2022届高考数学一轮复习第八章第九节第2课时最值范围证明问题课时作业理含解析北师大版

第 2 课时 最值、范围、证明问题 授课提示：对应学生用书第 371 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·河北武邑中学模拟）抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点． （1）O 为坐标原点，求证：OA→ ·OB→ ＝－3； （2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最 小值． 解析：（1）证明：依题意得 F（1，0），且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝ my＋1． 联立 x＝my＋1， y2＝4x， 消去 x 得 y2－4my－4＝0． 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4． x1x2＝（my1＋1）（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1＝1， 故OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝－3． （2）由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2S△AOB． 由（1）知 2S△AOB＝2× 1 2 |OF||y1－y2| ＝ （y1＋y2）2－4y1y2＝4 1＋m2， 所以当 m＝0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4． 2．（2021·张家口联考）过椭圆 C： x2 9 ＋ y2 b2 ＝1（0＜b＜3）的上顶点 A 作相互垂直的两条直 线，分别交椭圆于不同的两点 M，N（点 M，N 与点 A 不重合）． （1）设椭圆的下顶点为 B（0，－b），当直线 AM 的斜率为 5时，若 S△ANB＝2S△AMB，求 b 的值； （2）若存在点 M，N，使得|AM|＝|AN|，且直线 AM，AN 的斜率的绝对值都不为 1，求实 数 b 的取值范围． 解析：设 M（x1，y1），N（x2，y2）．设直线 AM 的斜率为 k，则由条件可知，直线 AM 的方 程为 y＝kx＋b， 于是 b2x2＋9y2＝9b2， y＝kx＋b， 消去 y 整理得 （9k2＋b2）x2＋18kbx＝0， ∴x1＝－ 18bk b2＋9k2 ，同理，x2＝ 18bk b2k2＋9 ． （1）由 S△ANB＝2S△AMB，得 x2＝－2x1， 于是 18bk b2k2＋9 ＝2· 18bk b2＋9k2 ，即 2b2k2＋18＝b2＋9k2， 其中 k＝ 5，代入得 b＝ 3． （2）|AM|＝ 1＋k2·|x1|＝ 1＋k2· |18bk| b2＋9k2 ， |AN|＝ 1＋ 1 k2 ·|x2|＝ 1＋ 1 k2 · |18bk| b2k2＋9 ． 由|AM|＝|AN|，得 1＋k2 b2＋9k2 ＝ 1＋ 1 k2 · 1 b2k2＋9 ， 不妨设 k＞0，且 k≠1， 则有 b2＋9k2＝b2k3＋9k， 整理得（k－1）[b2k2＋（b2－9）k＋b2]＝0． 则 b2k2＋（b2－9）k＋b2＝0 有不为 1 的正根． 只需 Δ＝（b2－9）2－4b4≥0， － b2－9 b2 ＞0， 解得 0＜b＜ 3． ∴实数 b 的取值范围是（0， 3）． [B 组 能力提升练] 1．（2021·成都高三一诊）已知椭圆 x2 5 ＋ y2 4 ＝1 的右焦点为 F，设直线 l：x＝5 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 l1 与椭圆交于 A，B 两点，M 为线段 EF 的中点． （1）若直线 l1 的倾斜角为 π 4 ，求△ABM 的面积 S 的值； （2）过点 B 作直线 BN⊥l 于点 N，证明：A，M，N 三点共线． 解析：（1）由题意，知 F（1，0），E（5，0），M（3，0）． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． ∵直线 l1 的倾斜角为 π 4 ，∴k＝1． ∴直线 l1 的方程为 y＝x－1，即 x＝y＋1． 代入椭圆方程，可得 9y2＋8y－16＝0． ∴y1＋y2＝－ 8 9 ，y1y2＝－ 16 9 ． ∴S△ABM＝ 1 2 ·|FM|·|y1－y2| ＝ （y1＋y2）2－4y1y2 ＝ － 8 9 2 ＋4× 16 9 ＝ 8 10 9 ． （2）证明：设直线 l1 的方程为 y＝k（x－1）． 