第八节 曲线与方程
授课提示：对应学生用书第 367 页
[A 组 基础保分练]
1．方程（x－y）2＋（xy－1）2＝0 的曲线是（ ）
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：由（x－y）2＋（xy－1）2＝0 得
x－y＝0，
xy－1＝0.
∴
x＝1，
y＝1
或
x＝－1，
y＝－1.
答案：C
2．已知两定点 A（－2，0），B（1，0），如果动点 P 满足|PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：设 P（x，y），则 （x＋2）2＋y2＝2 （x－1）2＋y2，整理得 x2＋y2－4x＝0，又 D2
＋E2－4F＝16＞0，所以动点 P 的轨迹是圆．
答案：B
3．已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线，垂足为 N．若 MN→ 2
＝λAN→ ·NB→ ，其中λ为常数，则动点 M 的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，建立坐标系，设 M（x，y），A（－a，
0），B（a，0），则 N（x，0）．
因为 MN→ 2＝λAN→ ·NB→ ，
所以 y2＝λ（x＋a）（a－x），即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1 时，轨迹是圆；
当λ＞0 且λ≠1 时，轨迹是椭圆；
当λ＜0 时，轨迹是双曲线；
当λ＝0 时，轨迹是直线．
综上，动点 M 的轨迹不可能是抛物线．
答案：C
4．已知 A（0，7），B（0，－7），C（12，2），以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，椭圆的
另一个焦点 F 的轨迹方程是（ ）
A．y2－
x2
48
＝1（y≤－1） B．y2－
x2
48
＝1
C．y2－
x2
48
＝－1 D．x2－
y2
48
＝1
解析：由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，所以|AF|－|BF|
＝|BC|－|AC|＝2．故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线的下支．因为 c＝7，
a＝1，所以 b2＝48，所以点 F 的轨迹方程为 y2－
x2
48
＝1（y≤－1）．
答案：A
5．已知 F 是抛物线 y＝
1
4
x2 的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方程是（ ）
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
1
16
C．x2＝y－
1
2
D．x2＝2y－2
解析：把抛物线方程 y＝
1
4
x2 化成标准形式 x2＝4y 可得焦点 F（0，1），
设 P（x0，y0），PF 的中点 M（x，y）．
由中点坐标公式得
x＝
x0
2
，
y＝
y0＋1
2
，
∴
x0＝2x，
y0＝2y－1.
又∵P（x0，y0）在抛物线 y＝
1
4
x2 上，
∴2y－1＝
1
4
（2x）2，即 x2＝2y－1．
答案：A
6．已知动圆 Q 过定点 A（2，0）且被 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，则动圆圆心 Q 的轨迹方
程为_________．
解析：设 Q（x，y）．因为动圆 Q 过定点 A（2，0）且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4，所以
|MN|
2
2
＋|x|2＝|AQ|2，所以|x|2＋22＝（x－2）2＋y2，整理得 y2＝4x．所以动圆圆心 Q 的轨迹方程
是 y2＝4x．
答案：y2＝4x
7．在平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A（1，2）与动点 P（x，y），满足向量OP→ 在向量OA→ 上
的投影为－ 5，则点 P 的轨迹方程为_________．
解析：由
OP→ ·OA→
|OA→ |
＝－ 5，知 x＋2y＝－5，即 x＋2y＋5＝0．
答案：x＋2y＋5＝0
8．设 F（1，0），M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN→ ＝2MP→ ，PM→ ⊥PF→，当点 P 在 y 轴上
运动时，求点 N 的轨迹方程．
解析：设 M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），
因为PM→ ⊥PF→，PM→ ＝（x0，－y0），
PF→＝（1，－y0），
所以（x0，－y0）·（1，－y0）＝0，所以 x0＋y2
0＝0．
由MN→ ＝2 MP→ 得（x－x0，y）＝2（－x0，y0），
所以
x－x0＝－2x0，
y＝2y0，
即
x0＝－x，
y0＝
1
2
y， 所以－x＋
y2
4
＝0，即 y2＝4x．
故所求的点 N 的轨迹方程是 y2＝4x．
[B 组 能力提升练]
1．（2021·聊城模拟）已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M（－1，2），Q
是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点 Q 的轨迹方程是（ ）
A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0
解析：设 Q（x，y），则可得 P（－2－x，4－y），代入 2x－y＋3＝0 得，2x－y＋5＝0．
答案：D
2．在直角坐标平面内，已知两点 A（－2，0），B（2，0），动点 Q 到点 A 的距离为 6，线段
BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P，则点 P 的轨迹方程是（ ）
A．
x2
5
＋
y2
9
＝1 B．
x2
9
＋
y2
5
＝1
C．
x2
8
＋
y2
4
＝1 D．
x2
4
＋
y2
8
＝1
解析：连接 PB，因为线段 BQ 的垂直平分线交 AQ 于点 P，所以|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，所
以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6，又|PA|＋|PB|＞|AB|，从而点 P 的轨迹是中心在原点，以 A，B 为焦
点的椭圆，其中 2a＝6，2c＝4，所以 b2＝9－4＝5，所以椭圆方程为
x2
9
＋
y2
5
＝1．
答案：B
3．（2021·银川模拟）设 D 为椭圆
y2
5
＋x2＝1 上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长 AD
至点 P，使得|PD|＝|BD|，则点 P 的轨迹方程为（ ）
A．x2＋（y－2）2＝20
B．x2＋（y＋2）2＝20
C．x2＋（y－2）2＝5
D．x2＋（y＋2）2＝5
解析：设点 P 的坐标为（x，y）．因为 D 为椭圆
y2
5
＋x2＝1 上任意一点，且 A，B 为椭圆的焦
