小学奥数：5-5-2带余除法二.教师版

5-5-2.带余除法（二） 教学目标 1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算 知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当 0r  时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当 0r  时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就 是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余 数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数 小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数  除数 商  余数；除数  （被除数  余数）  商；商  （被除数  余数）  除 数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数 整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性 问题，那么问题就会变得简单了． 例题精讲 模块一、带余除法的估算问题 【例 1】 修改 31743 的某一个数字，可以得到 823 的倍数。问修改后的这个数是几？ 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题采用试除法。823 是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用， 31743÷823=38……469，于是 31743 除以 823 可以看成余 469 也可以看成不足(823- 469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大 354 或 354+823n 也是满足题意的 改动．有 n=1 时，354+823：1177，n=2 时，354+823×2=2000，所以当千位增加 2，即改 为 3 时，有修改后的五位数 33743 为 823 的倍数． 【答案】33743 【例 2】 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人．如果把书全部分给第一组， 那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人 3 本， 有剩余；每人 4 本，书不够．问：第二组有多少人? 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小学数学夏令营 【解析】【解析】由 48 4 12  ， 48 5 9.6  知，一组是 10 或 11 人．同理可知 48 3 16  ， 48 4 12  知，二组是 13、14 或 15 人，因为二组比一组多 5 人，所以二组只能是 15 人，一组 10 人． 【答案】10 【例 3】 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数． 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于13 6 78  ，并且小于 13 (6 1) 91   ；又因为这个两位数除以 11 余 6，而 78 除以 11 余 1，这个两位数为 78 5 83  ． 【答案】83 【例 4】 在小于 1000 的自然数中，分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个?(余数可以为 0) 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】我们知道 18，33 的最小公倍数为[18，33]=198，所以每 198 个数一次． 1～198 之间只有 1，2，3，…，17，198(余 0)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同， 而 999÷198=5……9，所以共有 5×18+9=99 个这样的数． 【答案】99 【例 5】 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以 3、6 和 9 的余数．现知这三余数的和是 15．试求该数除以 18 的余数． 【考点】带余除法的估算问题 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】圣彼得堡数学奥林匹克 【解析】除以 3、6 和 9 的余数分别不超过 2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过 2 5 8 15   ，既然它们的和等于 15，所以这三个余数分别就是 2，5，8．所以该数加 1 后能被 3，6，9 整除，而[3,6,9] 18 ，设该数为 a ，则 18 1a m  ，即 18( 1) 17a m   （ m 为非零自然数），所以它除以 18 的余数只能为 17． 【答案】17 模块二、多位数的余数问题 【例 6】 2000 "2" 222 2 个 除以 13 所得余数是_____. 【考点】多位数的余数问题 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】方法一、我们发现 222222 整除 13，2000÷6 余 2，所以答案为 22÷13 余 9。 方法二、因为 1001 是 13 的倍数 222222=222 1001 ，所以每 6 个 2 能整除 13，那么 2000 个 2 中 6 个一组可以分为 333 组余 2，所以答案为 22÷13 余 9 【答案】9 【巩固】【巩固】 1995 6 6666 66 7 个 的余数是多少？ 【考点】多位数的余数问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：因为 7 | 666666 ，所以连续 6 个 6 为一个周期．又因1995 6 332 3   ，而 666 7 95 1   ， 故符合题意的余数是 1． 方法二：利用余数判别法⑹，因为连续 6 个 6 奇数节和偶数节的各位数字和抵消，而 1995 6 332 3  ，且 666 7 95 1   ，故符合题意的余数是 1． 【答案】1 【例 7】 1996 7 777 77 个 除以 41 的余数是多少？ 【考点】多位数的余数问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】找规律： 7 41 7  □ ， 77 41 36  □ ， 777 41 39  □ ， 7777 41 28  □ ， 77777 41 0  □ ，……，所以 77777 是 41 的倍数，而1996 5 399 1   ，所以 1996 7 777 77 个 可以分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7． 【答案】7 【例 8】 已知 2008 2008 20082008 2008a   个 ，问： a 除以 13 所得的余数是多少？ 【考点】多位数的余数问题 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5 年级，第 3 题 【解析】2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到 20082008 2008 10000 2008   ； 200820082008 20082008 10000 2008   ； 2008200820082008 200820082008 10000 2008   ；  根据这样的递推规律求出余数的变化规律： 20082008 除以 13 余 6 3 6 13 11    ，200820082008 除以 13 余11 3 6 39 0    ，即 200820082008 是 13 的倍数．而 2008 除以 3 余 1，所以 2008 2008 20082008 2008a   个 除以 13 的余 数与 2008 除以 13 的余数相同，为 6. 【答案】6 模块三、找规律计算 【例 9】 科学家进行一项实验，每隔 5 小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指 向 9，问做第一次记录时，时针指向几? 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 15 题 【解析】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共 5×11＝55(小时)。时针转一圈是 12 小时，55 除以 12 余数是 7，9－7＝2 答：时针指向 2。 【答案】 2 【例 10】一筐苹果分成小盒包装，每盒装 3只，剩 2 只；每盒装 5 只，剩 3只。每盒装 6 只，剩 只。 