第 2 课时 利用导数研究函数的极值与最值
授课提示：对应学生用书第 291 页
[A 组 基础保分练]
1．函数 y＝
x
ex
在[0，2]上的最大值是( )
A.
1
e
B.
2
e2
C．0 D.
1
2 e
解析：易知 y′＝
1－x
ex
，x∈[0，2]，令 y′＞0，得 0≤x＜1，令 y′＜0，得 1＜x≤2，所以函数 y
＝
x
ex
在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以 y＝
x
ex
在[0，2]上的最大值是
1
e
.
答案：A
2．(2021·沈阳模拟)设函数 f(x)＝xex＋1，则( )
A．x＝1 为 f(x)的极大值点
B．x＝1 为 f(x)的极小值点
C．x＝－1 为 f(x)的极大值点
D．x＝－1 为 f(x)的极小值点
解析：由 f(x)＝xex＋1，可得 f′(x)＝(x＋1)ex，令 f′(x)＞0 可得 x＞－1，即函数 f(x)在(－1，
＋∞)上是增函数；令 f′(x)＜0 可得 x＜－1，即函数 f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以 x＝
－1 为 f(x)的极小值点．
答案：D
3．(2021·肇庆模拟)已知 x＝1 是 f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex 的极小值点，则实数 a 的取值
范围是( )
A．(1，＋∞) B.(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
解析：依题意 f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点分别为 x＝1，x＝a，若 x＝1 是函数 f(x)
的极小值点，则需 a＜1，此时函数 f(x)在(a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在 x
＝1 处取得极小值．
答案：D
f(x)＝
（2－m）x
x2＋m
的图像如图所示，则 m 的取值范围为( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，2)
C．(0，2)
D．(1，2)
解析：f′(x)＝
（x2－m）（m－2）
（x2＋m）2
＝
（x－ m）（x＋ m）（m－2）
（x2＋m）2
，由函数图像的单调性及
有两个极值点可知 m－2＜0 且 m＞0，故 0＜m m＞1，即 m＞1.故 1＜m＜2.
答案：D
5．已知不等式 xsin x＋cos x≤a 对任意的 x∈[0，π]恒成立，则整数 a 的最小值为( )
A．2
C．0 D．－1
解析：令 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，令 f′(x)＝0，则在(0，
π)上 x＝
π
2
.当 x∈
0，
π
2 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当 x∈
π
2
，π
时，f′(x)＜0，f(x)单调递
减，又 f(0)＝1，f
π
2 ＝
π
2
，f(π)＝－1，所以当 x＝
π
2
时，f(x)取得最大值，即 f(x)max＝f
π
2 ＝
π
2
，
所以 a≥
π
2
，即整数 a 的最小值为 2.
答案：A
6．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若 x＝－3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a＝________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由题意知，x＝－3 是方程 f′(x)＝0 的根，所以 3×(－3)2＋2a×(－3)
＋3＝0，解得 a＝5.经检验，当 a＝5 时，f(x)在 x＝－3 处取得极值．
答案：5
f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的大致图像如图所示，则 x2
1＋x2
2＝________．
解析：函数 f(x)的图像过原点，所以 df(－1)＝0 且 f(2)＝0，即－1＋b－c＝0 且 8＋4b＋2c
＝0，解得 b＝－1，c＝－2，所以函数 f(x)＝x3－x2－2x，所以 f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知
x1，x2 是函数的极值点，所以 x1，x2 是 f′(x)＝0 的两个根，所以 x1＋x2＝
2
3
，x1x2＝－
2
3
，所以
x2
1＋x2
2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝
4
9
＋
4
3
＝
16
9
.
答案：
16
9
8．已知函数 f(x)＝sin x－
a
2
x2，若 f(x)在
0，
π
2 上有唯一极大值点，求实数 a 的取值范围．
解析：由已知得 f′(x)＝cos x－ax，
当 a≤0 时，f′(x)≥0，∴f(x)在
0，
π
2 上单调递增，此时 f(x)在
0，
π
2 上不存在极值点；当 a＞
0 时，f″(x)＝－sin x－a＜0，∴f′(x)在
0，
π
2 上单调递减，又 f′(0)＝1＞0，f′
π
2 ＝－
π
2
a＜0，
故存在唯一 x0∈
0，
π
2 使得 x∈(0，x0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，x∈
x0，
π
2 时，f′(x)＜0，
f(x)单调递减．此时，x0 是函数 f(x)的唯一极大值点，综上可得，实数 a 的取值范围是(0，＋
∞)．
9．已知函数 f(x)＝ln x－
1
2
ax2＋x，a∈R.
