2022届高考数学一轮复习第八章第一节直线与直线方程课时作业理含解析北师大版

第一节 直线与直线方程 授课提示：对应学生用书第 353 页 [A 组 基础保分练] 1．已知直线 l 过点（0，0）和（3，1），则直线 l 的斜率为（ ） A．3 B． 1 3 C．－ 1 3 D．－3 解析：由斜率公式可得，直线 l 的斜率 k＝ 1－0 3－0 ＝ 1 3 ． 答案：B 2．（2021·泰安模拟）倾斜角为 120°，在 x 轴上的截距为－1 的直线方程是（ ） A． 3x－y＋1＝0 B． 3x－y－ 3＝0 C． 3x＋y－ 3＝0 D． 3x＋y＋ 3＝0 解析：由于倾斜角为 120°，故斜率 k＝－ 3．又直线过点（－1，0），所以方程为 y＝－ 3 （x＋1），即 3x＋y＋ 3＝0． 答案：D 3．（2021·广州质检）若直线 l 与直线 y＝1，x＝7 分别交于点 P，Q，且线段 PQ 的中点坐标 为（1，－1），则直线 l 的斜率为（ ） A． 1 3 B．－ 1 3 C．－ 3 2 D． 2 3 解析：依题意，设点 P（a，1），Q（7，b），则有 a＋7＝2， b＋1＝－2， 解得 a＝－5， b＝－3， 从而可知直线 l 的斜率为 －3－1 7＋5 ＝－ 1 3 ． 答案：B 4．在同一平面直角坐标系中，直线 l1：ax＋y＋b＝0 和直线 l2：bx＋y＋a＝0 有可能是（ ） 解析：直线 l1：ax＋y＋b＝0 和直线 l2：bx＋y＋a＝0 分别化为 l1：y＝－ax－b，l2：y＝－ bx－a，可知，l1 的斜率与 l2 的截距相同，l1 的截距与 l2 的斜率相同，据此可判断出：只有 B 满足上述条件． 答案：B 5．（2021·济南调研）在等腰三角形 MON 中，MO＝MN，点 O（0，0），M（－1，3），点 N 在 x 轴的负半轴上，则直线 MN 的方程为（ ） A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0 解析：因为 MO＝MN，所以直线 MN 的斜率与直线 MO 的斜率互为相反数，所以 kMN＝－ kMO＝3，所以直线 MN 的方程为 y－3＝3（x＋1），即 3x－y＋6＝0． 答案：C 6．直线 x－2y＋b＝0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是（ ） A．[－2，2] B．（－∞，－2]∪[2，＋∞） C．[－2，0）∪（0，2] D．（－∞，＋∞） 解析：令 x＝0，得 y＝ b 2 ， 令 y＝0，得 x＝－b， 所以所求三角形的面积为 1 2 |b 2||－b|＝ 1 4 b2，且 b≠0， 1 4 b2≤1，所以 b2≤4，所以 b 的取值 范围是[－2，0）∪（0，2]． 答案：C 7．过点 M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________． 解析：若直线过原点，则 k＝－ 4 3 ，所以 y＝－ 4 3 x，即 4x＋3y＝0．若直线不过原点，设直线 方程为 x a ＋ y a ＝1，即 x＋y＝a．则 a＝3＋（－4）＝－1，所以直线的方程为 x＋y＋1＝0． 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0 8．过点 A（2，1），其倾斜角是直线 l1：3x＋4y＋5＝0 的倾斜角的一半的直线 l 的方程为 _________． 解析：设直线 l 和 l1 的倾斜角分别为α，β， 则α＝ β 2 ∈ 0， π 2 ，又 tan β＝－ 3 4 ，则－ 3 4 ＝ 2tan α 1－tan2α ，解得 tan α＝3 或 tan α＝－ 1 3 （舍去）． 由点斜式得 y－1＝3（x－2），即 3x－y－5＝0． 答案：3x－y－5＝0 9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程： （1）过定点 A（－3，4）； （2）斜率为 1 6 ． 解析：（1）设直线 l 的方程为 y＝k（x＋3）＋4，它在 x 轴，y 轴上的截距分别是－ 4 k －3，3k ＋4，由已知，得（3k＋4）× 4 k ＋3 ＝±6，解得 k1＝－ 2 3 或 k2＝－ 8 3 ． 故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0． （2）设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y＝ 1 6 x＋b，它在 x 轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6， 所以 b＝±1． 