2022届高考数学一轮复习第二章第六节对数与对数函数课时作业理含解析北师大版

第六节 对数与对数函数 授课提示：对应学生用书第 281 页 [A 组 基础保分练] 1.（2020·高考全国卷Ⅰ）设 alog34＝2，则 4－a＝（ ） A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 解析：法一：因为 alog34＝2，所以 log34a＝2，所以 4a＝32＝9， 所以 4－a＝ 1 4a ＝ 1 9 . 法 二 ： 因 为 alog34 ＝ 2 ， 所 以 a ＝ 2 log34 ＝ 2log43 ＝ log432 ＝ log49 ， 所 以 4 － a ＝ ＝9－1＝ 1 9 . 答案：B y＝ log3（2x－1）＋1的定义域是（ ） A.[1，2] B.[1，2） C. 2 3 ，＋∞ D. 2 3 ，＋∞ 解析：由 log3（2x－1）＋1≥0， 2x－1＞0， 即 log3（2x－1）≥log3 1 3 ， x＞ 1 2 ， 解得 x≥ 2 3 . 答案：C 3.（2021·吕梁模拟）已知 a＝log35，b，c＝ln 2，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A.c＜a＜b B.c＜b＜a C.a＜c＜b D.a＜b＜c 解析：1＜a＝log35＝ 1 2 log325＜ 1 2 log327＝1.5，b＞1.5，c＝ln 2＜1，所以 c＜a＜b. 答案：A x∈ 1 2 ，1 ，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，那么（ ） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析：由于 1 2 ＜x＜1，故 x＞x2，故 ln x＞ln x2＝2ln x，所以 a＞b.c－a＝ln3x－ln x＝ln x（ln2x －1），由于 ln x＜0，|ln x|＜ln 2＜1，ln2x－1＜0，所以 ln x（ln2x－1）＞0，故 c＞a. 答案：C 5.若定义在区间（－1，0）内的函数 f（x）＝log2a（x＋1）满足 f（x）＞0，则实数 a 的取 值范围是（ ） A. 0， 1 2 B. 0， 1 2 C. 1 2 ，＋∞ D.（0，＋∞） 解析：因为－1＜x＜0，所以 0＜xf（x）＞0，所以 0＜2a＜1，所以 0＜a＜ 1 2 . 答案：A 6.（2021·西安模拟）设方程 10x＝|lg（－x）|的两个根分别为 x1，x2，则（ ） A.x1x2＜0 B.x1x2＝0 C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1 解析：作出 y＝10x 与 y＝|lg（－x）|的大致图像，如图所示. 显然 x1＜0，x2＜0. 不妨令 x1＜x2， 则 x1＜－1＜x2＜0， 所以 10x1＝lg（－x1），10x2＝－lg（－x2）， 此时 10x1＜10x2，即 lg（－x1）＜－lg（－x2）， 由此得 lg（x1x2）＜0，所以 0＜x1x2＜1. 答案：D x＝72y＝A，且 1 x ＋ 1 y ＝2，则 A 的值是__________. 解析：由 2x＝72y＝A 得 x＝log2A，y＝ 1 2 log7A，则 1 x ＋ 1 y ＝ 1 log2A ＋ 2 log7A ＝logA2＋2logA7＝ logA98＝2，A2＝98. 又 A＞0，故 A＝ 98＝7 2. 答案：7 2 f（x）＝log（x2－ax＋3a）在[2，＋∞）上单调递减，则 a 的取值范围为__________. 解析：令 g（x）＝x2－ax＋3a， 因为 f（x）＝log（x2－ax＋3a）在[2，＋∞）上单调递减， 所以函数 g（x）在区间[2，＋∞）内单调递增，且恒大于 0， 所以 1 2 a≤2 且 g（2）＞0， 所以 a≤4 且 4＋a＞0，所以－4＜a≤4. 答案：（－4，4] f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且 a≠1），且 f（1）＝2. （1）求 a 的值及 f（x）的定义域； （2）求 f（x）在区间 0， 3 2 上的最大值. 解析：（1）因为 f（1）＝2，所以 loga4＝2（a＞0，且 a≠1），所以 a＝2. 