第八节 函数与方程及应用
授课提示：对应学生用书第 285 页
[A 组 基础保分练]
1.下列函数中，在（－1，1）内有零点且单调递增的是（ ）
A.y＝log
1
2
x B.y＝2x－1
C.y＝x2－
1
2
D.y＝－x3
解析：函数 y＝log
1
2
x 在定义域上单调递减，y＝x2－
1
2
在（－1，1）上不是单调函数，y＝－
x3y＝2x－1，当 x＝0∈（－1，1）时，y＝0 且 y＝2x－1 在 R 上单调递增.
答案：B
f（x）＝2x＋2x 的零点所在的区间是（ ）
A.[－2，－1] B.[－1，0]
C.[0，1] D.[1，2]
解析：f（－2）＝2－2＋2×（－2）＜0，f（－1）＝2－1＋2×（－1）＜0，f（0）＝20＋0＞
0，由零点存在性定理知，函数 f（x）的零点在区间[－1，0]上.
答案：B
f（x）＝ax＋1 在区间（－1，1）上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A.（1，＋∞） B.（－∞，1）
C.（－∞，－1）∪（1，＋∞） D.（－1，1）
解析：由题意知，f（－1）·f（1）＜0，即（1－a）（1＋a）＜0，解得 a＜－1 或 a＞1.
答案：C
4.（2021·遵义模拟）n（n∈N＋）年后，盈利总额达到最大值（盈利总额等于总收入减去总
成本），则 n 等于（ ）
A.6
C.8
解析：盈利总额为 21n－9－
2n＋
1
2
×n（n－1）×3
＝－
3
2
n2＋
41
2
nn＝
41
6
，所以当 n＝7 时取
最大值，即盈利总额达到最大值.
答案：B
5.（2021·福州模拟）已知函数 f（x）＝
x2－2x，x≤0，
1＋
1
x
，x＞0， 则函数 y＝f（x）＋3x 的零点个数是
（ ）
A.0
C.2
解析：令 f（x）＋3x＝0，则
x≤0，
x2－2x＋3x＝0
或
x＞0，
1＋
1
x
＋3x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1，所以
函数 y＝f（x）＋3x 的零点个数是 2.
答案：C
6.研究发现，当对某学科知识的学习次数 x 不超过 6 次时，对该学科的掌握程度 f（x）＝0.1
＋15ln
a
a－x
.根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，
（127，133].当学习某学科知识 6 次时，其掌握程度是 85%，则该学科是（参考数据：e≈1.05，
e≈2.34）（ ）
A.甲
C.丙
解析：由题意可知，0.1＋15ln
a
a－6
＝0.85，整理得
a
a－6
＝e，解得 a＝
e
e－1
×6≈21×6＝126，
因为 126∈（121，127]，所以该学科是乙.
答案：B
7.（2020·湘赣十四校联考）已知函数 f（x）＝
ax2＋2x＋a（x≤0），
ax－3（x>0）
有且只有 1 个零点，则
实数 a 的取值范围是__________.
解析：当 a>0 时，函数 y＝ax－3（x>0）必有一个零点，又因为－
1
a
0，解得 a>1；当 a＝0 时，f（x）＝
2x（x≤0），
－3（x>0）
恰有一个零点；当 a0，
则 f（x）＝ax－31
8.（2021·唐山模拟）某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每年的保
险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%（即这辆车每
年减少它的价值的 10%），试问，大约使用 年后，用在该车上的费用（含折旧费）达
到 14.4 万元.
解析：设使用 xxx＝14.4，化简得 x－6×xf（x）＝x－6×x，
易得 f（x）为单调递增函数，又 f（3）＝－1.374＜0，f（4）＝0.063 4＞0，所以函数 f（x）
在（3，4）上有一个零点.
故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元.
答案：4
f（x）＝－x2－2x，g（x）＝
x＋
1
4x
，x＞0，
x＋1，x≤0.
（1）求 g（f（1））的值；
（2）若方程 g（f（x））－a＝0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围.
解析：（1）利用解析式直接求解得 g（f（1））＝g（－3）＝－3＋1＝－2.
（2）令 f（x）＝t，则原方程化为 g（t）＝a，易知方程 f（x）＝t 在（－∞，1）上有 2 个
不同的解，则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g（t）（t＜1）与 y＝a 的图像有 2 个不同的交
点，作出函数 y＝g（t）（t＜1）的图像（如图），由图像可知，当 1≤a＜
5
4
时，函数 y＝g（t）
（t＜1）与 y＝a 有 2 个不同的交点，即所求 a 的取值范围是
1，
5
4 .
Y（单位：分贝）由公式 Y＝10lg
I
10－12 给出，其中 I 为声强（单位：W/m2）.
（1）平常人交谈时的声强约为 10－6 W/m2，求其声强级；
（2）一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听到最低声强为多少？
（3）比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50 分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为
5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解析：（1）当声强为 10－6 W/m2 时，
由公式 Y＝10lg
I
10－12
得 Y＝10lg
10－6
10－12 ＝10lg 106＝60（分贝）.
