小学奥数：5-5-1带余除法一.教师版

5-5-1.带余除法（一） 教学目标 1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算 知识点拨 带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b≠0）,若有 a÷b=q……r，也就是 a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当 0r  时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商 (2)当 0r  时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就 是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余 数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数 小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数  除数 商  余数；除数  （被除数  余数）  商；商  （被除数  余数）  除 数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键 理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数 整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性 问题，那么问题就会变得简单了． 例题精讲 除法公式的应用 【例 1】 某数被 13 除，商是 9，余数是 8，则某数等于 。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 2 题，5 分 【解析】125 【答案】125 【例 2】 一个三位数除以 36，得余数 8，这样的三位数中，最大的是__________。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 3 题 【解析】因为最大的三位数为 999 ， 999 36 27 27   ，所以满足题意的三位数最大为： 36 27 8 980   【答案】 980 【巩固】【巩固】计算口÷△，结果是：商为 10，余数为▲。如果▲的值是 6，那么△的最小值是_____。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4 题，6 分 【解析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有 △的最小值为 7。 【答案】 7 【例 3】 除法算式  □ □= 20 8 中，被除数最小等于 。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，4 题 【解析】本题的商和余数已经知道了，若想被除数最小，则需要除数最小即可，除数最小是 8 1 9  ，所以本题答案为：20×（8+1）+8=188. 【答案】188 【例 4】 71427 和 19 的积被 7 除，余数是几? 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】71427 被 7 除，余数是 6，19 被 7 除，余数是 5，所以 71427×19 被 7 除，余数就是 6×5 被 7 除所得的余数 2。 【答案】 2 【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12 ．求出符合条件的所有的两位数． 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】【解析】1013 12 1001  ，1001 7 11 13   ，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为 “余数小于除数”,所以舍去11，答案只有13,77,91。 【答案】13,77,91共三个 【巩固】【巩固】一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整 除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用 被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。 本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3×7×13，所求的两位数约数还 要满足比 37 大，符合条件的有 39，91. 【答案】39 或者 97 【巩固】【巩固】在下面的空格中填上适当的数。 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 10 题，12 分 【解析】本题的被除数、商和余数已经给出，根据除法的计算公式：被除数  除数 = 商 余 数，逆推计算得到：除数  (20047—13)÷742=27。 【答案】 27 【例 6】 一个两位奇数除 1477，余数是 49，那么，这个两位奇数是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】1 星 【题型】解答 【解析】这个两位奇数能被 1477-49=1428 整除，且必须大于 49,1428=2×2×3×7×17,所以这样的两 位奇数只有 51。 【答案】51 【例 7】 大于 35 的所有数中，有多少个数除以 7 的余数和商相等？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】除以 7 的余数只能是 0～6，所以商只能是 0～6，满足大于 7 的数只有商和余数都为 5、 6，所以只能是 40、48。 【答案】40、48 【例 8】 已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是 10，那么这样的自然数共有多少个？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是 2008- 10 即 1998 的约数，同时还要满足大于 10 这个条件。这样题目就转化为 1998 有多少个大 于 10 的约数， 31998 2 3 37   ，共有（1+1）×（3+1）×（1+1）=16 个约数，其中 1， 2，3，6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有 11 个。 【答案】11 【巩固】【巩固】写出全部除 109 后余数为 4 的两位数． 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛，第五届 【解析】109 4 105 3 5 7     ．因此，这样的两位数是：15；35；21． 【答案】两位数是：15；35；21 【例 9】 甲、乙两数的和是1088 ，甲数除以乙数商11余 32 ，求甲、乙两数． 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】，小升初分班考试 【解析】【解析】(法 1)因为 甲  乙 11 32  ，所以 甲  乙  乙 11 32   乙  乙 12 32 1088   ； 则乙 (1088 32) 12 88     ，甲 1088  乙 1000 ． (法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32 以后，1056 就应当是乙数的 (11 1) 倍，所以得到乙数 1056 12 88   ，甲数 1088 88 1000   ． 【答案】乙数 1056 12 88   ，甲数 1088 88 1000   【例 10】用某自然数 a 去除1992 ，得到商是 46，余数是 r ，求 a 和 r ． 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】第五届，小数报，决赛 【解析】【解析】因为1992 是 a 的 46 倍还多 r ,得到1992 46 43......14  ，得1992 46 43 14   ，所以 43a  ， 14r  ． 【答案】 43a  ， 14r  【例 11】当 1991 和 1769 除以某个自然数 n，余数分别为 2 和 1．那么，n 最小是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】如果用 1990 和 1769 去除这个自然数 n 时，余数是 1．而1990 1769 221 13 17    ，我 们不妨取 13n  ，再验证一下：1991 13 153 2   ，1769 13 136 1   ，所以 n 最小为 13． 【答案】13 【例 12】有三个自然数 a ， b ， c ，已知 b 除以 a ，得商 3 余 3； c 除以 a ，得商 9 余 11。