(1)当 a＝0 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)令 g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数 g(x)的极值．
解析：(1)当 a＝0 时，f(x)＝ln x＋x，
则 f(1)＝1，所以切点为(1，1)，
又 f′(x)＝
1
x
＋1，
所以切线斜率 k＝f′(1)＝2，
故切线方程为 y－1＝2(x－1)，
即 2x－y－1＝0.
(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－
1
2
ax2＋(1－a)x＋1，
则 g′(x)＝
1
x
－ax＋(1－a)＝
－ax2＋（1－a）x＋1
x
，
当 a≤0 时，因为 x＞0，所以 g′(x)＞0.
所以 g(x)在(0，＋∞)上是增函数，函数 g(x)无极值点．
当 a＞0 时，g′(x)＝
－ax2＋（1－a）x＋1
x
＝－
a
x－
1
a （x＋1）
x
，
令 g′(x)＝0 得 x＝
1
a
.
所以当 x∈
0，
1
a 时，g′(x)＞0；
当 x∈
1
a
，＋∞
时，g′(x)＜0.
因为 g(x)在
0，
1
a 上是增函数，在
1
a
，＋∞
上是减函数．
所以 x＝
1
a
时，g(x)有极大值 g
1
a ＝ln
1
a
－
a
2
×
1
a2
＋(1－a)·
1
a
＋1＝
1
2a
－ln a.
综上，当 a≤0 时，函数 g(x)无极值；
当 a＞0 时，函数 g(x)有极大值
1
2a
－ln a，无极小值．
[B 组 能力提升练]
1. (2021·太原模拟)函数 y＝f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是( )
A．(－1，3)为函数 y＝f(x)的单调递增区间
B．(3，5)为函数 y＝f(x)的单调递减区间
C．函数 y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
D．函数 y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
解析：由函数 y＝f(x)的导函数的图像可知，当 x＜－1 或 3＜x＜5 时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调
递减；当 x＞5 或－1＜x＜3 时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增，所以函数 y＝f(x)的单调递减区
间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，函数 y＝f(x)在 x＝－1，5
处取得极小值，在 x＝3 处取得极大值，故选项 C 错误．
答案：C
2．函数 f(x)＝2x3＋9x2－2 在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )
A．25，－2 B.50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：因为 f(x)＝2x3＋9x2－2，所以 f′(x)＝6x2＋18x，当 x∈[－4，－3)或 x∈(0，2]时，f′
(x)＞0，f(x)为增函数，当 x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由 f(－4)＝14，f(－3)＝
25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数 f(x)＝2x3＋9x2－2 在[－4，2]上的最大值和最小值分别是
50，－2.
答案：C
3．若函数 f(x)＝x3－3x 在(a，6－a2)上有最小值，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－ 5，1) B.[－ 5，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
解析：由 f′(x)＝3x2－3＝0，得 x＝±1，且 x＝－1 为函数的极大值点，x＝1 为函数的极小值
点．若函数 f(x)在区间(a，6－a2)上有最小值，则函数 f(x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，
且左端点的函数值不小于 f(1)，即实数 a 满足
a＜1＜6－a2，
f（a）≥f（1），
得
－ 5＜a＜1，
a3－3a＋2≥0，
解得－2≤a
＜1.
答案：C
4．函数 f(x)＝x2ex 在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(0，2) B.(－3，－2)∪(－1，0)
C．(－2，－1)∪(0，3) D．(－3，－2)∪(0，1)
解析：函数 f(x)＝x2ex 的导数为 f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令 f′(x)＝0，则 x＝0 或 xx∈(－
2，0)时，f(x)单调递减，当 x∈(－∞，－2)和 x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，所以 0 和－2
是函数的极值点．因为函数 f(x)＝x2ex 在区间(a，a＋1)上存在极值点，所以 a＜－2＜a＋1 或
a＜0＜a＋1⇒－3＜a＜－2 或－1＜a＜0.
