第 2 课时 指数与指数 的运算 (2)
入新
思路 1.碳 14 年法 .原来宇宙射 在大气 中能 生放射性碳 14,并与氧 合成二氧化碳
后 入所有活 ,先 植物吸收 ,再 物吸收 ,只要植物和 物生存着 ,它 就会不断地吸收碳 14 在机体内保持
一定的水平 .而当有机体死亡后 ,即会停止吸收碳 14,其 内的碳 14
便以 5 730 年的半衰期开始衰 并消失 . 于任何含碳物 只要 定剩下的放射性碳 14 的
含量 ,便可推断其年代 (半衰期 : 一定的 , 原来的一半 ). 引出本 :指数与指数 的运算之分数指
数 .
思路 2.同学 ,我 在初中学 了整数指数 及其运算性 ,那么整数指数 是否可以推广
呢？答案是肯定的 . 就是本 的主 内容 ,教 板 本 —— 指数与指数 的运算之分
数指数 .
推 新
新知探究
提出
(1)整数指数 的运算性 是什么？
(2) 察以下式子 ,并 出 律： a＞ 0,
( a2 )5
10
① 5 a10 = 3 =a2=a 5 ;
8
② a8 = (a4 )2 =a4=a 2 ;
12
③
4
a
12
( a
3
)
4 3
= 4 =a =a 4 ;
10
④ 2 a10 = 2 ( a5 )2 =a5=a 2 .
(3)利用 (2)的 律 ,你能表示下列式子 ？
4 53 , 3 75 , 5 a 7 , n xm (x>0,m,n ∈ N* ,且 n>1).
(4) 你能用方根的意 来解 (3) 的式子 ？
(5) 你能推广到一般的情形 ？
活 ： 学生回 初中学 的整数指数 及运算性 ,仔 察 ,特 是每 的开始和最后两步
的指数之 的关系 ,教 引 学生体会方根的意 , 用方根的意 加以解 , 指点启 学生
比(2) 的 律表示 ,借 (2)(3), 我 把具体推广到一般 , 写正确的同学及 表 ,其他学生鼓励
提示 .
n 0 0
果： (1)整数指数 的运算性 ： a =a· a· a·⋯·=1(aa,a≠ 0);0 无意 ;
-n1 m n m+n m n mn n m mn n n n
a = (a ≠ 0);a ;(a ) =a ;(a ) =a ;(ab) =a b .·a =a
an
2 10 4 8
的 2
3 12
的(2) ① a 是 a 的 5 次方根；② a 是 a 次方根；③ a 是 a
10 8 12
方根 . 上① 5 a10 =a 5 ,② a8 =a 2 ,③ 4 a12 =a 4 ,④ 2 a10 =a
4 次方根；④ a5 是 a10 的 2 次
10
2 果的 a 的指数是 2,4,3,5
10 8 12 10
分 写成了 , , , ,形式上 了 ,本 没 .
根据 4 个式子的最后 果可以 ：当根式的被开方数的指数能被根指数整除 ,根式可以
写成分数作 指数的形式（分数指数 形式） .
3 5 7 m
(3) 利用 (2)的规律 , 4 53 =5 4 ,3 75 =7 3 ,5 a7 =a 5 , n xm =x n .
3 5 7 m
(4)53 的四次方根是 5 4 ,75 的三次方根是 7 3 ,a7 的五次方根是 a 5 ,xm 的 n 次方根是 x n .
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
m m
(5) 如果 a>0,那么 am 的 n 次方根可表示为 n a m=a n ,即 a n = n a m(a>0,m,n ∈N * ,n>1).
综上所述 ,我们得到正数的正分数指数幂的意义 ,教师板书 :
n
规定 :正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m(a>0,m,n∈ N * ,n>1).
提出问题
①负整数指数幂的意义是怎样规定的 ?
②你能得出负分数指数幂的意义吗 ?
③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义 ?
④综合上述 ,如何规定分数指数幂的意义 ?
