2022届高考数学一轮复习第八章第六节抛物线课时作业理含解析北师大版

第六节 抛物线 授课提示：对应学生用书第 363 页 [A 组 基础保分练] 1．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知 A 为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）上一点，点 A 到点 C 的焦 点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p＝（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 解析：设 A（x，y），由抛物线的定义知，点 A 到准线的距离为 12，即 x＋ p 2 ＝12．又因为点 A 到 y 轴的距离为 9，即 x＝9， 所以 9＋ p 2 ＝12，解得 p＝6． 答案：C 2．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A．4 B．9 C．10 D．18 解析：抛物线 y2＝2px 的焦点为 p 2 ，0 ，准线方程为 x＝－ p 2 ．由题意可得 4＋ p 2 ＝9，解得 p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10． 答案：C 3．（2021·安阳模拟）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，l 与 x 轴的交 点为 P，点 A 在抛物线 C 上，过点 A 作 AA′⊥l，垂足为 A′．若四边形 AA′PF 的面积为 14， 且 cos∠FAA′＝ 3 5 ，则抛物线 C 的方程为（ ） A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：过点 F 作 FF′⊥AA′，垂足为 F′．设|AF′|＝3x，因为 cos∠FAA′＝ 3 5 ，故|AF|＝5x，则|FF′ |＝4x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故 x＝ p 2 ．四边形 AA′PF 的 面积 S＝ （|PF|＋|AA′|）·|FF′| 2 ＝ p＋ 5 2 p ·2p 2 ＝14，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 y2＝4x． 答案：C 4．过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于 （ ） A．4 B． 9 2 C．5 D．6 解析：易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 y＝k（x－1）．由 y＝k（x－1）， y2＝4x 得 k2x2 －（2k2＋4）x＋k2＝0，得 xA·xB＝1，① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得 xA＋1＝2（xB ＋1），即 xA＝2xB＋1，② 由①②解得 xA＝2，xB＝ 1 2 ，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝ 9 2 ． 答案：B 5．（2021·合肥检测）已知双曲线 y2 4 －x2＝1 的两条渐近线分别与抛物线 y2＝2px（p＞0）的 准线交于 A，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为 1，则 p 的值为（ ） A．1 B． 2 C．2 2 D．4 解析：双曲线的两条渐近线方程为 y＝±2x，抛物线的准线方程为 x＝－ p 2 ，故 A，B 两点的坐 标为 － p 2 ，±p ，|AB|＝2p，所以 S△OAB＝ 1 2 ×2p× p 2 ＝ p2 2 ＝1，解得 p＝ 2． 答案：B 6．（2021·广东六校联考）抛物线 y＝2x2 上有一动弦 AB，中点为 M，且弦 AB 的长为 3，则 点 M 的纵坐标的最小值为（ ） A． 11 8 B． 5 4 C． 3 2 D．1 解析：设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），直线 AB 的方程为 y＝kx＋b，由题意知 y0≥b＞0，联立得 y＝kx＋b， y＝2x2， 整理得 2x2－kx－b＝0，Δ＝k2＋8b＞0，x1＋x2＝ k 2 ，x1x2＝ － b 2 ，则|AB|＝ 1＋k2· k2 4 ＋2b，点 M 的纵坐标 y0＝ y1＋y2 2 ＝x2 1＋x2 2＝ k2 4 ＋b．因为弦 AB 的长为 3，所以 1＋k2· k2 4 ＋2b＝3，即（1＋k2） k2 4 ＋2b ＝9，故（1＋4y0－4b）（y0 ＋b）＝9，即（1＋4y0－4b）（4y0＋4b）＝36．由基本不等式得，（1＋4y0－4b）＋（4y0 ＋4b）≥2 （1＋4y0－4b）（4y0＋4b）＝12，当且仅当 b＝ 1 8 ， y0＝ 11 8 时取等号，得 1＋8y0≥12， y0≥ 11 8 ，故点 M 的纵坐标的最小值为 11 8 ． 答案：A 7．已知顶点在坐标原点的抛物线的焦点坐标为（0，－2），则此抛物线的标准方程为_________． 解析：依题意可设抛物线的方程为 x2＝－2py（p＞0），因为焦点坐标为（0，－2），所以－ p 2 ＝－2，解得 p＝4．故所求的抛物线的标准方程为 x2＝－8y． 答案：x2＝－8y 8．直线 l 过抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点 F（1，0），且与 C 交于 A，B 两点，则 p ＝ ， 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝_________． 解析：由 p 2 ＝1，得 p＝2．