第三节 圆的方程
授课提示：对应学生用书第 357 页
[A 组 基础保分练]
1．若a∈
－2，0，1，
3
4 ，则方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示的圆的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆的条件为 a2＋4a2－4（2a2＋a－1）＞0，
即 3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜
2
3
．又 a∈
－2，0，1，
3
4 ，所以仅当 a＝0 时，方程 x2＋
y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆．
答案：B
2．（2021·河北省九校第二次联考）圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x＋4y
＋4＝0 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为（ ）
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由题意设所求圆的方程为（x－m）2＋y2＝4（m>0），则
|3m＋4|
32＋42
＝2，解得 m＝2 或
m＝－
14
3
（舍去），故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，即 x2＋y2－4x＝0．
答案：C
3．已知圆 C1：（x＋1）2＋（y－1）2＝1，圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称，则圆 C2
的方程为（ ）
A．（x＋2）2＋（y－2）2＝1 B．（x－2）2＋（y＋2）2＝1
C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝1 D．（x－2）2＋（y－2）2＝1
解析：圆 C1 的圆心坐标为（－1，1），半径为 1，设圆 C2 的圆心坐标为（a，b），由题意得
a－1
2
－
b＋1
2
－1＝0，
b－1
a＋1
＝－1，
解得
a＝2，
b＝－2，
所以圆 C2 的圆心坐标为（2，－2），又两圆的半径相等，
故圆 C2 的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝1．
答案：B
4．（2020·高考全国卷Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－3
＝0 的距离为（ ）
A．
5
5
B．
2 5
5
C．
3 5
5
D．
4 5
5
解析：由题意可知圆心在第一象限，设为（a，b）．
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径 r＝a，
∴圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2．
∵点（2，1）在圆上，∴（2－a）2＋（1－a）2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得 a＝1 或 a＝5．
当 a＝1 时，圆心坐标为（1，1），此时圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝
|2×1－1－3|
22＋（－1）2
＝
2 5
5
；
当 a＝5 时，圆心坐标为（5，5），此时圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝
|2×5－5－3|
22＋（－1）2
＝
2 5
5
．
综上，圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离为
2 5
5
．
答案：B
5．已知圆 x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0 关于直线 y＝x＋2b 对称，则 a－b 的取值范围是（ ）
A．（－∞，0） B．（－∞，4）
C．（－4，＋∞） D．（4，＋∞）
解析：根据圆的一般方程中 D2＋E2－4F＞0 得（－2）2＋62－4×5a＞0，解得 a＜2，由圆关
于直线 y＝x＋2b 对称可知圆心（1，－3）在直线 y＝x＋2b 上，所以－3＝1＋2b，得 b＝－
2，故 a－b＜4．
答案：B
6．（2021·河北五个一名校联盟一诊）已知点 P 为圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝4 上一点，A
（0，－6），B（4，0），则|PA→＋PB→|的最大值为（ ）
A． 26＋2 B． 26＋4
C．2 26＋4 D．2 26＋2
解析：取 AB 的中点 D（2，－3），则PA→＋PB→＝2PD→ ，|PA→＋PB→|＝|2PD→ |，|PD→ |的最大值为圆
心 C（1，2）与 D（2，－3）的距离 d 再加半径 r，又 d＝ 1＋25＝ 26，所以 d＋r＝ 26
＋2．
所以|PA→＋PB→|的最大值为 2 26＋4．
答案：C
7．圆心在直线 2x－y－7＝0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（0，－4），B（0，－2），则圆 C
的方程为_________．
解析：圆心是 AB 的垂直平分线和 2x－y－7＝0 的交点，则圆心为 E（2，－3），r＝|EA|＝ 4＋1
＝ 5，则圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2＝5．
答案：（x－2）2＋（y＋3）2＝5
8．（2021·银川模拟）已知圆 x2＋y2＝4，B（1，1）为圆内一点，P，Q 为圆上动点，若∠PBQ
＝90°，则线段 PQ 中点的轨迹方程为_________．
解析：设 PQ 的中点为 N（x′，y′）．在 Rt△PBQ 中，|PN|＝|BN|，设 O 为坐标原点，连接
ON（图略），则 ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以 x′2＋y′2＋（x′
－1）2＋（y′－1）2＝4．故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋y2－x－y－1＝0．
答案：x2＋y2－x－y－1＝0
9．一圆经过 A（4，2），B（－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的
方程．
解析：设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）．
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，所以 x1＋x2＝－D．
令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0，所以 y1＋y2＝－E．
由题意知－D－E＝2，即 D＋E＋2＝0．①
又因为圆过点 A，B，所以 16＋4＋4D＋2E＋F＝0．②
1＋9－D＋3E＋F＝0．③
解①②③组成的方程组得 D＝－2，E＝0，F＝－12．
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－12＝0．
10．已知以点 P 为圆心的圆经过点 A（－1，0）和 B（3，4），线段 AB 的垂直平分线交圆 P
于点 C 和 D，且|CD|＝4 10．
（1）求直线 CD 的方程；
（2）求圆 P 的方程．
解析：（1）由题意知，直线 AB 的斜率 k＝1，中点坐标为（1，2），
则直线 CD 的方程为 y－2＝－（x－1），
即 x＋y－3＝0．
（2）设圆心 P（a，b），
则由点 P 在 CD 上得 a＋b－3＝0．①
又因为直径|CD|＝4 10，
所以|PA|＝2 10，
所以（a＋1）2＋b2＝40．②
由①②解得
a＝－3，
b＝6
或
a＝5，
b＝－2.