⑤分数指数幂的意义中 ,为什么规定 a＞ 0,去掉这个规定会产生什么样的后果 ?
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 ,那么整数指数幂的运算性质是否也适
用于有理数指数幂呢 ?
活动： 学生回想初中学习的情形 ,结合自己的学习体会回答 ,根据零的整数指数幂的意义和负
整数指数幂的意义来类比 ,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来 ,与整数指
数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质 ,教师在黑板上板书 ,学生合作交流 ,以具
体的实例说明 a＞ 0 的必要性 ,教师及时作出评价 .
讨论结果： ①负整数指数幂的意义是 -n
=
1 *
.:a n (a ≠ 0),n∈ N
a
②既然负整数指数幂的意义是这样规定的 ,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指
数幂的意义 .
n
1规定 :正数的负分数指数幂的意义是 1 *,n>1).a m = n = (a>0,m,n∈ N
a m n a m
③规定 :零的分数指数幂的意义是 :零的正分数次幂等于零 ,零的负分数指数幂没有意义 .
④教师板书分数指数幂的意义 .分数指数幂的意义就是 :
n
正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m (a>0,m,n∈ N* ,n>1), 正数的负分数指数幂的意义是
n
1a m = 1 = (a>0,m,n∈ N * ,n>1),零的正分数次幂等于零 ,零的负分数指数幂没有意义 .
n
n ama m
⑤若没有 a＞0 这个条件会怎样呢 ?
1 2
如(-1) 3 =3-1=-1,(-1) 6 =6(-1) 2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果 ,这只说明分
数指数幂在底数小于零时是无意义的 .因此在把根式化成分数指数时 ,切记要使底数大于零 ,
2
如无 a＞0 的条件 ,比如式子 3a2=|a| 3 ,同时负数开奇次方是有意义的 ,负数开奇次方时 ,应把负
号移到根式的外边 ,然后再按规定化成分数指数幂 , 也就是说 ,负分数指数幂在有意义的情况
下总表示正数 ,而不是负数 ,负数只是出现在指数上 .
⑥规定了分数指数幂的意义后 ,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 .
有理数指数幂的运算性质 :对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质 :
（1） ar·as=ar+s(a>0,r,s∈ Q),
（2） (ar)s=ars(a>0,r,s∈ Q),
（3） (a ·b)r=arbr(a>0,b>0,r ∈Q ).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题 ,来看下面的例题 .
应用示例
思路 1
2 1 3
例 1 求值 :① 8 3 ;② 25 2 ③ ( 1 )-5;④ ( 16 ) 4 .
2 81
活动： 教师引导学生考虑解题的方法 ,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式 ,根据题
目要求 ,把底数写成幂的形式 ,8 写成 23,25 写成 52 ,
1 写成 2-1, 16 写成 ( 2 )4,利用有理数幂的
2 81 3
运算性质可以解答 ,完成后 ,把自己的答案用投影仪展示出来 .
2 2 3 2
解： ① 8 3
3
3 =2 3
2
=(2 ) =2 =4;
1 1 2 ( 1
1②25 2 =(5 2) 2 =5
)
=5-1 = ;2
5
③( 1 -5 -1 -5 -1
) =(2 ) =2 ×(-5)=32;
2
④( 16 3 2 4 ( 3 ) 2 -3 27
81
) 4 =( ) 4 =( ) =.
3 3 8
点评：本例主要考查幂值运算 ,要按规定来解 .在进行幂值运算时 ,要首先考虑转化为指数运算 ,
2
而不是首先转化为熟悉的根式运算 ,如 8 3 = 3 82 = 3 64 =4.
例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
3 2 3 2
; a
3
a (a>0).a · a ;a · a
活动： 学生观察、思考 ,根据解题的顺序 ,把根式化为分数指数幂 ,再由幂的运算性质来运算 ,
根式化为分数指数幂时 ,要由里往外依次进行 ,把握好运算性质和顺序 ,学生讨论交流自己的
解题步骤 ,教师评价学生的解题情况 ,鼓励学生注意总结 .