由 1＋x＞0， 3－x＞0， 得－1＜x＜3， 所以函数 f（x）的定义域为（－1，3）. （2）f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x） ＝log2[（1＋x）（3－x）]＝log2[－（x－1）2＋4]， 所以当 x∈（－1，1]时，f（x）是增函数； 当 x∈（1，3）时，f（x）是减函数， 故函数 f（x）在 0， 3 2 上的最大值是 f（1）＝log24＝2. f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）. （1）若 f（1）＝1，求 f（x）的单调区间； （2）是否存在实数 a，使 f（x）的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）∵f（1）＝1，∴log4（a＋5）＝1，得 a＝－1， 故 f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）. 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数定义域为（－1，3）. 令 g（x）＝－x2＋2x＋3， 则 g（x）在（－1，1）上递增，在（1，3）上递减， 又 y＝log4x 在（0，＋∞）上递增， 所以 f（x）的单调递增区间是（－1，1），递减区间是（1，3）. （2）假设存在实数 a 使 f（x）的最小值为 0， 则 h（x）＝ax2＋2x＋3 应有最小值 1， 因此 a＞0， 3a－1 a ＝1，解得 a＝ 1 2 . 故存在实数 a＝ 1 2 使 f（x）的最小值为 0. [B 组 能力提升练] f（x）＝|loga（x＋1）|（a＞0，且 a≠1）的图像大致是（ ） 解析：函数 f（x）＝|loga（x＋1）|的定义域为{x|x＞－1}，且对任意的 x，均有 f（x）≥0， 结合对数函数的图像可知选 C. 答案：C y＝logax 与 y＝－x＋a 在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） 解析：当 a＞1 时，函数 y＝logax 的图像为选项 B，D 中过点（1，0）的曲线，此时函数 y ＝－x＋a 的图像与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 a＞1，选项 B，D 中的图像都不符合要求； 当 0＜a＜1 时，函数 y＝logax 的图像为选项 A，C 中过点（1，0）的曲线，此时函数 y＝－x ＋a 的图像与 y 轴的交点的纵坐标 a 应满足 0＜a＜1，选项 A 中的图像符合要求. 答案：A f（x）＝|ln x|.若 0＜a＜b，且 f（a）＝f（b），则 a＋4b 的取值范围是（ ） A.（4，＋∞） B.[4，＋∞） C.（5，＋∞） D.[5，＋∞） 解析：由 f（a）＝f（b）得|ln a|＝|ln b|，根据函数 y＝|ln x|的图像及 0＜a＜b，得－ln a＝ ln b，0＜a＜1＜b， 1 a ＝b.令 g（b）＝a＋4b＝4b＋ 1 b ，易得 g（b）在（1，＋∞）上单调递 增，所以 g（b）＞g（1）＝5，即 a＋4b＞5. 答案：C 2x＝log3y＝log5z＜－1，则（ ） x＜3y＜5z z＜3y＜2x y＜2x＜5z z＜2x＜3y 解析：设 log2x＝log3y＝log5z＝t，则 t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此 2x＝2t＋1，3y＝ 3t＋1，5z＝5t＋1.又 t＜－1，所以 t＋1＜0，由幂函数 y＝xt＋1 的单调性可知 5z＜3y＜2x. 答案：B 5.（2020·高考全国卷Ⅲ）已知 55＜84，134＜85.设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则 （ ） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解 析 ： ∵ log53 － log85 ＝ log53 － 1 log58 ＝ log53·log58－1 log58 ＜ log53＋log58 2 2 －1 log58 ＝ log524 2 2 －1 log58 ＜ log525 2 2 －1 log58 ＝0， ∴log53＜log85.∵55＜84，134＜85，∴5log85＜4，4＜5log138，∴log85＜log138，∴log53 ＜log85＜log138，即 a＜b＜c. 答案：A 6.