答案：B
5．若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，则 a＝________，f(x)的极小值为________．
解析：因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x
＋a－1]·ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x
＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)＞0，解得 x
＜－2 或 x＞1，令 f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)
上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，即 f(x)极小值＝f(1)＝
－1.
答案：－1 －1
6．若函数 f(x)＝2x2－ln x 在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数 k 的
取值范围是________．
解析：因为 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又 f′(x)＝4x－
1
x
，
由 f′(x)＝0，得 x＝
1
2
.
据题意有
k－1＜
1
2
＜k＋1，
k－1≥0，
解得 1≤k＜
3
2
.
答案：
1，
3
2
7．设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；
(2)若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围．
解析：(1)因为 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.
f′(1)＝(1－a)e.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，
解得 a＝1.
此时 f(1)＝3e≠0.
所以 a 的值为 1.
(2)由(1)得 f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.
若 a＞
1
2
，则当 x∈
1
a
，2
时，f′(x)＜0；
当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以 f(x)在 x＝2 处取得极小值．
若 a≤
1
2
，则当 x∈(0，2)时，f′(x)＞0.
所以 2 不是 f(x)的极小值点．
综上可知，a 的取值范围是
1
2
，＋∞
.
8．(2021·广州模拟)已知函数 f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a.
(1)若 a＝
1
2
，求函数 f(x)的所有零点；
(2)若 a≥
1
2
，证明函数 f(x)不存在极值．
解析：(1)当 a＝
1
2
时，f(x)＝(x＋2)ln x＋
1
2
x2－4x＋
7
2
，
函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
则 f′(x)＝ln x＋
2
x
＋x－3.
设 g(x)＝ln x＋
2
x
＋x－3，
则 g′(x)＝
1
x
－
2
x2
＋1＝
x2＋x－2
x2
＝
（x＋2）（x－1）
x2
.
当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0，当 x＞1 时，g′(x)＞0，
所以函数 g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以当 x＞0 时，g(x)≥g(1)＝0(当且仅当 x＝1 时取等号)，
即当 x＞0 时，f′(x)≥0(当且仅当 x＝1 时取等号)．
所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，至多有一个零点．
因为 f(1)＝0，所以 x＝1 是函数 f(x)唯一的零点．
所以函数 f(x)的零点只有 x＝1.
(2)证明：法一：f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a，
函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝ln x＋
x＋2
x
＋2ax－4.
当 a≥
1
2
时，f′(x)≥ln x＋
2
x
＋x－3，
由(1)知 ln x＋
2
x
＋x－3≥0.
即当 x＞0 时，f′(x)≥0，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以 f(x)不存在极值．
法二：f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a，
函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且 f′(x)＝ln x＋
x＋2
x
＋2ax－4，
设 m(x)＝ln x＋
x＋2
x
＋2ax－4，
则 m′(x)＝
1
x
－
2
x2
＋2a＝
2ax2＋x－2
x2
(x＞0)．
设 h(x)＝2ax2＋x－2(x＞0)，
当 a≥
1
2
时，令 h(x)＝2ax2＋x－2＝0，
解得 x1＝
－1－ 1＋16a
4a
＜0，x2＝
－1＋ 1＋16a
4a
＞0.
可知当 0＜x＜x2 时，h(x)＜0，即 m′(x)＜0，
当 x＞x2 时，h(x)＞0，即 m′(x)＞0，
所以 f′(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
由(1)知 ln x＋
2
x
＋x－3≥0，
则 f′(x2)＝ln x2＋
2
x2
＋x2－3＋(2a－1)x2≥(2a－1)x2≥0.
所以 f′(x)≥f′(x2)≥0，即 f(x)在定义域上单调递增．
所以 f(x)不存在极值．
[C 组 创新应用练]
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，
体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的
建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π元(π为圆周率)．
(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．
解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为 100×2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为 160πr2 元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意知 200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以 h＝
1
5r
(300－4r2)，
从而 V(r)＝πr2h＝
π
5
(300r－4r3)．
因为 r＞0，h＞0，所以 r＜5 3，
故函数 V(r)的定义域为(0，5 3)．
(2)因为 V(r)＝
π
5
(300r－4r3)，
所以 V′(r)＝
π
5
(300－12r2)．
令 V′(r)＝0，解得 r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当 r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故 V(r)在(0，5)上为增函数；
当 r∈(5，5 3)时，V′(r)＜0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 hr＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
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