所以圆心 P（－3，6）或 P（5，－2）．
所以圆 P 的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40 或（x－5）2＋（y＋2）2＝40．
[B 组 能力提升练]
1．圆（x－2）2＋y2＝4 关于直线 y＝
3
3
x 对称的圆的方程是（ ）
A．（x－ 3）2＋（y－1）2＝4
B．（x－1）2＋（y－ 3）2＝4
C．x2＋（y－2）2＝4
D．（x－ 2）2＋（y－ 2）2＝4
解析：设圆（x－2）2＋y2＝4 的圆心关于直线 y＝
3
3
x 对称的点的坐标为 A（a，b），则
b
a－2
·
3
3
＝－1，
b
2
＝
3
3
·
a＋2
2
，
∴a＝1，b＝ 3，∴A（1， 3），从而所求圆的方程为（x－1）2＋（y－ 3）
2＝4．
答案：B
2．若直线 2ax－by＋2＝0（a，b∈R）始终平分圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的周长，则 ab
的取值范围是（ ）
A．
－∞，
1
2 B．
－∞，
1
2
C．
－∞，
1
4 D．
－∞，
1
4
解析：∵直线 2ax－by＋2＝0（a，b∈R）始终平分圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的周长，∴圆
心（－1，2）在直线 2ax－by＋2＝0 上，可得－2a－2b＋2＝0，解得 b＝1－a，∴ab＝a（1
－a）＝－
a－
1
2
2
＋
1
4
≤
1
4
，当且仅当 a＝
1
2
时等号成立，因此 ab 的取值范围为
－∞，
1
4 ．
答案：D
3．已知圆 C：（x－1）2＋（y－2）2＝2 与 y 轴在第二象限所围区域的面积为 S，直线 y＝2x
＋b 将圆 C 分为两部分，其中一部分的面积也为 S，则 b＝（ ）
A．－ 6 B．± 6
C．－ 5 D．± 5
解析：结合图形（图略）及题意知，圆心 C（1，2）到 y 轴的距离与到直线 y＝2x＋b 的距离
相等，易知 C（1，2）到 y 轴的距离为 1，则
|2×1－2＋b|
22＋（－1）2
＝1，解得 b＝± 5．
答案：D
4．已知圆 M：x2＋y2－2x＋a＝0，若 AB 为圆 M 的任意一条直径，且OA→ ·OB→ ＝－6（其中 O
为坐标原点），则圆 M 的半径为（ ）
A． 5 B． 6
C． 7 D．2 2
解析：圆 M 的标准方程为（x－1）2＋y2＝1－a，圆心 M（1，0），则|OM|＝1，圆的半径 r
＝ 1－a（a＜1）．因为 AB 为圆 M 的任意一条直径，所以MA→ ＝－MB→ ，且|MA→ |＝|MB→ |＝r，
则OA→ ·OB→ ＝（OM→ ＋MA→ ）·（OM→ ＋MB→ ）＝（OM→ －MB→ ）·（OM→ ＋MB→ ）＝OM→ 2－MB→ 2＝1－r2
＝－6，所以 r2＝7，得 r＝ 7，所以圆的半径为 7．
答案：C
5．（2021·临沂模拟）已知圆心在直线 x－3y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，且截 x 轴所
得的弦长为 4 2，则圆 C 的标准方程为_________．
解析：设圆 C 的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a＞0，b＞0），由题意可得
a－3b＝0，
a＝r，
b2＋8＝r2，
解得
a＝3，
b＝1，
r＝3，
所以圆 C 的标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9．
答案：（x－3）2＋（y－1）2＝9
6．（2021·福建厦门模拟）在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，A＝
π
3
，动点 P 在以点 A 为圆心，
半径为 1 的圆上，则PB→·PC→的最小值为_________．
解析：如图，以点 A 为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系．
则 A（0，0），B（4，0），C（1， 3），设 P（x，y），则PB→＝（4－x，－y），PC→＝（1－x，
