第 1 课时 直线与圆锥曲线的位置关系
授课提示：对应学生用书第 369 页
[A 组 基础保分练]
1．过抛物线 y2＝8x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，
则|AB|等于（ ）
A．8 B．10
C．12 D．14
解析：由题设知线段 AB 的中点到准线的距离为 5，
设 A，B 两点到准线的距离分别为 d1，d2，
由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝d1＋d2＝2×5＝10．
答案：B
2．（2021·广州调研）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋ 2y－2 2＝0 与椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）相切，且椭圆 C 的右焦点 F（c，0）关于直线 l：y＝
c
b
x 的对称点 E 在椭圆 C
上，则△OEF 的面积为（ ）
A．
1
2
B．
3
2
C．1 D．2
解析：联立方程可得
x＋ 2y－2 2＝0，
x2
a2
＋
y2
b2
＝1， 消去 x，化简得（a2＋2b2）y2－8b2y＋b2（8－a2）
＝0，由Δ＝0 得 2b2＋a2－8＝0．设 F′为椭圆 C 的左焦点，连接 F′E（图略），易知 F′E∥l，所
以 F′E⊥EF，又点 F 到直线 l 的距离 d＝
c2
c2＋b2
＝
c2
a
，所以|EF|＝
2c2
a
，|F′E|＝2a－|EF|＝
2b2
a
，
在 Rt△F′EF 中，|F′E|2＋|EF|2＝|F′F|2，化简得 2b2＝a2，代入 2b2＋a2－8＝0 得 b2＝2，a＝2，
所以|EF|＝|F′E|＝2，所以 S△OEF＝
1
2
S△F′EF＝1．
答案：C
3．椭圆 ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0）与直线 y＝1－x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中
点的直线的斜率为
3
2
，则
b
a
的值为（ ）
A．
3
2
B．
2 3
3
C．
9 3
2
D．
2 3
27
解析：把 y＝1－x 代入椭圆 ax2＋by2＝1 得 ax2＋b（1－x）2＝1，
整理得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0．
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1＋x2＝
2b
a＋b
，y1＋y2＝2－
2b
a＋b
＝
2a
a＋b
，
所以线段 AB 的中点坐标为
b
a＋b
，
a
a＋b ，
所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率
k＝
a
a＋b
b
a＋b
＝
a
b
＝
3
2
，
所以
b
a
＝
2 3
3
．
答案：B
4．已知椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为
3
2
，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，
且线段 AB 的中点为 M（－2，1），则直线 l 的斜率为（ ）
A．
1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．1
解析：由 e＝
c
a
＝
3
2
，得
c2
a2
＝
a2－b2
a2
＝
3
4
，
所以 a2＝4b2，则椭圆方程为 x2＋4y2＝4b2．
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，
把 A，B 的坐标代入椭圆方程得
x2
1＋4y2
1＝4b2，①
x2
2＋4y2
2＝4b2，②
①－②得（x1－x2）（x1＋x2）＝－4（y1－y2）（y1＋y2），
所以
y1－y2
x1－x2
＝－
x1＋x2
4（y1＋y2）
＝－
－4
4×2
＝
1
2
．
所以直线 l 的斜率为
1
2
．
答案：C
5．在直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，PQ 垂