1 3 1 7
解： a3 · a =a3·a 2 =a 2 =a 2 ;
2
2
3 8
2 3
a
2 2
3 =a 2 =a 3 ;a · =a ·a
1 1 4 1 2
a3 a =(a ·a3 ) 2 =(a 3 ) 2 =a 3 .
点评： 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时 ,其顺序是先把根
式化为分数指数幂 ,再由幂的运算性质来运算 .对于计算的结果 ,不强求统一用什么形式来表
示 ,没有特别要求 ,就用分数指数幂的形式来表示 ,但结果不能既有分数指数又有根式 ,也不能
既有分母又有负指数 .
例 3 计算下列各式（式中字母都是正数） :
2 1 1 1 1 5
（1） (2a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 ) ÷(-3a 6 b 6 );
1 3
（2） (m 4 n 8 )8.
活动： 先由学生观察以上两个式子的特征 ,然后分析 ,四则运算的顺序是先算乘方 ,再算乘除 ,
最后算加减 ,有括号的先算括号内的 ,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后 ,其
运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 ,再解答 , 把自己的答案用投影仪展示出来 ,相互交
流 ,其中要注意到（ 1）小题是单项式的乘除运算 ,可以用单项式的乘除法运算顺序进行 ,要注
意符号 ,第（ 2）小题是乘方运算 ,可先按积的乘方计算 ,再按幂的乘方进行计算 ,熟悉后可以简
化步骤 .
2 1 1 1 1 5
解：（ 1）原式 =［ 2×(-6) ÷(-3)］ a 3 2 6 b 2 3 6 =4ab0=4a;
1 3 1 3 1 8 3 8 m 2
（2） (m 4 n
8 8 8 8 8
n
8 2 -3
) =(m 4 ) (n ) =m 4 =m n = n 3
.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积 ,而是根式的另一种写法 .有了分数指数幂 ,就可把根式
转化成分数指数幂的形式 ,用分数指数幂的运算法则进行运算了.
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.
变式训练
求值 :
(1)3 3
3 6
· 3· 3 ;
( 27m
3
(2) 6 6 )4 .
125n
1 1 1 1 1 1 1
解： (1)3 3 3
3
6 2 3 6 2 3 6 2· · · · ·
=3 =3 =9
；
3 =3 3 3 3
27m3 4 33 m3 4
4 4
9m2
(2) 6 27m3
4
=( (
(33 ) 6 (m3 ) 6 9 2
n
4
.( 6 ) =( ( 6 ) 6 3 6 ) 6 = 4 4 = 4 = m
125n 125n 5 n (53 ) 6 ( n6 ) 6 25n 25
例 4 计算下列各式 :
（1） (
3
25 125
4
25 ;) ÷
（2） a 2
(a＞ 0） .
a 3 a 2
活动：先由学生观察以上两个式子的特征 ,然后分析 ,化为同底 .利用分数指数幂计算 ,在第（ 1）
小题中 ,只含有根式 ,且不是同次根式 ,比较难计算 ,但把根式先化为分数指数幂再计算 ,这样就
简便多了 ,第（ 2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算 ,最后写出解答 .
1 1 1 2 3 1
解：（ 1）原式 =(25 3 -125 2 ) ÷25 4 =(5 3 -5 2 ) ÷5 2
2 1 3 1 1
=5 3 2 -5 2 2 =5 6 -5= 6 5 -5;
a
2
1
a 2 2 1 2 5
（2） = 2 =a 2 3 =a 6 = 6 a5 .
a 3 a 2 a 2 a 3
思路 2
例 1 比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小 .
活动：学生努力思考 ,积极交流 ,教师引导学生解题的思路 ,由于根指数不同 ,应化成统一的根指
数,才能进行比较 ,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式 ,然后 ,只看被开方数的大小就
可以了 .
