第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
授课提示：对应学生用书第 359 页
[A 组 基础保分练]
1．（2021·江西上饶模拟）直线 ax－by＝0 与圆 x2＋y2－ax＋by＝0 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
解析：将圆的方程化为标准方程得
x－
a
2
2
＋
y＋
b
2
2
＝
a2＋b2
4
，所以圆心坐标为
a
2
，－
b
2 ，
半径 r＝
a2＋b2
2
．因为圆心到直线 ax－by＝0 的距离 d＝
|a2
2
＋
b2
2 |
a2＋b2
＝
a2＋b2
2
＝r，所以
直线与圆相切．
答案：B
2．（2021·长春质检）圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公共弦所在直线和两坐标
轴所围成图形的面积为（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由（x2＋y2－4）－（x2＋y2－4x＋4y－12）＝0 得公共弦所在直线的方程为 x－y＋2
＝0，它与两坐标轴分别交于（－2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为
1
2
×2×2＝2．
答案：B
3．（2021·湖南十四校二联）已知直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点（O
为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数 a 的值为（ ）
A． 6或－ 6 B． 5或－ 5
C． 6 D． 5
解析：因为直线 x－2y＋a＝0 与圆 O：x2＋y2＝2 相交于 A，B 两点（O 为坐标原点），且△
AOB 为等腰直角三角形，所以 O 到直线 AB 的距离为 1，由点到直线的距离公式可得
|a|
12＋（－2）2
＝1，所以 a＝± 5．
答案：B
4．（2021·洛阳市第一次统考）直线 l：y＝kx＋1 与圆 O：x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则
“k＝1”是“|AB|＝ 2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：依题意，注意到|AB|＝ 2＝|OA|2＋|OB|2 等价于圆心 O 到直线 l 的距离等于
2
2
，即有
1
k2＋1
＝
2
2
，k＝±1．因此，“k＝1”是“|AB|＝ 2”的充分不必要条件．
答案：A
5．（2021·衡水一中模考）圆 C1：（x＋1）2＋（y－2）2＝4 与圆 C2：（x－3）2＋（y－2）2
＝4 的公切线的条数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：圆 C1：（x＋1）2＋（y－2）2＝4 的圆心为（－1，2），半径为 2，圆 C2：（x－3）2＋
（y－2）2＝4 的圆心为（3，2），半径为 2，两圆的圆心距|C1C2|＝ （－1－3）2＋（2－2）2
＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为 3．
答案：C
6．（2021·武汉调研）已知直线 l：x＋y－5＝0 与圆 C：（x－2）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）相
交所得的弦长为 2 2，则圆 C 的半径 r＝（ ）
A． 2 B．2
C．2 2 D．4
解析：法一：依题意，得圆 C 的圆心坐标为（2，1），圆心到直线 l 的距离 d＝
|2＋1－5|
1＋1
＝ 2，
因为弦长为 2 2，所以 2 r2－d2＝2 2，所以 r＝2．
法二：联立得
x＋y－5＝0，
（x－2）2＋（y－1）2＝r2，
整理得 2x2－12x＋20－r2＝0，设直线 l 与圆 C
的两交点分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），所以 x1＋x2＝6，x1x2＝
20－r2
2
，所以|AB|＝ 1＋k2|x1
－x2|＝ 2 （x1＋x2）2－4x1x2＝2 2，所以 r＝2．
答案：B
7．（2021·广东天河模拟）已知圆 C 的方程为 x2－2x＋y2＝0，直线 l：kx－y＋2－2k＝0 与
圆 C 交于 A，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线 l 的斜率 k＝_________．
解析：由 x2－2x＋y2＝0，得（x－1）2＋y2＝1，则圆的半径 r＝1，圆心 C（1，0），
直线 l：kx－y＋2－2k＝0 与圆 C 交于 A，B 两点，
当 CA 与 CB 垂直时，△ABC 面积最大，
此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心 C 到直线 AB 的距离 d＝