直 l 于点 Q，M，N 分别为 PQ，PF 的中点，直线 MN 与 x 轴交于点 R，若∠NFR＝60°，则
|NR|＝（ ）
A．2 B． 3
C．2 3 D．3
解析：如图，连接 MF，QF，设准线 l 与 x 轴交于点 H．
∵y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l，P 为 C 上一点，∴|FH|＝2，|PF|＝|PQ|．
∵M，N 分别为 PQ，PF 的中点，
∴MN∥QF．∵PQ 垂直 l 于点 Q，∴PQ∥OR，∵|PQ|＝|PF|，∠NFR＝60°，
∴△PQF 为等边三角形，∴MF⊥PQ，∴F 为 HR 的中点，∴|FR|＝|FH|＝2，∴|NR|＝2．
答案：A
6．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的准线方程为 x＝－1，焦点为 F，A，B，C 为抛物线上不
同的三点，|FA→|，|FB→|，|FC→|成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则直线 AC
的方程为（ ）
A．2x－y－1＝0 B．x－2y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－2y＋1＝0
解析：抛物线 y2＝2px 的准线方程为 x＝－
p
2
＝－1，
∴p＝2，
∴抛物线方程为 y2＝4x，F（1，0）．设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线
的定义得，|FA→|＝x1＋1，|FB→|＝x2＋1，|FC→|＝x3＋1，∵|FA→|，|FB→|，|FC→|成等差数列，∴2|FB→|
＝|FA→|＋|FC→|，即 2（x2＋1）＝x1＋1＋x3＋1，整理得 x1＋x3＝2x2．又FA→＋FB→＋FC→＝0，∴
x1－1＋x2－1＋x3－1＝0，y1＋y2＋y3＝0，∴x2＝1．又 y2＜0，∴y2＝－2，∴x1＋x3＝2，y1
＋y3＝2，∴AC 的中点坐标为（1，1），kAC＝
y3－y1
x3－x1
＝
y3－y1
y2
3
4
－
y2
1
4
＝
4
y1＋y3
＝2，∴直线 AC 的方程
为 y－1＝2（x－1），即 2x－y－1＝0．
答案：A
7．（2021·广州模拟）已知 F 为抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线 C1 是以 F 为圆心，
p
4
为半径的圆，直线 2 3x－6y＋3p＝0 与曲线 C，C1 从左至右依次相交于 P，Q，R，S，则
|RS|
|PQ|
＝_________．
解析：可得直线 2 3x－6y＋3p＝0 与 y 轴交点是抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点 F，
由
2 3x－6y＋3p＝0
x2＝2py
得 x2－
2 3
3
px－p2＝0⇒xP＝－
3
3
p，xS＝ 3p⇒yP＝
1
6
p，yS＝
3
2
p．
|RS|＝|SF|－
p
4
＝yS＋
p
2
－
p
4
＝
7
4
p，|PQ|＝|PF|－
p
4
＝yP＋
p
2
－
p
4
＝
5
12
p．
∴则
|RS|
|PQ|
＝
21
5
．
答案：
21
5
8．已知点 A（0，1），抛物线 C：y2＝ax（a＞0）的焦点为 F，连接 FA，与抛物线 C 相交于
点 M，延长 FA，与抛物线 C 的准线相交于点 N，若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数 a 的值为_________．
解析：依题意得抛物线的焦点 F 的坐标为
a
4
，0
，过 M 作抛物线的准线的垂线，垂足为 K（图
略），由抛物线的定义知|MF|＝|MK|．因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝ 3∶1，又
kFN＝
0－1
a
4
－0
＝－
4
a
，kFN＝－
|KN|
|KM|
＝－ 3，所以－
4
a
＝－ 3，解得 a＝
4 3
3
．
答案：
4 3
3
9．（2021·北京海淀区模拟）已知椭圆 C：
x2
3m
＋
y2
m
＝1，直线 l：x＋y－2＝0 与椭圆 C 相交于
