第二节 两直线的位置关系
授课提示：对应学生用书第 355 页
[A 组 基础保分练]
1．（2021·安徽江南十校二联）已知直线 l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若 l1∥
l2，则 l1，l2 之间的距离为（ ）
A．
12 13
13
B．
8 13
13
C．
9 13
13
D． 13
解析：由于两条直线平行，所以 m·（－3m）－（－3）·4＝0，解得 m＝±2，当 m＝2 时，两
直线方程都是 2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当 m＝－2 时，l1：2x＋3y－6
＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故 l1，l2 之间的距离为
|6－（－6）|
22＋32
＝
12 13
13
．
答案：A
2．（2021·上海松江区模拟）过点（0，1）且与直线 x－2y＋1＝0 垂直的直线方程是（ ）
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．x－2y＋2＝0 D．x－2y－1＝0
解析：设与直线 x－2y＋1＝0 垂直的直线方程为 2x＋y＋m＝0，代入点（0，1）的坐标，得
0＋1＋m＝0，解得 m＝－1，所以所求的直线方程为 2x＋y－1＝0．
答案：A
3．“m＝1”是“直线 l1：mx＋y－1＝0 和直线 l2：x＋my＋6＝0 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：直线 l1：mx＋y－1＝0 和直线 l2：x＋my＋6＝0 平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是
“m＝±1”的充分不必要条件．
答案：A
4．已知 A（1，6 3），B（0，5 3），作直线 l，使得点 A，B 到直线 l 的距离均为 d，且这
样的直线 l 恰有 4 条，则 d 的取值范围是（ ）
A．d≥1 B．0＜d＜1
C．0＜d≤1 D．0＜d＜2
解析：A，B 两点到直线 l 的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段 AB 的中点的直
线；第二类是与直线 AB 平行的直线．而|AB|＝ （1－0）2＋（6 3－5 3）2＝2，要使满
足条件的直线 l 有 4 条，只需要 0＜d＜
1
2
|AB|＝1．
答案：B
5．如果平面直角坐标系内的两点 A（a－1，a＋1），B（a，a）关于直线 l 对称，那么直线 l
的方程为（ ）
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：因为直线 AB 的斜率为
a＋1－a
a－1－a
＝－1，所以直线 l 的斜率为 1．设直线 l 的方程为 y＝x
＋b，由题意知直线 l 过点
2a－1
2
，
2a＋1
2 ，所以
2a＋1
2
＝
2a－1
2
＋b，解得 b＝1，所以直线 l
的方程为 y＝x＋1，即 x－y＋1＝0．
答案：A
6．直线 l 经过点 M（2，1），若点 P（4，2）和 Q（0，－4）到直线 l 的距离相等，则直线
l 的方程为（ ）
A．3x－2y－4＝0
B．x＝2 或 3x－2y－4＝0
C．x＝2 或 x－2y＝0
D．x＝2 或 3x－2y－8＝0
解析：当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝2，符合题意．当直线 l 的斜率存在时，
依题意可设直线 l 的方程为 y－1＝k（x－2），即 kx－y＋1－2k＝0．因为 P（4，2）和 Q（0，
－4）到直线 l 的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得 k＝
3
2
，则直线 l 的方程
为 3x－2y－4＝0．
答案：B
7．（2021·上海闵行区模拟）已知两条直线 l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则 l1 与 l2
的距离为_________．
解析：两条直线 l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线 l1：4x＋2y－3＝0，l2：
4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离 d＝
|－3－2|
42＋22
＝
5
2
．
答案：
5
2
8．已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是（－4，2），
（3，1），则点 C 的坐标是_________．
解析：设 A（－4，2）关于直线 y＝2x 的对称点为（x，y），
则
y－2
x＋4
×2＝－1，
y＋2
2
＝2×
－4＋x
2
，
解得
x＝4，
y＝－2，
∴BC 所在直线方程为 y－1＝
－2－1
4－3
（x－3），即 3x＋y－10＝0．同理可得点 B（3，1）关
于直线 y＝2x 的对称点为（－1，3），∴AC 所在直线方程为 y－2＝
3－2
－1－（－4）
·（x＋4），
即 x－3y＋10＝0．联立得
3x＋y－10＝0，
x－3y＋10＝0，
解得
x＝2，
y＝4，
则 C（2，4）．
答案：（2，4）