代入椭圆方程，得（4＋5k2）x2－10k2x＋5k2－20＝0， 即 x1＋x2＝ 10k2 4＋5k2 ，x1x2＝ 5k2－20 4＋5k2 ． ∵直线 BN⊥l 于点 N，∴N（5，y2）． ∴kAM＝ －y1 3－x1 ，kMN＝ y2 2 ． 而 y2（3－x1）－2（－y1）＝k（x2－1）（3－x1）＋2k（x1－1） ＝－k[x1x2－3（x1＋x2）＋5] ＝－k 5k2－20 4＋5k2 －3× 10k2 4＋5k2 ＋5 ＝0， ∴kAM＝kMN，故 A，M，N 三点共线． 2．已知椭圆 M： x2 a2 ＋ y2 3 ＝1（a＞0）的一个焦点为 F（－1，0），左、右顶点分别为 A，B， 经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点． （1）当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； （2）记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2|的最大值． 解析：（1）由题意，c＝1，b2＝3， 所以 a2＝4， 所以椭圆 M 的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得 x2 4 ＋ y2 3 ＝1， y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0，Δ＝288＞0， 设 C（x1，y1），D（x2，y2），x1＋x2＝－ 8 7 ，x1x2＝－ 8 7 ， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 （x1＋x2）2－4x1x2＝ 24 7 ． （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S1－S2|＝0； 当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y＝k（x＋1）（k≠0）， 联立方程，得 x2 4 ＋ y2 3 ＝1， y＝k（x＋1）， 消去 y，得（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＞0，且 x1＋x2＝－ 8k2 3＋4k2 ，x1x2＝ 4k2－12 3＋4k2 ， 此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y2＋y1|＝2|k（x2＋1）＋k（x1＋1）| ＝2|k（x1＋x2）＋2k|＝ 12|k| 3＋4k2 ，因为 k≠0， 上式＝ 12 3 |k| ＋4|k| ≤ 12 2 3 |k| ·4|k| ＝ 12 2 12 ＝ 3 当且仅当 k＝± 3 2 时等号成立 ， 所以|S1－S2|的最大值为 3． [C 组 创新应用练] （2021·石家庄摸底）圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，P 为圆上任意一点，过 P 作 x 轴的垂线，垂 足为 D，点 Q 在 PD 上，且DQ→ ＝ 2 3 DP→ ． （1）求点 Q 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（－ 5，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为（3，0），△MAB 的面积为 S，求 S 的最大值，及 S 取得最大值时直线 AB 的方程． 解析：（1）设 P（x0，y0），则 D（x0，0），设 Q（x，y），则DP→ ＝（0，y0），DQ→ ＝（x－x0， y），因为DQ→ ＝ 2 3 DP→ ， 所以 x0＝x， y0＝ 3 2 y，把 P（x0，y0）代入圆的方程得 x2＋ 9 4 y2＝9，所以点 Q 的轨迹 C 的方程为 x2 9 ＋ y2 4 ＝1． （2）由题意易知直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝ty－ 5，A（x1，y1），B （x2，y2）， 由 x＝ty－ 5， 4x2＋9y2－36＝0， 得（4t2＋9）y2－8 5ty－16＝0， 所以 y1＋y2＝ 8 5t 4t2＋9 ，y1y2＝－ 16 4t2＋9 ． S＝ 1 2 ×（3＋ 5）×|y1－y2| ＝ 3＋ 5 2 × 24 t2＋1 4t2＋9 ＝ 12（3＋ 5） t2＋1 4t2＋9 ＝12（3＋ 5）· 1 4 t2＋1＋ 5 t2＋1 ≤12（3＋ 5）× 1 2 20 ＝ 12（3＋ 5） 4 5 ＝ 15＋9 5 5 ， 当且仅当 t＝± 1 2 时取等号， 所以△MAB 的面积 S 的最大值为 15＋9 5 5 ， 当 S 取得最大值时，直线 AB 的方程为 y＝2x＋2 5或 y＝－2x－2 5．