点，所以|DA|＋|DB|＝2 5．又|PD|＝|BD|，所以|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DA|＋|DB|＝2 5，所
以 x2＋（y＋2）2＝2 5，所以 x2＋（y＋2）2＝20，所以点 P 的轨迹方程为 x2＋（y＋2）
2＝20．
答案：B
4．在△ABC 中，已知 A（2，0），B（－2，0），G，M 为平面上的两点且满足GA→ ＋GB→ ＋GC→
＝0，|MA→ |＝|MB→ |＝|MC→ |，GM→ ∥AB→ ，则顶点 C 的轨迹为（ ）
A．焦点在 x 轴上的椭圆（长轴端点除外）
B．焦点在 y 轴上的椭圆（短轴端点除外）
C．焦点在 x 轴上的双曲线（实轴端点除外）
D．焦点在 x 轴上的抛物线（顶点除外）
解析：设 C（x，y）（y≠0），则由GA→ ＋GB→ ＋GC→ ＝0，即 G 为△ABC 的重心，得 G
x
3
，
y
3 ．又
|MA→ |＝|MB→ |＝|MC→ |，即 M 为△ABC 的外心，所以点 M 在 y 轴上，又GM→ ∥AB→ ，则有 M
0，
y
3 ．所
以 x2＋
y－
y
3
2
＝4＋
y2
9
，化简得
x2
4
＋
y2
12
＝1，y≠0．所以顶点 C 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆
（除去短轴端点）．
答案：B
5．已知圆的方程为 x2＋y2＝4，若抛物线过点 A（－1，0），B（1，0）且以圆的切线为准线，
则抛物线的焦点轨迹方程为_________．
解析：设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1（图略），则|AA1|＋|BB1|
＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故 F 点的轨迹
是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（去掉长轴两端点）．所以抛物线的焦点轨迹方程为
x2
4
＋
y2
3
＝1（y≠0）．
答案：
x2
4
＋
y2
3
＝1（y≠0）
6．P 是椭圆
x2
4
＋
y2
3
＝1 上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点 Q
满足OQ→ ＝PF1
→ ＋PF2
→ ，则动点 Q 的轨迹方程是_________．
解析：由OQ→ ＝PF1
→ ＋PF2
→ ，
又PF1
→ ＋PF2
→ ＝PM→ ＝2PO→ ＝－2OP→ ，
设 Q（x，y），P（x0，y0），
由OP→ ＝－
1
2
OQ→ ，
则（x0，y0）＝
－
x
2
，－
y
2 ，∴
x0＝－
x
2
，
y0＝－
y
2
，
又 P 在椭圆上，则有
－
x
2
2
4
＋
－
y
2
2
3
＝1，
即
x2
16
＋
y2
12
＝1．
答案：
x2
16
＋
y2
12
＝1
7．如图，从双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q 引直线 x＋y＝2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 的
中点 P 的轨迹方程．
解析：设动点 P 的坐标为（x，y），点 Q 的坐标为（x1，y1），则 N 点的坐标为（2x－x1，2y
－y1）．
∵N 在直线 x＋y＝2 上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2．①
又∵PQ 垂直于直线 x＋y＝2，
∴
y－y1
x－x1
＝1，即 x－y＋y1－x1＝0，②
①、②联立解得
x1＝
3
2
x＋
1
2
y－1，
y1＝
1
2
x＋
3
2
y－1，
③
又点 Q 在双曲线 x2－y2＝1 上，
∴x2
1－y2
1＝1．④
③代入④，得动点 P 的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0．
8．自抛物线 y2＝2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线，垂足为 Q，连接顶点 O 与 P 的直线和
连接焦点 F 与 Q 的直线交于 R 点，求 R 点的轨迹方程．
解析：设 P（x1，y1），R（x，y），
则 Q
－
1
2
，y1
，F
1
2
，0
．
OP 的方程为 y＝
y1
x1
x．
FQ 的方程为 y＝－y1
x－
1
2 ．
联立得 x1＝
2x
1－2x
，y1＝
2y
1－2x
代入抛物线方程可得 R 点的轨迹方程为 y2＝－2x2＋x．
[C 组 创新应用练]
1．平面α的斜线 AB 交α于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交α于点 C，则动点 C
的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一个圆
C．一个椭圆 D．双曲线的一支
解析：过定点 A 与 AB 垂直的动直线 l 组成一个平面，该平面与平面α交于一条直线，故动点
C 的轨迹是一条直线．
答案：A
2．如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使
M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：由条件知|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|，所以 P 点的轨
迹是以 O，F 为焦点的椭圆．
答案：A
3．若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A（－5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为
8，则称曲线 C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C．
x2
25
＋
y2
9
＝1 D．x2＝16y
解析：因为 M 到平面内两点 A（－5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为 8，所以 M 的轨
迹是以 A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线，方程为
x2
16
－
y2
9
＝1．
A 项，直线 x＋y＝5 过点（5，0），满足题意，为“好曲线”；B 项，x2＋y2＝9 的圆心为（0，
0），半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，
x2
25
＋
y2
9
＝1 的右顶点为（5，0），
满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入
x2
16
－
y2
9
＝1，可得 y－
y2
9
＝1，即 y2－9y＋9＝0，所
以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
答案：B
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