9．已知两直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值．
（1）l1⊥l2，且直线 l1 过点（－3，－1）；
（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解析：（1）因为 l1⊥l2，
所以 a（a－1）－b＝0．
又因为直线 l1 过点（－3，－1），
所以－3a＋b＋4＝0．
故 a＝2，b＝2．
（2）因为直线 l2 的斜率存在，l1∥l2，
所以直线 l1 的斜率存在．
所以
a
b
＝1－a．①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以 l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即
4
b
＝b．②
联立①②可得 a＝2，b＝－2 或 a＝
2
3
，b＝2．
10．正方形的中心为点 C（－1，0），一条边所在的直线方程是 x＋3y－5＝0，求其他三边所
在直线的方程．
解析：点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝
|－1－5|
1＋9
＝
3 10
5
．
设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0（m≠－5），
则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离
d＝
|－1＋m|
1＋9
＝
3 10
5
，
解得 m＝－5（舍去）或 m＝7，
所以与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0．
设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0，
则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离
d＝
|－3＋n|
1＋9
＝
3 10
5
，
解得 n＝－3 或 n＝9，
所以与 x＋3y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0．
[B 组 能力提升练]
1．已知经过点 A（－2，0）和点 B（1，3a）的直线 l1 与经过点 P（0，－1）和点 Q（a，
－2a）的直线 l2 互相垂直，则实数 a 的值为（ ）
A．0 B．1
C．0 或 1 D．－1 或 1
解析：直线 l1 的斜率 k1＝
3a－0
1－（－2）
＝a．当 a≠0 时，直线 l2 的斜率 k2＝
－2a－（－1）
a－0
＝
1－2a
a
．因为 l1⊥l2，所以 k1k2＝－1，即 a·
1－2a
a
＝－1，解得 a＝1．当 a＝0 时，P（0，－
1），Q（0，0），此时直线 l2 为 y 轴，又 A（－2，0），B（1，0），则直线 l1 为 x 轴，显然 l1
⊥l2．综上可知，实数 a 的值为 0 或 1．
答案：C
2．已知 0＜k＜4，直线 l1：kx－2y－2k＋8＝0 和直线 l2：2x＋k2y－4k2－4＝0 与坐标轴围
成一个四边形，则使这个四边形面积最小的 k 的值为（ ）
A．
1
8
B．
1
2
C．
1
4
D．2
解析：直线 l1，l2 恒过点 P（2，4），直线 l1 在 y 轴上的截距为 4－k，直线 l2 在 x 轴上的截距
为 2k2＋2，因为 0＜k＜4，所以 4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积 S＝
1
2
×2×（4－k）
＋
1
2
×4×（2k2＋2）＝4k2－k＋8，故当 k＝
1
8
时，面积最小．
答案：A
3．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos θ，sin θ）到直线 x－my－2＝0 的距离．当θ，
m 变化时，d 的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可得 d＝
|cos θ－msin θ－2|
m2＋1
＝
|msin θ－cos θ＋2|
m2＋1
＝
| m2＋1
m
m2＋1
sin θ－
1
m2＋1
cos θ
＋2|
m2＋1
＝
| m2＋1sin（θ－φ）＋2|
m2＋1
其中 cos φ＝
m
m2＋1
，sin φ＝
1
m2＋1 ．
∵－1≤sin（θ－φ）≤1，
∴
|2－ m2＋1|
m2＋1
≤d≤
m2＋1＋2
m2＋1
，
m2＋1＋2
m2＋1
＝1＋
2
m2＋1
，∴当 m＝0 时，d 取最大值 3．
答案：C
4．已知坐标原点关于直线 l1：x－y＋1＝0 的对称点为 A，设直线 l2 经过点 A，则当点 B（2，
－1）到直线 l2 的距离最大时，直线 l2 的方程为（ ）
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0
C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
解析：设 A（x0，y0），依题意可得
x0
2
－
y0
2
＋1＝0，
y0
x0
＝－1，
解得
x0＝－1，
y0＝1，
即 A（－1，1）．设点 B
（2，－1）到直线 l2 的距离为 d，当 d＝|AB|时取得最大值，此时直线 l2 垂直于直线 AB，又
－
1
kAB
＝
3
2
，故直线 l2 的方程为 y－1＝
3
2