2
2
，
则有
|2－k|
1＋k2
＝
2
2
，解得 k＝1 或 7．
答案：1 或 7
8．（2021·珠海六校联考）已知直线 y＝ax 与圆 C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0 相交于 A，B 两
点，且△ABC 为等边三角形，则圆 C 的面积为_________．
解析：圆 C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0 可化为（x－a）2＋（y－1）2＝a2－1，因为直线 y＝
ax 和圆 C 相交，△ABC 为等边三角形，所以圆心 C 到直线 ax－y＝0 的距离为
3
2
· a2－1，
即 d＝
|a2－1|
a2＋1
＝
3（a2－1）
2
，解得 a2＝7，所以圆 C 的面积为 6π．
答案：6π
9．已知圆 M 过 C（1，－1），D（－1，1）两点，且圆心 M 在直线 x＋y－2＝0 上．
（1）求圆 M 的方程；
（2）设 P 是直线 3x＋4y＋8＝0 上的动点，PA，PB 是圆 M 的两条切线，A，B 为切点，求
四边形 PAMB 面积的最小值．
解析：（1）设圆 M 的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
根据题意得
（1－a）2＋（－1－b）2＝r2，
（－1－a）2＋（1－b）2＝r2，
a＋b－2＝0，
解得 a＝b＝1，r＝2，
故所求圆 M 的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4．
（2）由题意知，四边形 PAMB 的面积为 S＝S△PAM＋S△PBM＝
1
2
（|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|）．
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以 S＝2|PA|，而|PA|2＝|PM|2－|AM|2＝|PM|2－4，
所以 S＝2 |PM|2－4．因此要求 S 的最小值，只需求|PM|的最小值，即在直线 3x＋4y＋8＝
0 上找一点 P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为
2 |PM|2－4＝2 5．
10．已知圆 O：x2＋y2＝r2（r＞0）与直线 3x－4y＋15＝0 相切．
（1）若直线 l：y＝－2x＋5 与圆 O 交于 M，N 两点，求|MN|；
（2）设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A，过点 A 作两条斜率分别为 k1，k2 的直线交圆 O 于
B，C 两点，且 k1k2＝－3，试证明直线 BC 恒过一点，并求出该点的坐标．
解析：（1）由题意知，圆心 O 到直线 3x－4y＋15＝0 的距离 d＝
15
9＋16
＝3＝r，所以圆 O：
x2＋y2＝9．
又圆心 O 到直线 l：y＝－2x＋5 的距离 d1＝
5
4＋1
＝ 5，
所以|MN|＝2 9－d2
1＝4．
（2）证明：易知 A（－3，0），设 B（x1，y1），C（x2，y2），则直线 AB：y＝k1（x＋3），
由
y＝k1（x＋3），
x2＋y2＝9，
得（k2
1＋1）x2＋6k2
1x＋9k2
1－9＝0，
所以－3x1＝
9k2
1－9
k2
1＋1
，即 x1＝
－3k2
1＋3
k2
1＋1
，
所以 y1＝k1（x1＋3）＝
6k1
k2
1＋1
，
所以 B
3－3k2
1
k2
1＋1
，
6k1
k2
1＋1 ．
同理 C
3－3k2
2
k2
2＋1
，
6k2
k2
2＋1 ．
由 k1k2＝－3 得 k2＝－
3
k1
，将－
3
k1
代替 k2，
可得 C
3k2
1－27
k2
1＋9
，
－18k1
k2
1＋9 ．
当
3－3k2
1
k2
1＋1
≠
3k2
1－27
k2
1＋9
，
即 k1≠± 3时，
kBC＝
6k1
k2
1＋1
＋
18k1
k2
1＋9
3－3k2
1
k2
1＋1
－
3k2
1－27
k2
1＋9
＝
4k1
3－k2
1
，k1≠± 3．
从而直线 BC：y－
6k1
k2
1＋1
＝
4k1
3－k2
1
x－
3－3k2
1
k2
1＋1 ．
即 y＝
4k1
3－k2
1
x－
3－3k2
1
k2
1＋1
＋
9－3k2
1
2（k2
1＋1） ，
化简得 y＝
4k1
3－k2
1
x＋
3
2 ．
所以直线 BC 恒过一点，该点为
－
3
2
，0
．
当 k1＝± 3时，k2＝∓ 3，此时 xB＝－
3
2
＝xC，
所以直线 BC 的方程为 x＝－
3
2
，过点
－
3
2
，0
．
综上，直线 BC 恒过定点
－
3
2
，0
．
[B 组 能力提升练]
1．（2021·安徽马鞍山模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：（x－3）2＋（y－a）2＝4
上存在两点 A，B 满足：∠AOB＝60°，则实数 a 的最大值是（ ）