解： 因为 5 = 6 53 = 6 125 , 3 11 = 6 121 ,而 125＞ 123＞121,所以 6 125 > 6 123 > 6 121 .
所以 5 > 6 123 > 3 11 .
点评： 把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.
例 2 求下列各式的值 :
4 2
81 9 3(1) ;
(2)2
3
1.5
6
3 × × 12 .
活动： 学生观察以上几个式子的特征 ,既有分数指数幂又有根式 ,应把根式转化为分数指数幂
后再由运算法则计算 ,如果根式中根指数不同 ,也应化成分数指数幂 ,然后分析解答 ,对 (1) 应由
4 2 4 4 1
9 3 (3 3 ) 2 ,对 (2)化为同底的分数指数幂 ,及时对学生活动进行评价 .里往外 81 = 34
4 2 4 1 1 4 2 1 14 1 7
= 36 3 ;解： (1) 81 9 3 =［ 34×(3 3 ) 2 ］ 4 =(3 3 ) 4 =(3 3 ) 4 =3 6
1
3(2) 2 3 3 1.5 6 12 =2×3 2 ×(
2
1 1 1 1 1 1 1
3 2 6 1 3 2 3 6
) =2
3
·3 =2×3=6.×(3 ×2 )
例 3 计算下列各式的值 :
3 1 1 1
（1）［ (a 2 b2)-1 ·(ab-3 ) 2 (b 2)7 ］ 3 ;
1
（2） 1 a 2 a a
1 a a 1
1
2
;
3
b 4 a(3) ( a b 2 ) 3 1 .
活动： 先由学生观察以上三个式子的特征 ,然后交流解题的方法 ,把根式用分数指数幂写出 ,
利用指数的运算性质去计算 ,教师引导学生 ,强化解题步骤 ,对 (1)先进行积的乘方 ,再进行同底
数幂的乘法 ,最后再乘方 , 或先都乘方 ,再进行同底数幂的乘法 ,对（ 2）把分数指数化为根式 ,
然后通分化简 ,对（ 3）把根式化为分数指数 ,进行积的乘方 ,再进行同底数幂的运算 .
3 1 1 1 7 1 2 1 1 7 1 1 2 1 7 2 2
解： (1) 原式 =(a 2 b2) 3 (ab-3 ) 6 ·(b 2 ) 3 =a 2 b 3 a 6 b 2 b 6 =a 2 6 b 3 2 6 =a 3 b0=a 3 ;
3 1 3 7 1
另解： 原式 =(a 2 b-2 a 2 b 2 ·b 2 ) 3
3 1 2 3 7 1 2 0 1 2
=(a 2 2 b 3 =a ;2 2 ) 3 =(a b ) 3
1 1
1 a
（2）原式 = a a =
a 1 1 a 1 1 a 1
a (a 1)
= = (1 ) =
1 a a 1 a a (a 1) a a 1
2 2 a
a ( a
= ;
1) a(1 a)
1 2 1 3 1 3 1
1（3）原式 =（ a 2 b 3 ） -3÷(b-4a-1) 2 =a 2 b-2÷b-2a 2 =a 2 2 b-2+2 =a-1= .
a
例 4 已知 a＞ 0,对于 0≤r ≤8,r∈ N * ,式子 (
a
)8-r 1 r 能化为关于 a 的整数指数幂的情形有几
·
( 4 a)
种？
活动：学生审题 ,考虑与本节知识的联系 ,教师引导解题思路 ,把根式转化为分数指数幂后再由
运算法则计算 ,即先把根式转化为分数指数幂 ,再进行幂的乘方 ,化为关于 a 的指数幂的情形 ,
再讨论 ,及时评价学生的作法 .
1
8 r r 8 r r 16 3r
解： ( a )8-r·( ) r=a 2 ·a 4 =a 4 4 =a 4 .
4 a
16-3r 能被 4 整除才行 ,因此 r=0,4,8 时上式为关于 a 的整数指数幂 .