（x＋1），即 3x－2y＋5＝0．
答案：B
5．与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2：6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是_________．
解析：l2：6x＋4y－3＝0 化为 3x＋2y－
3
2
＝0，所以 l1 与 l2 平行，设与 l1，l2 等距离的直线 l
的方程为 3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋
3
2|，解得 c＝－
15
4
，所以 l 的方程为 12x＋8y
－15＝0．
答案：12x＋8y－15＝0
6．l1，l2 是分别经过 A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大
时，直线 l1 的方程是_________．
解析：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又 kAB＝
－1－1
0－1
＝2，所以两条平行直线的斜率为 k＝－
1
2
，所以直线 l1 的方程是 y－1＝－
1
2
（x－1），即 x＋
2y－3＝0．
答案：x＋2y－3＝0
7．在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得：
（1）P 到 A（4，1）和 B（0，4）的距离之差最大；
（2）P 到 A（4，1）和 C（3，4）的距离之和最小．
解析：（1）如图，设 B 关于 l 的对称点为 B′，AB′的延长线交 l 于 P0，在 l 上另任取一点 P，
则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|≤|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则 P0 即为所求．
易求得直线 BB′的方程为 x＋3y－12＝0，
设 B′（a，b），则 a＋3b－12＝0，①
又线段 BB′的中点
a
2
，
b＋4
2 在 l 上，故 3a－b－6＝0．②
由①②解得 a＝3，b＝3，所以 B′（3，3）．
所以 AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0．
由
2x＋y－9＝0，
3x－y－1＝0，
可得 P0（2，5）．
（2）设 C 关于 l 的对称点为 C′，与（1）同理可得 C′
3
5
，
24
5 ．
连接 AC′交 l 于 P1（图略），在 l 上另任取一点 P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|≥|AC′|＝|P1C′|
＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故 P1 即为所求．
又 AC′所在直线的方程为 19x＋17y－93＝0，
故由
19x＋17y－93＝0，
3x－y－1＝0，
可得 P1
11
7
，
26
7 ．
[C 组 创新应用练]
1．已知直线 l1：2x－y＋3＝0，直线 l2：4x－2y－1＝0 和直线 l3：x＋y－1＝0，若点 M 同
时满足下列条件：
（1）点 M 是第一象限的点；
（2）点 M 到 l1 的距离是到 l2 的距离的
1
2
；
（3）点 M 到 l1 的距离与到 l3 的距离之比是 2∶ 5．
则点 M 的坐标为（ ）
A．
1
3
，2
B．
1
3
，
37
18
C．
1
9
，2
D．
1
9
，
37
18
解析：设点 M（x0，y0），若点 M 满足（2），则
|2x0－y0＋3|
5
＝
1
2
×
|4x0－2y0－1|
16＋4
，故 2x0－y0
＋
13
2
＝0 或 2x0－y0＋
11
6
＝0，若点 M（x0，y0）满足（3），由点到直线的距离公式，得
|2x0－y0＋3|
5
＝
2
5
×
|x0＋y0－1|
2
，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故 x0－2y0＋4＝0 或 3x0＋2＝0，由于点
M（x0，y0）在第一象限，故 3x0＋2＝0 不符合题意．联立方程得
2x0－y0＋
13
2
＝0，
x0－2y0＋4＝0，
解得
x0＝－3，
y0＝
1
2
， 不符合题意；联立方程得
2x0－y0＋
11
6
＝0，
x0－2y0＋4＝0，
解得
x0＝
1
9
，
y0＝
37
18
，
即点 M 的坐标为
1
9
，
37
18 ．
答案：D
2．如图，已知 A（－2，0），B（2，0），C（0，2），E（－1，0），F（1，0），一束光线从
F 点出发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上（不含端点），则
直线 FD 的斜率的取值范围是_________．
解析：从特殊位置考虑．如图，
因为点 A（－2，0）关于直线 BC：
x＋y＝2 的对称点为 A1（2，4），所以 kA1F＝4．又点 E（－1，0）关于直线 AC：y＝x＋2
的对称点为 E1（－2，1），点 E1（－2，1）关于直线 BC：x＋y＝2 的对称点为 E2（1，4），
此时直线 E2F 的斜率不存在，所以 kFD＞kA1F，即 kFD∈（4，＋∞）．
答案：（4，＋∞）
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