两点 P，Q，与 x 轴交于点 B，点 P，Q 与点 B 不重合．
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）当 S△OPQ＝2 时，求椭圆 C 的方程；
（3）过原点 O 作直线 l 的垂线，垂足为 N．若|PN|＝λ|BQ|，求实数λ的值．
解析：（1）a2＝3m，b2＝m，c2＝2m，e2＝
c2
a2
＝
2
3
，故 e＝
6
3
．（2）设 P（x1，y1），Q（x2，
y2），y1y2≠0，将 x＋y－2＝0 代入椭圆 C 的方程并整理得 4x2－12x＋12－3m＝0，依题意，
由Δ＝（－12）2－4×4×（12－3m）＞0 得 m＞1．且有
x1＋x2＝3，
x1x2＝
12－3m
4
，
|PQ|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 2· 9－（12－3m）＝ 6 m－1，
原点到直线 l 的距离 d＝ 2，所以 S△OPQ＝
1
2
|PQ|·d＝
1
2
× 6· m－1× 2＝2．
解得 m＝
7
3
＞1，故椭圆方程为
x2
7
＋
3y2
7
＝1．
（3）直线 l 的垂线为 ON：y＝x，
由
y＝x，
x＋y－2＝0，
解得交点 N（1，1）．
因为|PN|＝λ|BQ|，又 x1＋x2＝3，
所以λ＝
|PN|
|BQ|
＝
|x1－1|
|x2－2|
＝
|2－x2|
|x2－2|
＝1，
故λ的值为 1．
10．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知椭圆 C：
x2
25
＋
y2
m2
＝1（0＜m＜5）的离心率为
15
4
，A，B
分别为 C 的左、右顶点．
（1）求 C 的方程；
（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x＝6 上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ 的面积．
解析：（1）由题设可得
25－m2
5
＝
15
4
，得 m2＝
25
16
，
所以 C 的方程为
x2
25
＋
y2
25
16
＝1．
（2）设 P（xP，yP），Q（6，yQ），根据对称性可设 yQ＞0，由题意知 yP＞0．
由已知可得 B（5，0），直线 BP 的方程为 y＝－
1
yQ
（x－5），
所以|BP|＝yP 1＋y2
Q，|BQ|＝ 1＋y2
Q．
因为|BP|＝|BQ|，所以 yP＝1．
将 yP＝1 代入 C 的方程，解得 xP＝3 或－3．
由直线 BP 的方程得 yQ＝2 或 8．所以点 P，Q 的坐标分别为 P1（3，1），Q1（6，2）；P2（－
3，1），Q2（6，8）．
|P1Q1|＝ 10，直线 P1Q1 的方程为 y＝
1
3
x，点 A（－5，0）到直线 P1Q1 的距离为
10
2
，故△
AP1Q1 的面积为
1
2
×
10
2
× 10＝
5
2
．
|P2Q2|＝ 130，直线 P2Q2 的方程为 y＝
7
9
x＋
10
3
，点 A 到直线 P2Q2 的距离为
130
26
，故△AP2Q2
的面积为
1
2
×
130
26
× 130＝
5
2
．
综上，△APQ 的面积为
5
2
．
[B 组 能力提升练]
1．（2021·郑州调研）已知椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）与圆 D：x2＋y2－2ax＋
3
16
a2＝0
交于 A，B 两点，连接 OA，AD，DB，OB，若四边形 OADB（O 为原点）是菱形，则椭圆 C
的离心率为（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
3
2
D．
6
4
解析：由已知得圆 D：（x－a）2＋y2＝
13
16
a2，圆心 D（a，0），则菱形 OADB 对角线的交点
的坐标为
a
2
，0
．将 x＝
a
2
代入圆D 的方程，得y＝±
3
4
a，不妨设点A在x轴上方，即A
a
2
，
3a
4 ．将
点 A 的坐标代入椭圆 C 的方程可得
1
4
＋
9a2
16b2
＝1，所以
3
4
a2＝b2＝a2－c2，得 a＝2c，所以椭
圆 C 的离心率 e＝
c
a
＝
1
2
．
答案：B