当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝1，代入 y2＝4x，得 y＝±2，此 时|AF|＝|BF|＝2，所以 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝ 1 2 ＋ 1 2 ＝1；当直线 l 的斜率存在时，设 l：y＝k（x－1）（k ≠0），代入抛物线方程，得 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1x2 ＝1， 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝ |AF|＋|BF| |AF|·|BF| ＝ x1＋x2＋2 （x1＋1）（x2＋1） ＝ x1＋x2＋2 x1x2＋x1＋x2＋1 ＝ x1＋x2＋2 1＋x1＋x2＋1 ＝1．综 上， 1 |AF| ＋ 1 |BF| ＝1． 答案：2 1 9．已知抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的 点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M． （1）求抛物线的方程； （2）若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标． 解析：（1）抛物线 y2＝2px 的准线为 x＝－ p 2 ，于是 4＋ p 2 ＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为 y2＝ 4x． （2）∵点 A 的坐标是（4，4），由题意得 B（0，4），M（0，2）． 又∵F（1，0），∴kFA＝ 4 3 ． ∵MN⊥FA，∴kMN＝－ 3 4 ． 又 FA 的方程为 y＝ 4 3 （x－1）， 故 MN 的方程为 y－2＝－ 3 4 x， 解方程组得 x＝ 8 5 ，y＝ 4 5 ，∴N 的坐标为 8 5 ， 4 5 ． 10．（2021·襄阳联考）动点 P 到定点 F（0，1）的距离比它到直线 y＝－2 的距离小 1．设动 点 P 的轨迹为曲线 C，过点 F 的直线交曲线 C 于 A，B 两个不同的点，过点 A，B 分别作曲线 C 的切线，且两切线相交于点 M． （1）求曲线 C 的方程； （2）求证：AB→ ·MF→ ＝0． 解析：（1）由已知得动点 P 在直线 y＝－2 的上方，条件可转化为动点 P 到定点 F（0，1）的 距离等于它到直线 y＝－1 的距离，∴动点 P 的轨迹是以 F（0，1）为焦点，直线 y＝－1 为 准线的抛物线，故其方程为 x2＝4y． （2）证明：设直线 AB 的方程为 y＝kx＋1． 则 x2＝4y， y＝kx＋1， 得 x2－4kx－4＝0． 设 A（xA，yA），B（xB，yB），则 xA＋xB＝4k，xAxB＝－4． 由 x2＝4y 得 y＝ 1 4 x2，∴y′＝ 1 2 x． ∴直线 AM 的方程为 y－ 1 4 x2 A＝ 1 2 xA（x－xA），① 直线 BM 的方程为 y－ 1 4 x2 B＝ 1 2 xB（x－xB）．② ①－②，得 1 4 （x2 B－x2 A）＝ 1 2 （xA－xB）x＋ 1 2 （x2 B－x2 A）， ∴x＝ xA＋xB 2 ＝2k．将 x＝ xA＋xB 2 代入①，得 y－ 1 4 x2 A＝ 1 2 xA xB－xA 2 ＝ 1 4 xAxB－ 1 4 x2 A， ∴y＝ 1 4 xAxB＝－1，∴M（2k，－1）． ∵MF→ ＝（－2k，2），AB→ ＝（xB－xA，k（xB－xA））， ∴AB→ ·MF→ ＝－2k（xB－xA）＋2k（xB－xA）＝0． [B 组 能力提升练] 1．若抛物线 y2＝2px（p＞0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6，则抛 物线的方程为（ ） A．y2＝4x B．y2＝36x C．y2＝4x 或 y2＝36x D．y2＝8x 或 y2＝32x 解析：因为抛物线 y2＝2px（p＞0）上一点到抛物线对称轴的距离为 6，所以可设该点为 P（x0， ±6）．因为 P 到抛物线焦点 F p 2 ，0 的距离为 10，所以根据抛物线的定义得 x0＋ p 2 ＝10．① 因为 P 在抛物线上，所以 36＝2px0．② 由①②解得 p＝2，x0＝9 或 p＝18，x0＝1，所以 抛物线的方程为 y2＝4x 或 y2＝36x． 答案：C 2．（2021·武汉模拟）已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，点 A（5，3），M 为抛物线上一点，且 M 不在直线 AF 上，则△MAF 周长的最小值为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 解析：由题意知，当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF 的周长最小．设点 M 在抛物线的准线上 的射影为 D，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值即|MA|＋|MD| 的最小值．根据平面几何的知识可得，当 D，M，A 三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值 为 xA－（－1）＝5＋1＝6．又|FA|＝ （5－1）2＋（3－0）2＝5，所以△MAF 周长的最小值 为 6＋5＝11． 答案：B 3．（2021·河北六校模拟）抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，点 O 是坐标原点，过点 O，F 的圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆的面积为 36π，则抛物线的方程为_________． 解析：设满足题意的圆的圆心为 M． 根据题意可知圆心 M 在抛物线上． 又∵圆的面积为 36π， ∴圆的半径为 6，则|MF|＝xM＋ p 2 ＝6，则 xM＝6－ p 2 ． 又由题意可知 xM＝ p 4 ，∴ p 4 ＝6－ p 2 ，解得 p＝8． ∴抛物线方程为 y2＝16x． 答案：y2＝16x 4．（2021·成都摸底）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l．若位于 x 轴上 方的动点 A 在准线 l 上，线段 AF 与抛物线 C 相交于点 B，且 |AF| |BF| －|AF|＝1，则抛物线 C 的 标准方程为_________． 解析：如图，设直线 l 与 x 轴交于点 D，过点 B 作 BE⊥l 于点 E，则|DF|＝p．由抛物线的定 义知|BE|＝|BF|．