3－y），
所以PB→·PC→＝（4－x）（1－x）－y（ 3－y）＝x2－5x＋y2－ 3y＋4＝
x－
5
2
2
＋
y－
3
2
2
－3，其中
x－
5
2
2
＋
y－
3
2
2
表示圆 A 上的点 P 与点 M
5
2
，
3
2 之间距离|PM|的平方，由
几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝
5
2
2
＋
3
2
2
－1＝ 7－1，
所以（PB→·PC→）min＝（ 7－1）2－3＝5－2 7．
答案：5－2 7
7．设 m∈R，已知直线 x＋my＝0 过定点 A，直线 mx－y－2m＋4＝0 过定点 B，直线 x＋
my＝0 和直线 mx－y－2m＋4＝0 交于点 P．
（1）求动点 P 的轨迹方程；
（2）求|PA|·|PB|的最大值．
解析：（1）由已知可知，直线 x＋my＝0 和直线 mx－y－2m＋4＝0 分别过定点 A（0，0），
B（2，4），又 m×1＋m×（－1）＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点 P（x，y）的轨迹
为以 AB 为直径的圆，圆心为 AB 的中点（1，2），半径 r＝
|AB|
2
＝ 5，故动点 P 的轨迹方程
为（x－1）2＋（y－2）2＝5．
（2）由（1）可知定点 A（0，0），B（2，4），且两直线垂直，P 为圆（x－1）2＋（y－2）
2＝5 上的点，则 PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝22＋42＝20，则|PA|·|PB|≤
|PA|2＋|PB|2
2
＝10，
当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立，所以|PA|·|PB|的最大值为 10．
[C 组 创新应用练]
1．（2021·海口模拟）已知实数 x，y 满足 x2＋y2＝4（y≥0），则 m＝ 3x＋y 的取值范围是
（ ）
A．（－2 3，4） B．[－2 3，4]
C．[－4，4] D．[－4，2 3]
解析：x2＋y2＝4（y≥0）表示圆 x2＋y2＝4 的上半部分，如图所示，直线 3x＋y－m＝0 的
斜率为－ 3，在 y 轴上的截距为 m．当直线 3x＋y－m＝0 过点（－2，0）时，m＝－2 3．设
圆心（0，0）到直线 3x＋y－m＝0 的距离为 d，则
m≥－2 3，
d≤2，
即
m≥－2 3，
|－m|
2
≤2. 解得 m
∈[－2 3，4]．
答案：B
2．设命题 p：
4x＋3y－12≥0，
k－x≥0，
x＋3y≤12
（x，y，k∈R 且 k＞0）；命题 q：（x－3）2＋y2≤25（x，y
∈R）．若 p 是 q 的充分不必要条件，则 k 的取值范围是_________．
解析：如图所示：
命题 p 表示的范围是图中△ABC 的内部（含边界），命题 q 表示的范围是以点（3，0）为圆心，
5 为半径的圆及圆内部分，p 是 q 的充分不必要条件．实际上只需 A，B，C 三点都在圆内（或
圆上）即可．
由题知 B
k，4－
4
3
k
，
则
k＞0，
（k－3）2＋
16
9
（3－k）2≤25，
解得 0＜k≤6．
答案：（0，6]
3．如果直线 2ax－by＋14＝0（a＞0，b＞0）和函数 f（x）＝mx＋1＋1（m＞0，m≠1）的
图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x－a＋1）2＋（y＋b－2）2＝25 的内部或圆上，
那么
b
a
的取值范围为_________．
解析：易知函数 f（x）＝mx＋1＋1（m＞0，m≠1）的图像过定点（－1，2），
∴直线 2ax－by＋14＝0（a＞0，b＞0）过定点（－1，2），∴a＋b＝7 ①，又定点（－1，
2）在圆（x－a＋1）2＋（y＋b－2）2＝25 的内部或圆上，
∴a2＋b2≤25 ②，由①②解得 3≤a≤4，
∴
1
4
≤
1
a
≤
1
3
，∴
b
a
＝
7－a
a
＝
7
a
－1∈
3
4
，
4
3 ．
答案：
3
4
，
4
3
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