2．（2021·长沙模拟）已知 F1，F2 分别是双曲线 C：y2－x2＝1 的上、下焦点，P 是其一条渐
近线上的一点，且以 F1F2 为直径的圆经过点 P，则△PF1F2 的面积为（ ）
A．
2
2
B．1
C． 2 D．2
解析：设 P（x0，y0），不妨设点 P 在双曲线 C 的过一、三象限的渐近线 x－y＝0 上，因此可
得 x0－y0＝0．易知 F1（0， 2），F2（0，－ 2），所以|F1F2|＝2 2，以 F1F2 为直径的圆的
方程为 x2＋y2＝2，又以 F1F2 为直径的圆经过点 P，所以 x2
0＋y2
0＝2．由
x0－y0＝0，
x2
0＋y2
0＝2，
得|x0|＝
1，于是 S△PF1F2＝
1
2
|F1F2|·|x0|＝
1
2
×2 2×1＝ 2．
答案：C
3．如图，点 A 为双曲线 C：
x2
a2
－
y2
b2
＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，点 P 为双曲线上一点，作
PB⊥x 轴，垂足为 B，若 A 为线段 OB 的中点，且以 A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线 C
恰有三个公共点，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． 2 B． 3
C．2 D． 5
解析：法一：由题意可得 A（a，0），又 A 为线段 OB 的中点，所以可得 B（2a，0），
令 x＝2a，则 y＝± 3b，可取 P（2a，－ 3b）．
由题意可得圆 A 经过双曲线的左顶点（－a，0），即|AP|＝2a，即 2a＝ a2＋3b2，可得 a＝
b，e＝
c
a
＝ 1＋
b2
a2
＝ 2．
法二：设双曲线 C 的左顶点为 M，圆 A 与 x 轴的正半轴交于点 N．由已知易得|PB|＝ 3b，
|BM|＝3a，|BN|＝a，连接 PM，PN（图略），则 PM⊥PN，在 Rt△PMN 中，PB⊥MN，所
以|PB|2＝|BM|·|BN|，所以 3b2＝3a2，因为 c2＝b2＋a2，所以 e＝
c
a
＝ 2．
答案：A
4．（2021·济南模拟）已知抛物线 E：y2＝2px（p＞0）上一点 M（4，y0）到焦点 F 的距离
为 5．
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）直线 l 与圆 C：x2＋y2－4x＝0 相切且与抛物线 E 相交于 A，B 两点，若△AOB 的面积为
4（O 为坐标原点），求直线 l 的方程．
解析：（1）由抛物线的定义知 4＋
p
2
＝5，所以 p＝2，
因此，抛物线 E 的方程为 y2＝4x．
（2）由题意知，直线 l 与 y 轴不垂直，
设直线 l 的方程为 x＝my＋n．
因为直线 l 与圆 C 相切，
又圆 C 的圆心为（2，0），
所以
|2－n|
m2＋1
＝2，
所以 4m2＝n2－4n．
设点 A（x1，y1），B（x2，y2），
由
x＝my＋n，
y2＝4x，
消去 x 得 y2－4my－4n＝0，
由根与系数的关系得 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．
则|AB|＝ 1＋m2·|y1－y2|
＝ 1＋m2· （y1＋y2）2－4y1y2
＝ 1＋m2· 16m2＋16n
＝4 1＋m2· m2＋n，
又原点 O 到直线 l 的距离为 d＝
|n|
1＋m2
，
所以 S△AOB＝
1
2
|AB|·d
＝
1
2
×4 1＋m2· m2＋n·
|n|
1＋m2
＝2 （m2＋n）n2，
所以 2 （m2＋n）n2＝4，
所以（m2＋n）n2＝4，
又 4m2＝n2－4n，
解得 n＝±2．
当 n＝2 时，m2＝－1 不成立；
当 n＝－2 时，m2＝3，所以 m＝± 3．
经检验，所求直线方程为 x＝± 3y－2，
即 x± 3y＋2＝0．
5．已知椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的一个顶点是 B（0，2），离心率 e＝
5
5
，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，且△BMN 的重心恰好是椭圆的右焦点 F，求直线 l
的方程．
解析：（1）由 b＝2，e＝
5
5
，得 c2＝1，a2＝5，
所以椭圆的标准方程为