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分 【解析】除以 5 余 3的数从小到大为 3、8、13 、18 ，其中8 3 2 2   ，所以除以 3余 2 ，除以 5 余 3的数从小到大排列为8、 23 、 38 、 53 、，其中8 6 1 2   ， 23 6 3 5   ，因此剩 2 只或者 5 只。 【答案】 2 或 5 【例 11】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第 2008 个数除以 3 所得的余数为多少？ 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以 根据余数定理将斐波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、 0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置连 续，所以斐波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8 的余数 为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0. 【答案】0 【巩固】【巩固】有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是 1，第二个数是 3，从第三 个数起，每个数恰好是前面两个数之和的 2 倍再加上 1，那么这列数中的第 2008 个数除 以 6，得到的余数是 ． 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，6 分 【解析】这列数除以 6 的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为 2008 6 669 1   ，所以第 2008 个数除以 6 余 1． 【答案】1 【巩固】【巩固】有一列数排成一行，其中第一个数是 3，第二个数是 10，从第三个数开始，每个数恰好 是前两个数的和，那么第 1997 个数被 3 除所得的余数是多少？ 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】方法一：3，10，13，23，36，69，95， 被 3 除后的余数依次为 0，1，1，2，0，2， 2，1，0， 1，1，2， 0，2，2，1，0，1，1， ，观察得：余数的排列规律是：0，1， 1，2，0，2，2，1 为周期重复出现．1997 8 249 5   ，余数为 0． 方法二：找余数的规律我们还可以这样做：从第三个数起，利用同余的可加性，把前面两 个数被 3 除所得的余数相加，然后除以 3，就得到这个数除以 3 的余数，这样就 很容易算出余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2， 1，0，1，1， ，观察得 8 个一循环，1997 8 249 5   ，所以余数为 0． 方法三：找余数的规律我们还可以运用余数判别法做：3，10，13，23，36，69，95， 把每个数的各位数字相加，然后再除以 3，就得到这个数除以 3 的余数，这样就 很容易算出余数依次为：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2， 1，0，1，1， ，观察得 8 个一循环，1997 8 249 5   ，所以余数为 0． 【答案】0 【例 12】有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这 串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数？ 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】2009 年，走美，初赛，六年级 【解析】由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数．所以这 串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2， 4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每 20 个数为一个循环，且一个循 环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数．由于 2009 5 401 4   ，所以前 2009 个数中， 有 401 个是 5 的倍数． 【答案】401 【例 13】将七位数“1357924”重复写 287 次组成一个 2009 位数“13579241357924…”。删去这个数 中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后 剩下的数字是 【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第 3 题 【解析】本题考察二进制，最后剩下的数是 102 =1024 位值上的数字，周期为 7 ，所以 1024 7=146 2  ，那么每个周期中的第二个数是 3 【关键词】 3 【例 14】30 粒珠子依 8 粒红色、2 粒黑色、8 粒红色、2 粒黑色…的次序串成一圈，一只蚂蚱从 第 2 粒黑珠子起跳，每次跳过 6 粒珠子落在下一粒珠子上，这只蚂蚱至少要跳 次才能落到黑珠子上。 【考点】找规律计算 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 12 题 【解析】观察可知，每次跳过 6 粒珠子，则隔 7 个珠子，现在知第 1 个黑珠子在 10，第二个在 17，第 3 个在 24，第 4 个在 31-30=1，第 5 个在 38-10=8，第 6 个在 5，第 7 个在 2，第 8 个在 30。所以这只蚂蚱至少要跳 7 次才能落到黑珠子上。 【答案】 7 次 【例 15】有这样一类 2009 位数，它们不含有数字 0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两 位数都有一个约数和 20 相差 1，这样的 2009 位数共有________个． 【考点】找规律计算 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 8 题 【解析】第一个数确定，就能确定第二个数，以此类推，整个数就定下来了，所以一共就 9 个数。 【答案】 9 个 【例 16】在两位数 10，11，…，98，99 中，将每个被 7 除余 2 的数的个位与十位之间添加一个 小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少? 【考点】找规律计算 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 15 题 【解析】原来的总和是 10＋11＋…＋98＋99＝ 10 99 90 2  （ ） ＝4905 被 7 除余 2 的两位数是 7×2＋2＝16，7×3＋2＝23，…，7×13＋2＝93． 共 12 个数。这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的，因此这一手续使总 和减少了 (16＋23＋…＋93)×(1－ 1 10 )＝ 16 93 12 2  （ ） × 9 10 ＝588.6 所以，经过改变之后，所有数的和是 4905－588.6＝4316.4 【答案】 4316.4 模块四、特殊的数字 9 【例 17】将从 1 开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数：A＝ 13579111315171921……9799101103。则数 a 共有_____位，数 a 除以 9 的余数是___。 【考点】特殊数字 9 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 12 题 【解析】一位的奇数有 5 个，两位的奇数有 45 个，再加两个三位奇数，所以 a 是一个 5+2×45+3×2=101（位）数。从 1 开始的连续奇数被 9 除的余数依次为 1，3，5，7， 0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，…，从 1 开始，每周期为 9 个数 1， 3，5，7，0，2，4，6，8 的循环。因为（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被 9 除余数为 0， 从 1-89 恰为 5 个周期，所以这个 101 位数 a 被 9 除的余数为 1+3+5+7+0+2+4 被 9 除 的余数，等于 4。 解法 2：一个自然数被 9 除的余数和这个自然数所有数字之和被 9 除的余数相同，利 用这条性质，a=13579111315171921……9799101103 中 13579 的数字和被 9 除的余 数是 7，而 111315171921……9799 所有数字之和被 9 除的余数是 0，101103 的数字 和被 9 除的余数是 6。所以，a 被 9 除的余数是（7+6）被 9 除的余数，是 4。 【答案】101 位，余数是 4