（2021·黄石模拟）已知 x1＝log 1 3 2，x2＝2 ，x3 满足 1 3 x3 ＝log3x3，则（ ） A.x1＜x2＜x3 B.x1＜x3＜x2 C.x2＜x1＜x3 D.x3＜x1＜x2 解析： 由题意可知 x3 是函数 y1＝ 1 3 x 与 y2＝log3x 的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出 函数 y1＝ 1 3 x 与 y2＝log3x 的图像，如图所示，由图像可知 x3＞1，而 x1＝log 1 3 2＜0，0＜x2 ＝2 ＜1，所以 x3＞x2＞x1. 答案：A 数 f（x）＝ |log3x|，0＜x＜3， 1 3 x2－ 10 3 x＋8，x≥3，若存在实数 a，b，c，d，满足 f（a）＝f（b）＝f（c）＝ f（d），其中 d＞c＞b＞a＞0，则 abcd 的取值范围__________. 解析：由题意可得－log3a＝log3b＝ 1 3 c2－ 10 3 c＋8＝ 1 3 d2－ 10 3 d＋8， 可得 log3（ab）＝0，故 ab＝1. 结合函数 f（x）的图像，在区间[3，＋∞）上， 令 f（x）＝1 可得 c＝3，d＝7，cd＝21. 令 f（x）＝0 可得 c＝4，d＝6，cd＝24. 故有 21＜abcd＜24. 答案：（21，24） [C 组 创新应用练] 1.（2020·新高考全国卷）基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本 再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺 炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝ert 描述累计感染病例数 I（t）随时间 t（单位： 天）的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出 R0 ＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为（ln 2≈0.69）（ ） A.1.2 天 C.2.5 天 解析：由 R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6， 得 r＝ R0－1 T ＝ 3.28－1 6 ＝0.38. 由题意，累计感染病倒数增加 1 倍，则 I（t2）＝2I（t1）， t2t1，所以 e0.38（t2－t1）＝2，即 0.38（t2－t1）＝ln 2，∴t2－t1＝ ln 2 0.38 ≈错误!≈1.8. 答案：B 2.（2021·朝阳模拟）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位 mol/L， 记作[H＋]）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位 mol/L，记作[OH－]）的乘积等于常数 10－14. 已知 pH 值的定义为 pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的 pH 值保持在 7.35～7.45 之间，那么健 康人体血液中的 [H＋] [OH－] 可以为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 10 解析：由题意可得 pH＝－lg[H＋]∈（7.35，7.45），且[H＋]·[OH－]＝10－14，∴lg [H＋] [OH－] ＝lg [H＋] 10－14 [H＋] ＝lg [H＋]2＋14＝2lg[H＋]＋14.∵7.35＜－lg[H＋]＜7.45，∴－7.45＜lg[H＋]＜－7.35，∴－ 0.9＜2lg[H＋]＋14＜－0.7，即－0.9＜lg [H＋] [OH－] ＜－0.7.∵lg 1 2 ＝－lg 2≈－0.30，故 A 错误； lg 1 3 ＝－lg 3≈－0.48，故 B 错误；lg 1 6 ＝－lg 6＝－（lg 2＋lg 3）≈－0.78，故 C 正确；lg 1 10 ＝－1，故 D 错误. 答案：C f（x）＝ln x 1－x ，若 f（a）＋f（b）＝0，且 0＜a＜b＜1，则 ab 的取值范围是__________. 解析：由题意可知 ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0， 即 ln a 1－a · b 1－b ＝0，从而 a 1－a · b 1－b ＝1，化简得 a＋b＝1， 故 ab＝a（1－a）＝－a2＋a＝－ a－ 1 2 2 ＋ 1 4 .又 0＜a＜b＜1， ∴0＜a＜ 1 2 ，故 0＜－ a－ 1 2 2 ＋ 1 4 ＜ 1 4 ， 即 ab∈ 0， 1 4 . 答案： 0， 1 4