x2
5
＋
y2
4
＝1．
（2）设 P 为 MN 的中点，
由题意得BF→＝2FP→，B（0，2），F（1，0），
设 P（x，y），则
BF→＝（1，－2），FP→＝（x－1，y），
得
2（x－1）＝1，
2y＝－2，
所以
x＝
3
2
，
y＝－1，
所以 P
3
2
，－1
．
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
所以
x1＋x2
2
＝
3
2
，
y1＋y2
2
＝－1，
代入椭圆方程得
x2
1
5
＋
y2
1
4
＝1，
x2
2
5
＋
y2
2
4
＝1，
得 kMN＝
y1－y2
x1－x2
＝
6
5
，
所以直线 MN 的方程为 y＋1＝
6
5
x－
3
2 ，
即直线 l 的方程为 6x－5y－14＝0．
[C 组 创新应用练]
1．设双曲线
x2
4
－
y2
3
＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两
点，则|AF2|＋|BF2|的最小值为（ ）
A．13 B．12
C．11 D．10
解析：由题意得双曲线的实半轴长 a＝2，虚半轴长 b＝ 3．根据双曲线的定义得|AF2|－|AF1|
＝2a＝4，① |BF2|－|BF1|＝2a＝4，② ①＋②得|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋8＝|AB|＋
8．又|AB|min＝
2b2
a
＝3，所以|AF2|＋|BF2|的最小值为 11．
答案：C
2．如图，过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 P，Q 两点，以线段 PQ 为直径的
圆 M 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C，D 两点，则
|AB|2
|CD|2
的最小值为（ ）
A．
11
4
B．
5
2
C．
2 13－1
4
D．
13－1
2
解析：由题意知 F（1，0），设直线 l 的方程为 x＝my＋1，代入 y2＝4x，并消去 x，得 y2－
4my－4＝0，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，M（2m2＋1，2m），
圆 M 的半径 r＝
1
2
|PQ|＝
1
2
1＋m2|y1－y2|＝
1
2
1＋m2 16m2＋16＝2m2＋2．过 M 作 MG
⊥AB 于点 G，MH⊥CD 于点 H（图略），则|AB|2＝（2|AG|）2＝4（r2－|MG|2）＝4[（2m2
＋2）2－（2m）2]＝16（m4＋m2＋1），|CD|2＝（2|DH|）2＝4（r2－|MH|2）＝4[（2m2＋2）
2－（2m2＋1）2]＝4（4m2＋3）．令 4m2＋3＝t，则 t≥3，m2＝
t－3
4
，
|AB|2
|CD|2
＝4×
m4＋m2＋1
4m2＋3
＝4×
t－3
4
2
＋
t－3
4
＋1
t
＝
t2－2t＋13
4t
＝
1
4
t＋
13
t
－2
≥
1
2
（ 13－1），故当 t＝
13
t
，即 t＝ 13，
m2＝
13－3
4
时，
|AB|2
|CD|2
取得最小值
13－1
2
．
答案：D
3．（2021·嘉兴教学测试）如图，已知抛物线 C1：y2＝4x 和圆 C2：（x－1）2＋y2＝1，直线 l
经过 C1 的焦点 F，自上而下依次交 C1 和 C2 于 A，B，C，D 四点，则AB→ ·CD→ 的值为（ ）
A．
1
4
B．
1
2
C．1 D．2
解析：法一：因为直线 l 经过抛物线 C1 的焦点 F（1，0），所以可设 l：x＝my＋1．将直线方
程与抛物线方程联立，消元化简可得 y2－4my－4＝0，设 A（x1，y1），D（x2，y2），则 y1y2
＝－4．AB→ ·CD→ ＝|AB→ |·|CD→ |＝（x1＋1－1）（x2＋1－1）＝x1x2＝
y2
1
4
·
y2
2
4
＝
16
16
＝1．
法二：不妨考虑特殊情况，即 l⊥x 轴，则 A（1，2），B（1，1），C（1，－1），D（1，－2），
所以AB→ ＝（0，－1），CD→ ＝（0，－1），所以AB→ ·CD→ ＝1．
答案：C
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