点评：本题中确定整数的指数幂时 ,可由范围的从小到大依次验证 ,决定取舍 .利用分数指数幂
进行根式运算时 ,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.
例 5 已知 f （ x） =ex－ e-x,g（x） =ex+e-x.
（1）求［ f （ x）］ 2－［ g（x）］ 2 的值；
（2）设 f（ x）f （y） =4,g（x） g（ y） =8, 求 g( x y) 的值 .
g( x y)
活动： 学生观察题目的特点 ,说出解题的办法 ,整体代入或利用公式 ,建立方程 ,求解未知 ,如果
学生有难度 ,教师可以提示引导 ,对（ 1）为平方差 ,利用公式因式分解可将代数式化简 ,对 (2) 难
以发现已知和未知的关系 ,可写出具体算式 ,予以探求 .2 2
解： (1) ［f （ x）］ －［ g（ x）］ =［ f（ x） +g（ x）］·［ f （x）－ g（x）］
2 2 x -x 2 x -x 2
另解： (1)［ f （ x）］ －［ g（ x）］ =(e -e ) -(e +e )
=-4ex-x=-4e 0=-4;
(2)f （ x） ·f（ y）=（ ex－ e-x ）（ ey－e-y） =ex+y+e -(x+y) － ex-y－ e-(x-y) =g（x+y ）－ g（x－ y） =4,
同理可得 g（ x） g（ y） =g（ x+y ） +g （ x－ y） =8,
g(x y) - g(x - y) 4,得方程组
g(x
解得 g（ x+y ）=6,g（ x－ y） =2.
y) g(x - y) 8,
所以 g (x y) = 6 =3.
g (x y) 2
点评： 将已知条件变形为关于所求量 g（ x+y ）与 g（ x－y）的方程组 ,从而使问题得以解决 ,
这种处理问题的方法在数学上称之为方程法 ,方程法所体现的数学思想即方程思想 ,是数学中重要的
数学思想 .
知能训练
课本 P54 练习 1、 2、3.
［补充练习］
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答 ,教师巡视 ,启发 ,对做得好的同学给予表扬鼓励 .
1.(1) 下列运算中 ,正确的是 ( )
A.a2·a3 =a6
2 3 3 2
B.(-a ) =(-a )
C.( a -1)0=0
D.(-a
2 3 6
) =-a
4 2 n 4 2 n 1③ 5 4 4 5
(2)
下列各式① ( 4) ② ( 4)
a
④
a
（各式的 ∈ ∈
R
）中 有意义的是
, , n N ,a ,
( )
A. ①② B.①③ C.①②③④ D. ①③④
(3) ( 3 4
a 6
) 2
( 4 3
a6
)2 等于 ( )
A.a B.a2
3
D.a 4C.a
(4) 把根式－ 2 3 (a b) 2 改写成分数指数幂的形式为 ( )
2 5
A.-2(a-b) 5 B.-2(a-b) 2
2 2 5 5
C.-2(a 5 -b 5 ) D.-2(a 2 -b 2 )
2 1 1 1 1 5
(5) 化简（ a 3 b 2 ）（ -3a 2 b 3 ） ÷（ 1 a 6 b ）的结果是 ( )6
3
A.6a B.-a
1
2.计算： (1)0.027 3 －（－ 1
7
C.-9a D.9a
3
） -2+256 4 － 3-1 +（2－ 1） 0=________.
(2) 设 5x=4,5y=2, 则 52x-y=________.
1 1
3.已知 x+y=12,xy=9 且 x＜ y,求 x 2 y2
1
的值 .
1
x 2 y 2
答案： 1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8
1 1 1 1 1 1 1 1
3.解：
x 2 y 2
=
( x 2 y 2 )( x 2 y 2 ) x 2x2 y 2 y
1 1 1 1 1 1 = x y .
x 2 y 2 ( x 2 y2 )( x 2 y 2 )
因为 x+y=12,xy=9, 所以 (x-y) 2=(x+y) 2-4xy=144-36=108=4 27×.
