.5 C.26 26 D.25.5 25.5 4.（甘肃白银）有 19 位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前 10 位同学进入 决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学成绩 的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5.(湖北鄂州)有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差 是（ ） A.10 B. 10 C.2 D. 2 6.（湖北孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数 据被遮盖）． 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低 气温 1℃ －1℃ 2℃ 0℃ ■ ■ 1℃ 被遮盖的两个数据依次是（ ） A．3℃，2 B．3℃， 6 5 C．2℃，2 D．2℃， 8 5 7.（浙江嘉兴）已知数据：2， 1 ，3，5，6，5，则这组数据的众数和极差分别（ ） A．5 和 7 B．6 和 7 C．5 和 3 D．6 和 3 8.（天津市）为参加“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在 投掷实心球时，测得 5 次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众 数、中位数依次是（ ） A．8.5，8.5 B．8.5，9 C．8.5，8.75 D．8.64，９ 9.(浙江湖州)某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为 15 元/千克的甲种糖果 10 千克，单价为 12 元/千克的乙种糖果 20 千克，单价为 10 元/千克的丙 种糖果 30 千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ） A．11 元/千克 B．11.5 元/千克 C．12 元/千克 D．12.5 元/千克 二、填空题 1.（山东滨州）数据 1、5、6、5、6、5、6、6 的众数是 ，中位数是 ，方 差是 ． 2.（浙江杭州）给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是___________； 方差（精确到 0.1）是_____________． 3.（浙江台州）随机从甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度，计算平均数和方差 的结果为： 13甲x ， 13乙x ， 5.72 甲S ， 6.212 乙S ，则小麦长势比较整齐的试验田是 (填“甲”或“乙”)． 4.（山东济南）“五一”期间，我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友 谊赛．获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米） 号码 4 7 9 10 23 身高 178 180 182 181 179 则该队主力队员身高的方差是 厘米 2． 5.（湖南株洲）在一次体检中，测得某小组 5 名同学的身高分别是 170、162、155、160、 168（单位：厘米），则这组数据的极差是 厘米． 三、解答题 1.（浙江宁波）宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳 跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、 50 米跑等 6 项中任选一项．某校九年级共有 200 名女生在速度类项目中选择了立定跳远， 现从这 200 名女生中随机抽取 10 名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形统计图．（另 附：九年级女生立定跳远的计分标准） （1）求这 10 名女生在本次测试中，立定跳远距离．．的极差和中位数，立定跳远得分．．的众数和 平均数． （2）请你估计该校选择立定跳远的 200 名女生中得满分的人数． 2.（内蒙古包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力 测试，各项测试成绩满分均为 100 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下 表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 （1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； （2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按 5∶3∶2 的比例确定每 人的成绩，谁将被录用，说明理由． 10 名女生立定跳远距离条形统计图 距离（cm） 210 180 150 120 90 60 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 女生序号 174 196 199 205 201 200 183200 197 189 成绩（cm） 197 189 181 173 … 分值（分） 10 9 8 7 … 九年级女生立定跳远计分标准 （注：不到上限，则按下限计分，满分为 10 分） 3.（山东济宁）作为一项惠农强农应对当前国际金融危机、拉动国内消费需求的重要措施， “家电下乡”工作已经国务院批准从 12 月 1 日起在我市实施．我市某家电公司营销点自去 年 12 月份至今年 5 月份销售两种不同品牌冰箱的数量如下图： （1）完成下表： 平均数 方差 甲品牌销售量/台 10 乙品牌销售量/台 3 4 （2）请你依据折线图的变化趋势，对营销点今后的进货情况提出建议． 4.（湖南衡阳）甲、乙两人在相同的条件下各射靶 5 次，每次射靶的成绩情况如图 7 所示． （1）请你根据图中的数据填写下表： 1 2 3 4 5 8· 7· 5· 6· 4· 3· 2· 1· 0 （环数） （次） 8· 7· 5· 6· 4· 3· 2· 1· 0 （环数） （次） 甲 乙 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 14 销售量/台 月份12 1 2 3 4 5 甲品牌 乙品牌 姓名 平均数（环） 众数（环） 方 差 甲 6 乙 6 2.8 （2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好一些． 【参考答案】 选择题 1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. A 7. A 8. A 9. B 填空题 1. 6，5.5，2.5 2. 23；2.6 3. 甲 4. 2 5. 15 解答题 1.解：（1）立定跳远距离的极差 205 174 31(cm)   ． 立定跳远距离的中位数 199 197 198(cm)2   ． 根据计分标准，这 10 名女生的跳远距离得分分值分别是： 7，9，10，10，10，8，10，10，9． 所以立定跳远得分的众数是 10（分）， 立定跳远得分的平均数是 9.3（分）． （2）因为 10 名女生中有 6 名得满分，所以估计 200 名女生中得满分的人数是 6200 12010   （人）． 2. 解：（1）甲的平均成绩为： (85 70 64) 3 73    ， 乙的平均成绩为： (73 71 72) 3 72    ， 丙的平均成绩为： (73 65 84) 3 74    ， 候选人丙将被录用． （2）甲的测试成绩为： (85 5 70 3 64 2) (5 3 2) 76.3         ， 乙的测试成绩为： (73 5 71 3 72 2) (5 3 2) 72.2         ， 丙的测试成绩为： (73 5 65 3 84 2) (5 3 2) 72.8         ， 候选人甲将被录用． 3. 解：（1）计算平均数、方差如下表： 平均数 方差 甲品牌销售量/台 10 3 13 乙品牌销售量/台 10 3 4 （2）建议如下：从折线图来看，甲品牌冰箱的月销售量呈上升趋势，进货时可多进甲 品牌冰箱． 4. （1）见表 姓名 平均数（环） 众数（环） 方 差 甲 6 6 0.4 乙 6 6 2.8 （2）从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩好些． 解：甲、乙两人射靶成绩的平均数都是 6，但甲比乙的方差要小，说明甲的成绩较为稳 定，所以甲的成绩比乙的成绩要好些．