则 c 除 以 b ，得到的余数是 。 【考点】除法公式的应用 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，5 年级，初赛，第 4 题，6 分 【解析】 3 3b a  9 11c a  (9 9) 2 3 2c a b     所以应该余 2。 【答案】 2 【例 13】有两个自然数相除，商是17 ，余数是13 ，已知被除数、除数、商与余数之和为 2113， 则被除数是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】【解析】被除数  除数  商  余数  被除数  除数+17+13=2113，所以被除数  除数=2083，由于 被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1） =115，所以被除数=2083-115=1968． 【答案】1968 【巩固】【巩固】两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是 _______． 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 【解析】【解析】因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为 415 4 8 8 4 1 79     （ ）（ ） ，所以，被除数为 79 4 8 324   。 【答案】324 【巩固】【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933，求这 2 个自然数各是多少？ 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为 x,y，可以得到 40 16 40 16 933 x y x y        ,解方程组得 856 21 x y    ，即这两个自然数分别是 856，21. 【答案】两个自然数分别是 856，21 【例 14】有一个三位数，其中个位上的数是百位上的数的 3 倍。且这个三位数除以 5 余 4，除以 11 余 3。这个三位数是_ 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】首先个位数不是 4 就是 9，又因为它是百位的 3 倍所以一定是 9，那么百位就是 3,又因为 它被 11 除余 3，因此十位是 9，答案是 399 【答案】399 【例 15】一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是_________. 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】2004 年，福州市，迎春杯 【解析】【解析】设这个自然数除以 11 余 a (0 11)a  ，除以 9 余 b (0 9)b  ，则有 11 9 3a a b b    ，即 3 7a b ，只有 7a  ， 3b  ，所以这个自然数为12 7 84  。 【答案】84 【例 16】盒子里放有编号 1 到 10 的十个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果从第二 次起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球的编号为 ____。 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 11 题 【解析】令第 1 次取的编号为 a，第二次取的编号为 2a+1，第三次取的编号为：2（2a+1） +1=4a+3；还剩下的编号为：55-7a-4=51  7a，当 a 为 6 时，余下的是 9；当 a 为 7 时， 余下的是 2. 【答案】 9 或者 2 【例 17】10 个自然数，和为 100，分别除以 3。若用去尾法，10 个商的和为 30；若用四舍五入 法，l0 个商的和为 34．10 个数中被 3 除余 l 的有________个． 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13 题 【解析】由题意，“用去尾法，10 个商的和为 30；用四舍五入法，l0 个商的和为 34”可知，10 个数中除以 3 余 2 的数有 34-30=4（个），又知道 10 个自然数的和为 100，设除以 3 余 1 的数有 x 个，那么根据用去尾法后十个商的和与 10 个自然数的和，可得关系式： 2 4 100 303 3 3 x    ，解得， 2x  。 【答案】 2 【例 18】 3782 除以某个整数后所得的商恰好是余数的 21 倍，那么除数最小可能是 。 【考点】除法公式的应用 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 2 题 【解析】设除数为 a ，商为 b ，余数为 c ，则 3782 a b c   ，且 21b c 。可以将除式转化为 21 3782a c c   ，所以 21 1 3782c a  （ ） ，所以 c 和 21 1a （ ）是 3782 的约数， 3782 2 31 61   ，在 3782 的约数中只有 31 61 1891  被 21 除所得的余数为1，所以 21 1 1891a   ， 90a  。 【答案】 90 【例 19】在大于 2009 的自然数中，被 57 除后，商与余数相等的数共有______个. 【考点】除法公式的应用 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题 【解析】根据题意，设这样的数除以 57 所得的商和余数都为 a（a﹤57），则这个数为 57×a+a=58a。所以 58a﹥2009，得到 a﹥2009÷58= 3734 58 ，由于 a 为整数，所以 a 至 少为 35.又由于 a﹤57，所以 a 最大为 56，则 a 可以为 35，36，37，…，56.由于每 一个 a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有 56-35+1=22 个。 【答案】 22 【例 20】用 1、9、8、8 这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？ 【考点】除法公式的应用 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 14 题 【解析】用 1、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988，1898，1889，9188，9818，9881， 8198，8189，8918，8981，8819，8891 它们减去 8 变为 1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910， 8973，8811，8883 其中被 11 整除的仅有 1980，1881，8910，8811，即用 1、9、8、 8 可排成 4 个被 1 除余 8 的四位数，即 1988，1889，8918，8819. 【又解】什么样的数能被 11 整除呢？一个判定法则是：比较奇位数字之和与偶位数 字之和，如果它们之差能被 11 除尽，那么所给的数就能被 11 整除，否则就不能 够． 现在要求被 11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上 3 后，就能被 11 整除了． 所以我们得到“一个数被 11 除余 8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将 奇位数字相加再加上 3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被 11 除尽，那么这 个数是被 11 除余 8 的数；否则就不是． 要把 1、9、8、8 排成一个被 11 除余 8 的四位数，可以把这 4 个数分成两组， 每组 2 个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作 A；另外一组作为百位 和个位数，它们之和加上 3 记作 B．我们要适当分组，使得能被 11 整除．现在只有 下面 4 种分组法： 经过验证，第（1）种分组法满足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝ 11 能被 11 除尽．但其余三种分组都不满足要求． 根据判定法则还可以知道，如果一个数被 11 除余 8，那么在奇位的任意两个数字互 换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被 11 除也余 8．于是，上面第 （1）分组中，1 和 8 中任一个可以作为千位数，9 和 8 中任一个可以作为百位数． 这样共有 4 种可能的排法：1988，1889，8918，8819． 答：能排成 4 个被 11 除余 8 的数 【答案】 4