所以直线 l 的方程为 x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0． 10．如图，射线 OA，OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点 P（1，0）作直线 AB 分 别交 OA，OB 于 A，B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y＝ 1 2 x 上时，求直线 AB 的方程． 解析：由题意可得 kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan（180°－30°）＝－ 3 3 ， 所以直线 lOA：y＝x，lOB：y＝－ 3 3 x． 设 A（m，m），B（－ 3n，n）， 所以 AB 的中点 C m－ 3n 2 ， m＋n 2 ， 由点 C 在直线 y＝ 1 2 x 上，且 A，P，B 三点共线得 m＋n 2 ＝ 1 2 · m－ 3n 2 ， m－0 m－1 ＝ n－0 － 3n－1 ， 解得 m＝ 3，所以 A（ 3， 3）． 又 P（1，0），所以 kAB＝kAP＝ 3 3－1 ＝ 3＋ 3 2 ， 所以 lAB：y＝ 3＋ 3 2 （x－1）， 即直线 AB 的方程为（3＋ 3）x－2y－3－ 3＝0． [B 组 能力提升练] 1．过点（－10，10）且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 4 倍的直线的方程为（ ） A．x－y＝0 B．x＋4y－30＝0 C．x＋y＝0 或 x＋4y－30＝0 D．x＋y＝0 或 x－4y－30＝0 解析：由题意，当直线经过原点时，直线的方程为 x＋y＝0；当直线不经过原点时，设直线的 方程为 x 4a ＋ y a ＝1，则 －10 4a ＋ 10 a ＝1，解得 a＝ 15 2 ，此时直线的方程为 x 30 ＋ 2y 15 ＝1，即 x＋4y －30＝0． 答案：C 2．（2021·成都诊断）设 P 为曲线 C：y＝x2＋2x＋3 上的点，且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜 角的取值范围为 0， π 4 ，则点 P 横坐标的取值范围为（ ） A． －1，－ 1 2 B．[－1，0] C．[0，1] D． 1 2 ，1 解析：由题意知 y′＝2x＋2，设 P（x0，y0），则 k＝2x0＋2．因为曲线 C 在点 P 处的切线倾 斜角的取值范围为 0， π 4 ，则 0≤k≤1，即 0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－ 1 2 ． 答案：A 3．已知动直线 l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点 P（1，m）且点 Q（4，0）到动 直线 l 的最大距离为 3，则 1 2a ＋ 2 c 的最小值为（ ） A． 9 2 B． 9 4 C．1 D．9 解析：因为动直线 l：ax＋by＋c－2＝0（a＞0，c＞0）恒过点 P（1，m），所以 a＋bm＋c －2＝0，又点 Q（4，0）到动直线 l 的最大距离为 3，所以 （4－1）2＋（－m）2＝3，解 得 m＝0，所以 a＋c＝2，则 1 2a ＋ 2 c ＝ 1 2 （a＋c）· 1 2a ＋ 2 c ＝ 1 2 5 2 ＋ c 2a ＋ 2a c ≥ 1 2 5 2 ＋2 c 2a · 2a c ＝ 9 4 ，当且仅当 c＝2a＝ 4 3 时取等号． 答案：B 4．若直线 l：kx－y＋2＋4k＝0（k∈R）交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B，则当△ AOB 的面积取最小值时直线 l 的方程为（ ） A．x－2y＋4＝0 B．x－2y＋8＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＋8＝0 解析：由 l 的方程，得 A － 2＋4k k ，0 ，B（0，2＋4k）． 依 题 意 得 － 2＋4k k ＜0， 2＋4k＞0， 解 得 k ＞ 0 ． 因 为 S ＝ 1 2 |OA| · |OB| ＝ 1 2 |2＋4k k | · |2 ＋ 4k| ＝ 1 2 · （2＋4k）2 k ＝ 1 2 16k＋ 4 k ＋16 ≥ 1 2 ×（2×8＋16）＝16，当且仅当 16k＝ 4 k ，即 k＝ 1 2 时等号 成立．