设|BE|＝|BF|＝m，因为△AEB∽△ADF，所以 |AF| |AB| ＝ |DF| |BE| ，即 |AF| |AF|－|BF| ＝ |DF| |BF| ， 所以 |AF| |AF|－m ＝ p m ，所以|AF|＝ pm p－m ． 由 |AF| |BF| －|AF|＝1，得 pm p－m m － pm p－m ＝1，解得 p＝1，所以抛物线 C 的标准方程为 y2＝2x． 答案：y2＝2x 5．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点为 F，点 A 在抛物线 C 上， 若|AO|＝|AF|＝ 3 2 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 l 与抛物线 C 交于 P，Q 两点，若线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，求△OPQ 的面 积的最大值． 解析：（1）因为点 A 在 C 上，|AO|＝|AF|＝ 3 2 ，所以点 A 的纵坐标为 p 4 ，所以 p 4 ＋ p 2 ＝ 3 2 ，所以 p＝2，所以抛物线 C 的方程为 x2＝4y． （2）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b（b≥0），代入抛物线方程， 可得 x2－4kx－4b＝0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以 y1 ＋y2＝4k2＋2b，因为线段 PQ 的中点的纵坐标为 1，所以 2k2＋b＝1，即 2k2＝1－b≥0，所 以 0＜b≤1，S△OPQ＝ 1 2 b|x1－x2|＝ 1 2 b （x1＋x2）2－4x1x2＝ 1 2 b 16k2＋16b＝b 2＋2b＝ 2 b3＋b2（0＜b≤1）．设 y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，函数单调递增，所以当 b＝1 时， △OPQ 的面积取最大值为 2． 6．已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）和定点 M（0，1），设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A， B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N． （1）若 N 在以 AB 为直径的圆上，求 p 的值； （2）若△ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程． 解析：设直线 AB：y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的 方程得 x2－2pkx－2p＝0，则 x1＋x2＝2pk①，x1x2＝－2p②． （1）由 x2＝2py 得 y′＝ x p ，则 A，B 处的切线斜率的乘积为 x1x2 p2 ＝－ 2 p ，因为点 N 在以 AB 为 直径的圆上，所以 AN⊥BN，所以－ 2 p ＝－1，所以 p＝2． （2）易得直线 AN：y－y1＝ x1 p （x－x1），直线 BN：y－y2＝ x2 p （x－x2）， 联立，得 y－y1＝ x1 p （x－x1）， y－y2＝ x2 p （x－x2）， 结 合 ① ② 式 ， 解 得 x＝pk， y＝－1， 即 N （ pk ， － 1 ）． |AB| ＝ 1＋k2 |x2 － x1| ＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k2 4p2k2＋8p ， 点 N 到 直 线 AB 的 距 离 d ＝ |kxN＋1－yN| 1＋k2 ＝ |pk2＋2| 1＋k2 ，则△ABN 的面积 S△ABN＝ 1 2 ·|AB|·d＝ p（pk2＋2）3≥2 2p，当 k ＝0 时，取等号．因为△ABN 的面积的最小值为 4，所以 2 2p＝4，所以 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝4y． [C 组 创新应用练] 1．（2021·兰州模拟）设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，过点 M（4，0）的直线与抛物线相交于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|＝4，则△BCF 与△ACF 的面积之比 S△BCF S△ACF ＝（ ） A． 3 4 B． 4 5 C． 5 6 D． 2 5 解析：由抛物线方程 y2＝8x，得焦点 F 的坐标为（2，0），准线方程为 x＝－2．如图，过点 A，B 分别作准线的垂线，垂足分别为 E，N．设直线 AB 的方程为 y＝k（x－4）（k≠0），则 由 y＝k（x－4）， y2＝8x， 消去 y 并整理得 k2x2－（8k2＋8）x＋16k2＝0．设 A（x1，y1），B（x2， y2），则 x1x2＝16．由抛物线的定义知|BF|＝|BN|＝x2＋2＝4，所以 x2＝2，所以 x1＝8，所以 |AE|＝x1＋2＝10．因为 BN∥AE，所以 S△BCF S△ACF ＝ |BC| |AC| ＝ |BN| |AE| ＝ 4 10 ＝ 2 5 ． 答案：D 2．已知抛物线 x＝ 1 8 y2 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A 在第一象限）， 抛物线的准线交 x 轴于点 K，则 |AF| |AK| 最小时，直线 AK 的斜率为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 2 解析：x＝ 1 8 y2 可化为 y2＝8x．如图，过 A 作准线的垂线，垂足为 A1．因为|AF|＝|AA1|，所 以 |AF| |AK| ＝ |AA1| |AK| ＝sin∠AKA1．若 |AF| |AK| 最小，则 sin∠AKA1 最小，即∠AKA1 最小．数形结合可得， 直线 AK 与抛物线 y2＝8x 相切时，∠AKA1 最小．设直线 AK 的方程为 y＝k（x＋2），且 k＞0， 与 y2＝8x 联立，得 y＝k（x＋2）， y2＝8x， 消去 x，得 ky2－8y＋16k＝0，由Δ＝64－64k2＝0，得 k ＝1． 答案：A