A．5 B．3
C． 7 D．2 3
解析：根据题意，圆 C 的圆心为（3，a），在直线 x＝3 上，
分析可得：当圆心距离 x 轴的距离越远，∠AOB 越小，
如图，当 a>0 时，圆心 C 在 x 轴上方，若 OA，OB 为圆的切线且∠AOB＝60°，此时 a 取得
最大值，
此时∠AOC＝30°，
有|OC|＝2|AC|＝4，即（3－0）2＋（a－0）2＝16，
解得 a＝ 7，故实数 a 的最大值是 7．
答案：C
2．（2021·安徽合肥模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 经过点（0，1），（0，3），且与 x
轴正半轴相切，若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 y＝kx（k>0）关于 y 轴对称，则
k 的最小值为（ ）
A．
2 3
3
B． 3
C．2 3 D．4 3
解析：如图，
因为圆 C 经过点（0，1），（0，3），且与 x 轴正半轴相切，
所以圆心的纵坐标为 2，半径为 2，则圆心的横坐标为 22－12＝ 3，
所以圆心坐标为（ 3，2），设过原点与圆相切的直线方程为 y＝k1x，
由圆心到直线的距离等于半径，得
| 3k1－2|
k2
1＋1
＝2，解得 k1＝0（舍去）或 k1＝－4 3．
所以若圆 C 上存在点 M，使得直线 OM 与直线 y＝kx（k>0）关于 y 轴对称，则 k 的最小值
为 4 3．
答案：D
3．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线 l：2x＋y＋2＝0，P 为 l
上的动点．过点 P 作⊙M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线 AB 的方
程为（ ）
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析：⊙M：（x－1）2＋（y－1）2＝4，
则圆心 M（1，1），⊙M 的半径为 2．
如图，由题意可知 PM⊥AB，
∴S 四边形 PAMB＝
1
2
|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4 |PM|2－4．
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时 PM⊥l．
故直线 PM 的方程为 y－1＝
1
2
（x－1），即 x－2y＋1＝0．
由
x－2y＋1＝0，
2x＋y＋2＝0，
得
x＝－1，
y＝0，
∴P（－1，0）．
又∵PA 与⊙M 相切，∴直线 PA 的方程为 x＝－1（∵在⊙M 中，－1≤x≤1），
∴PA⊥x 轴，PA⊥MA，∴A（－1，1）．
又直线 AB 与 l 平行，
设直线 AB 的方程为 2x＋y＋m＝0，
将 A（－1，1）的坐标代入 2x＋y＋m＝0，得 m＝1．
∴直线 AB 的方程为 2x＋y＋1＝0．
答案：D
4．已知圆的方程为 x2＋（y－1）2＝4，圆心为 C，若过点 P
1，
1
2 的直线 l 与此圆交于 A，
B 两点，则当∠ACB 最小时，直线 l 的方程为（ ）
A．4x－2y－3＝0 B．x＋2y－2＝0
C．4x＋2y－3＝0 D．x－2y＋2＝0
解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB|最小时，∠ACB 最小，此时直线 AB 与 PC 垂直，kl
＝
－1
1－
1
2
0－1
＝2，所以直线 l 的方程为 y－
1
2
＝2（x－1），即 4x－2y－3＝0．
答案：A
5．已知直线 l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴．过点 A（－
4，a）作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|＝_________．
解析：由于直线 x＋ay－1＝0 是圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0 的对称轴，所以圆心 C（2，1）
在直线 x＋ay－1＝0 上，所以 2＋a－1＝0，所以 a＝－1，所以 A（－4，－1）．所以|AC|2
＝36＋4＝40．又 r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36．所以|AB|＝6．
答案：6
6．（2021·江苏检测）已知圆 C1：（x－1）2＋（y＋1）2＝1，圆 C2：（x－4）2＋（y
－5）2＝9，点 M，N 分别是圆 C1，圆 C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PN|－|PM|的最
大值是_________．
解析：圆 C1：（x－1）2＋（y＋1）2＝1 的圆心为 C1（1，－1），半径为 1，圆 C2：（x－4）2