此时 l 的方程为 x－2y＋8＝0． 答案：B 5．已知三角形的三个顶点 A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则 BC 边上中线所在的直 线方程为_________． 解析：BC 的中点坐标为 M 3 2 ，－ 1 2 ，所以 BC 边上中线 AM 所在直线斜率为 k＝ － 1 2 －0 3 2 ＋5 ＝－ 1 13 ，所以 AM 所在直线方程为 y＝－ 1 13 （x＋5），即 x＋13y＋5＝0． 答案：x＋13y＋5＝0 6．已知直线 l 过坐标原点，若直线 l 与线段 2x＋y＝8（2≤x≤3）有公共点，则直线 l 的斜率 的取值范围是_________． 解析：设直线 l 与线段 2x＋y＝8（2≤x≤3）的公共点为 P（x，y）， 则点 P（x，y）在线段 AB 上移动，且 A（2，4），B（3，2）， 设直线 l 的斜率为 k， 又 kOA＝2，kOB＝ 2 3 ． 如图所示，可知 2 3 ≤k≤2． ∴直线 l 的斜率的取值范围是 2 3 ，2 ． 答案： 2 3 ，2 7．过点 P（2，1）的直线 l 交 x 轴、y 轴正半轴于 A，B 两点，求使： （1）△AOB 面积最小时 l 的方程； （2）|PA|·|PB|最小时 l 的方程． 解析：设直线 l 的方程为 y－1＝k（x－2）（k＜0）， 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A 2－ 1 k ，0 ，B（0，1－2k）． （1）S△AOB＝ 1 2 2－ 1 k （1－2k） ＝ 1 2 × 4＋（－4k）＋ － 1 k ≥ 1 2 ×（4＋4）＝4． 当且仅当－4k＝－ 1 k ，即 k＝－ 1 2 时取最小值，此时直线 l 的方程为 y－1＝－ 1 2 （x－2）， 即 x＋2y－4＝0． （2）|PA|·|PB|＝ 1 k 2 ＋1· 4＋4k2 ＝ 4 k2 ＋4k2＋8≥4， 当且仅当 4 k2 ＝4k2，即 k＝－1 时取得最小值，此时直线 l 的方程为 y－1＝－（x－2），即 x＋ y－3＝0． [C 组 创新应用练] 1．经过抛物线 y2＝2x 的焦点且平行于直线 3x－2y＋5＝0 的直线 l 的方程是（ ） A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0 C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0 解析：因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为 1 2 ，0 ，直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为 3 2 ，所以所求直 线 l 的方程为 y＝ 3 2 x－ 1 2 ，化为一般式，得 6x－4y－3＝0． 答案：A 2．已知函数 f（x）＝asin x－bcos x（a≠0，b≠0），若 f π 4 －x ＝f π 4 ＋x ，则直线 ax－by ＋c＝0 的倾斜角为（ ） A． π 4 B． π 3 C． 2π 3 D． 3π 4 解析：由 f π 4 －x ＝f π 4 ＋x 知函数 f（x）的图像关于 x＝ π 4 对称，所以 f（0）＝f π 2 ，所以 a ＝－b，由直线 ax－by＋c＝0 知其斜率 k＝ a b ＝－1，所以直线的倾斜角为 3π 4 ． 答案：D 3．如图，在两条互相垂直的道路 l1，l2 的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路 l1 的垂直 距离为 4 米，到道路 l2 的垂直距离为 3 米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条 人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为 米． 解析：如图建立平面直角坐标系，设人行道所在直线方程为 y－4＝k（x－3）（k＜0），所以 A 3－ 4 k ，0 ，B（0，4－3k），所以△ABO 的面积 S＝ 1 2 （4－3k） 3－ 4 k ＝ 1 2 24－9k－ 16 k ， 因为 k＜0，所以－9k－ 16 k ≥2 （－9k） － 16 k ＝24，当且仅当－9k＝－ 16 k ，即 k＝－ 4 3 时 取等号．此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为 62＋82＝10 米． 答案：10