（2）当 Y＝0 时，由公式 Y＝10lg
I
10－12
得 10lg
I
10－12 ＝0.
所以
I
10－12
＝1，即 I＝10－12 W/m2，
则常人能听到的最低声强为 10－12 W/m2.
（3）当声强为 5×10－7 W/m2 时，
声强级 Y＝10lg
5×10－7
10－12 ＝10lg（5×105）＝50＋10lg 5，
因为 50＋10lg 5＞50，
所以这两位同学会影响其他同学休息.
[B 组 能力提升练]
R 上的函数 f（x）满足 f（x）＝
x2＋2，x∈[0，1），
2－x2，x∈[－1，0），
且 f（x＋1）＝f（x－1），若 g（x）
＝3－log2x，则函数 F（x）＝f（x）－g（x）在（0，＋∞）内的零点个数为（ ）
A.3
C.1
解析：由 f（x＋1）＝f（x－1），知 f（x）的周期是 2，画出函数 f（x）和 g（x）的部分图
像，如图所示，由图像可知 f（x）与 g（x）的图像有 2 个交点，故 F（x）有 2 个零点.
答案：B
f（x）＝
2
x
，x＞1，
9x（1－x）2，x≤1，
若函数 g（x）＝f（x）－k 仅有一个零点，则 k 的取值范围是
（ ）
A.
4
3
，2
B.（－∞，0）∪
4
3
，＋∞
C.（－∞，0）
D.（－∞，0）∪
4
3
，2
解析：函数 f（x）的图像如图所示，由题知该图像与直线 y＝k 只有一个公共点，故 k 的取值
范围为（－∞，0）∪
4
3
，2
.
答案：D
3.（2021·衡阳模拟）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2016 年全年
投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全
年投入的研发资金开始超过≈≈0.11，lg 2≈0.3）（ ）
A.2018 年
C.2020 年
解析：设开始超过 200 万元的年份是 n，则 130×（1＋12%）n－2 016＞200，化简得（n－2 016）
lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，所以 n－2 016＞错误!≈3.8，所以 n＝2 020，因此开始超过 200 万
元的年份是 2020 年.
答案：C
4.（2021·西安模拟）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评
价分数 x（正常情况 0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以
高于 100 分）计算当月绩效工资 y 元.要求绩效工资不低于 500 元，不设上限且让大部分教职
工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少.则下列函数最符合要求的是
（ ）
A.y＝（x－50）2＋500
B.y＝10
x
25＋500
C.y＝
1
1 000
（x－50）3＋625
D.y＝50[10＋lg（2x＋1）]
解析：由题意知，函数应满足：①单调递增，且先慢后快，②在 x＝50 左右增长缓慢，最小
值为 500，A 是先减后增，不符合要求；B 由指数函数知是增长越来越快，不符合要求；D 由
对数函数知增长速度越来越慢，不符合要求；C 是由 y＝x3 经过平移和伸缩变换而得，最符合
题目要求.
答案：C
f（x）＝x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，则 a 的取值范围为__________.
解析：由题意 f（1）·f（0）＜0，所以 a（2＋a）＜0，所以－2＜a＜0.
答案：（－2，0）
f（x）＝
2x－1，x＞0，
－x2－2x，x≤0，
若函数 g（x）＝f（x）－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围
是__________.
解析：作出 f（x）＝
2x－1，x＞0，
－x2－2x，x≤0
g（x）＝f（x）－m 有 3 个零点，结合图像得 0＜m＜1，
即 m∈（0，1）.
答案：（0，1）
7.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，
为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害
蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的
种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a（单位：万元）满足 P＝80
＋4 2a，Q＝
1
4
a＋120，设甲大棚的投入为 x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为 f（x）
（单位：万元）.
（1）求 f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f（x）最大？
解析：（1）由题意知甲大棚投入 50 万元，
则乙大棚投入 150 万元，
所以 f（50）＝80＋4 2×50＋
1
4
×150＋120＝ 277.5（万元）.
（2）f（x）＝80＋4 2x＋
1
4
（200－x）＋120＝－
1
4
x＋4 2x＋250，依题意得
x≥20，
200－x≥20
⇒20≤x≤180，
故 f（x）＝－
1
4
x＋4 2x＋250（20≤x≤180）.
令 t＝ x，t∈[2 5，6 5]，则 y＝－
1
4
t2＋4 2t＋250＝－
1
4
（t－8 2）2＋282，当 t＝8 2，
即 x＝128 时，f（x）取得最大值，f（x）max＝282.
所以当甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为 282 万
元.
[C 组 创新应用练]
1.（2021·郑州模拟）已知函数 f（x）＝
ex－a，x≤0，
2x－a，x＞0
（a∈R），若函数 f（x）在 R 上有两
个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）
A.（0，1] B.[1，＋∞）
C.（0，1） D.（－∞，1]
解析：画出函数 f（xf（x）在 R 上有两个零点，所以 f（x）在（－∞，0]和（0，＋∞x≤0 时，
f（x）有一个零点，需 00 时，f（x）有一个零点，需－a0.综上，0
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