＋（y－5）2＝9 的圆心为 C2（4，5），半径为 3．要使|PN|－|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|
最小，|PN|的最大值为|PC2|＋3，|PM|的最小值为|PC1|－1，故|PN|－|PM|的最大值是（|PC2|
＋3）－（|PC1|－1）＝|PC2|－|PC1|＋4，设 C2（4，5）关于 x 轴的对称点为 C′2（4，－5），
|PC2|－|PC1|＝|PC′2|－|PC1|≤|C1C′2|＝ （4－1）2＋（－5＋1）2＝5，故|PC2|－|PC1|＋4 的
最大值为 5＋4＝9，即|PN|－|PM|的最大值是 9．
答案：9
7．已知圆 O：x2＋y2＝9 及点 C（2，1）．
（1）若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A，B 两点，试判断四边形 OACB 的形状，并给出
证明；
（2）过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．
解析：（1）四边形 OACB 为菱形，证明如下：
易得 OC 的中点为
1，
1
2 ，设 A（x1，y1），B（x2，y2），
易得 OC 的垂直平分线的方程为 y＝－2x＋
5
2
，代入 x2＋y2＝9，得 5x2－10x－
11
4
＝0，
∴
x1＋x2
2
＝1，
y1＋y2
2
＝－2×1＋
5
2
＝
1
2
，∴AB 的中点为
1，
1
2 ，则四边形 OACB 为平行四边形，
又 OC⊥AB，∴四边形 OACB 为菱形．
（2）当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x＝2，则 P，Q 的坐标为（2， 5），（2，－ 5），
∴S△OPQ＝
1
2
×2×2 5＝2 5．
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y－1＝k（x－2）
k≠
1
2 ，
即 kx－y＋1－2k＝0
k≠
1
2 ，
则圆心 O 到直线 l 的距离 d＝
|1－2k|
k2＋1
．
由平面几何知识得|PQ|＝2 9－d2，
∴S△OPQ＝
1
2
×|PQ|×d＝
1
2
×2 9－d2×d＝ （9－d2）d2≤
9－d2＋d2
2
2
＝
9
2
．
当且仅当 9－d2＝d2，即 d2＝
9
2
时，S△OPQ 取得最大值为
9
2
．
∵2 5＜
9
2
，∴S△OPQ 的最大值为
9
2
，此时，令
4k2－4k＋1
k2＋1
＝
9
2
，解得 k＝－7 或 k＝－1．
故直线 l 的方程为 x＋y－3＝0 或 7x＋y－15＝0．
[C 组 创新应用练]
1．已知直线 l：x＋y－1＝0 截圆Ω：x2＋y2＝r2（r＞0）所得的弦长为 14，点 M，N 在圆
Ω上，且直线 l′：（1＋2m）x＋（m－1）y－3m＝0 过定点 P，若 PM⊥PN，则|MN|的取值
范围为（ ）
A．[2－ 2，2＋ 3 ] B．[2－ 2，2＋ 2 ]
C．[ 6－ 2， 6＋ 3 ] D．[ 6－ 2， 6＋ 2 ]
解析：由题意，2 r2－
1
2
＝ 14，解得 r＝2，因为直线 l′：（1＋2m）x＋（m－1）y－3m
＝0 过定点 P，故 P（1，1），设 MN 的中点为 Q（x，y），则 OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，
即 4＝x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2，化简可得
x－
1
2
2
＋
y－
1
2
2
＝
3
2
，所以点 Q 的轨迹是
以
1
2
，
1
2 为圆心，
6
2
为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为
6－ 2
2
，
6＋ 2
2 ，|MN|的取
值范围为[ 6－ 2， 6＋ 2]．
答案：D
2．已知从圆 C：（x＋1）2＋（y－2）2＝2 外一点 P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为 M，
且有|PM|＝|PO|（O 为坐标原点），则当|PM|取得最小值时点 P 的坐标为_________．
解析：如图所示，圆 C 的圆心为 C（－1，2），半径 r＝ 2，因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋
r2＝|PC|2，所以 x2
1＋y2
1＋2＝（x1＋1）2＋（y1－2）2，即 2x1－4y1＋3＝0．要使|PM|最小，
只要|PO|最小即可．当直线 PO 垂直于直线 2x－4y＋3＝0，即直线 PO 的方程为 2x＋y＝0
时，|PM|最小，此时点 P 即为两直线的交点，由
2x－4y＋3＝0，
2x＋y＝0，
得
x＝－
3
10
，
y＝
3
5
，
故当|PM|取
得最小值时，点 P 的坐标为
－
3
10
，
3
5 ．
答案：
－
3
10
，
3
5
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