又因为 x＜ y,所以 x-y=-2 ×33=-63.所以原式 12
6= 3 .
6 3 3
拓展提升
1
1.化简
x 1 x 1 x x3
2 1 1 1 .
x 3 x3 1 x 3 1 x 3 1
活动： 学生观察式子特点 ,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路 ,应对原式进行因式分
解,根据本题的特点 ,注意到 :
1 1 2 1
x-1=(x
3 3 3 3
-1) (x·
3
+x
3
+1);) -1 =(x
1 1 2 1
x+1=(x
3 3 3 3
+1) ·(x 3 -x
3
+1);) +1 =(x
1 1 1 1 1 1
x-x 3 =x 3 ［ (x 3 )2-1］ =x 3 (x 3 -1)(x 3 +1).
构建解题思路教师适时启发提示 .
1 1 1 1 2 1
解：
x 1 x 1 x x3 (x 3 ) 3 13 ( x 3 ) 3 13 x 3 x3 x 3
2 1 1 1 = 2 1 1 1
x 3 x3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 x 3 1 x3 1 x 3 1
1 2 1 1 2 1 1 1 1
( x 3 1)( x 3 x 3 1) ( x 3 1)( x 3 x 3 1) x3 (x 3 1)( x 3 1)
= 2 1 1 1
x 3 x 2 1 x 3 1 ( x3 1)
1 2 1 2 1 1
=x 3 -1+x 3 -x 3 +1-x 3 -x 3 =-x 3 .
点拨 :解这类题目 ,要注意运用以下公式 ,
1 1 1 1
(a 2 -b 2 )(a 2 +b 2 )=a-b,
1 1 1 1
(a 2 ±b 2 ) 2=a±2a 2 b 2 +b,
1 1 2 1 1 2
(a 3 ±b 3 )(a 3 a 3 b 3 +b 3 )=a ±b.
1 1
2.已知 a 2 +a 2 =3,探究下列各式的值的求法 .
3 3
-1 2 -2 a 2 a 2
(1)a+a ;(2)a +a ;(3) 1 1 .
a 2 a 2
1 1
解： (1) 将 a 2 +a 2 =3, 两边平方 ,得 a+a-1 +2=9,即 a+a-1 =7;
(2) 将 a+a-1=7 两边平方 ,得 a2+a-2+2=49, 即 a2+a-2=47;
3 3 1 1
(3) 由于 a 2 -a 2 =(a 2 )3-(a 2 )3,
3
所以有 a 2 a
1
a 2 a
3 1 1
2
=
(a 2 a 2 )(a a
1 1
2 a 2 a
1
1 1
a 2 a 2 ) -1
+1=8.1 =a+a
2
点拨 :对“条件求值 ”问题 ,一定要弄清已知与未知的联系 ,然后采取 “整体代换 ”或 “求值后代换 ”
两种方法求值 .
课堂小结
活动：教师 ,本节课同学们有哪些收获 ?请把你的学习收获记录在你的笔记本上 ,同学们之间相
互交流 .同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点 :
n
(1) 分数指数幂的意义就是 :正数的正分数指数幂的意义是 a m = n a m(a>0,m,n∈ N * ,n>1),正数
n 1 1的负分数指数幂的意义是 a m = *,n>1), 零的正分数次幂等于零 ,零的n = (a>0,m,n ∈ N
a m n a m
负分数指数幂没有意义 .
(2)规定了分数指数幂的意义后 ,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(3)有理数指数幂的运算性质 : 对任意的有理数 r、 s,均有下面的运算性质 :
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈ Q),
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈ Q ),
③(a ·b)r=arbr(a>0,b>0,r ∈ Q).
(4) 说明两点 :
①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性 ,其中没有推
出关系 .
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用 .因而分数指数幂与根式可以互
m m
化,也可以利用 (an) n = a
n
n =am 来计算 .
作业
课本 P59 习题 2.1A 组 2、 4.
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