2022届高考数学一轮复习第二章第二节函数的单调性与最值课时作业理含解析北师大版

函数的单调性与最值 授课提示：对应学生用书第 273 页 [A 组 基础保分练] 1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ） A.y＝ 1 1－x B.y＝cos x C.y＝ln（x＋1） D.y＝2－x 解析：函数 y＝ 1 1－x ，y＝ln（x＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数 y＝cos x 在（－1， 0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数 y＝2－x＝ 1 2 x 在（－1，1）上是减函数. 答案：D y＝ x2－2x＋3有（ ） A.最小值 2 2 C.最大值 2 2 解析：易知 y＝ （x－1）2＋2，因为（x－1）2＋2≥2，所以 y≥ 2. 答案：B f（x）＝ 1 1－x（1－x） 的最大值是（ ） A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 4 3 解析：由 f（x）＝ 1 x－ 1 2 2 ＋ 3 4 ≤ 4 3 ， 则 f（x）max＝ 4 3 . 答案：D f（x）的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞）时，f（x）是增函数，则 f（－2），f（π），f（－3） 的大小关系是（ ） A.f（π）＞f（－3）＞f（－2） B.f（π）＞f（－2）＞f（－3） C.f（π）＜f（－3）＜f（－2） D.f（π）＜f（－2）＜f（－3） 解析：因为 f（x）是偶函数，所以 f（－3）＝f（3），f（－2）＝f（2）.又因为函数 f（x）在 [0，＋∞）上是增函数，所以 f（π）＞f（3）＞f（2），即 f（π）＞f（－3）＞f（－2）. 答案：A 5.函数 f（x）＝loga（x2－4x－5）（a＞1）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（2，＋∞） D.（5，＋∞） 解析：根据题意，得 x2－4x－5＞0，解得 x＜－1 或 x＞5，设 u＝x2－4x－5＝（x－2）2－9， 易知 u＝x2－4x－5 的单调递增区间为（2，＋∞），所以 f（x）＝loga（x2－4x－5）的单调 递增区间是（5，＋∞）. 答案：D f（x）＝log2x＋ 1 1－x ，若 x1∈（1，2），x2∈（2，＋∞），则（ ） A.f（x1）＜0，f（x2）＜0 B.f（x1）＜0，f（x2）＞0 C.f（x1）＞0，f（x2）＜0 D.f（x1）＞0，f（x2）＞0 解析：因为函数 f（x）＝log2x＋ 1 1－x 在（1，＋∞）上为增函数，且 f（2）＝0，所以当 x1 ∈（1，2）时，f（x1）＜f（2）＝0； 当 x2∈（2，＋∞）时，f（x2）＞f（2）＝0， 即 f（x1）＜0，f（x2）＞0. 答案：B f（x）＝ x x－1 （x≥2）的最大值为__________. 解析：易得 f（x）＝ x x－1 ＝1＋ 1 x－1 ， 当 x≥2 时，x－1＞0，易知 f（x）在[2，＋∞）上是减函数， ∴f（x）max＝f（2）＝1＋ 1 2－1 ＝2. 答案：2 f（x）＝ －x2＋4x，x≤4， log2x，x>4. 若函数 y＝f（x）在区间（a，a＋1）上是增加的，则实数 a 的取 值范围是__________. 解析：作出函数 f（x）的图像如图所示，由图像可知 f（x）在（a，a＋1）上是增加的，需满 足 a≥4 或 a＋1≤2，即 a≤1 或 a≥4. 答案：（－∞，1]∪[4，＋∞） f（x）＝ x x－a （x≠a）. （1）若 a＝－2，试证 f（x）在（－∞，－2）上单调递增； （2）若 a＞0 且 f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求 a 的取值范围. 解析：（1）证明：设 x1＜x2＜－2， 则 f（x1）－f（x2）＝ x1 x1＋2 － x2 x2＋2 ＝ 2（x1－x2） （x1＋2）（x2＋2） . 因为（x1＋2）（x2＋2）＞0，x1－x2＜0， 所以 f（x1）－f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2）， 所以 f（x）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设 1＜x1＜x2， 则 f（x1）－f（x2）＝ x1 x1－a － x2 x2－a ＝ a（x2－x1） （x1－a）（x2－a） . 因为 a＞0，x2－x1＞0，所以要使 f（x1）－f（x2）＞0， 只需（x1－a）（x2－a）＞0 恒成立， 所以 a≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1]. [B 组 能力提升练] f（x）中，满足“对任意的 x1，x2∈（0，＋∞）时，均有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0” 的是（ ） A.f（x）＝ 1 2 B.f（x）＝x2－4x＋4 C.f（x）＝2x D.f（x）＝log 1 2 x 解析：（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 等价于 x1－x2 与 f（x1）－f（x2）正负号相同，故函 数 f（x）在（0，＋∞f（x）＝2x 符合. 答案：C f（x）满足 f（x－1）＝f（5－x），且对任意的 x1，x2∈[2，＋∞），x1≠x2，都有 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0 成立，若 p＝f（log216），q＝f（log47），m＝f 1 5 2 5 ，则 p，q，m 的大小关系为（ ） A.q＜m＜p B.p＜m＜q C.q＜p＜m D.p＜q＜m 解析：∵f（x－1）＝f（5－x），∴函数 f（x）的图像关于直线 xx1，x2∈[2，＋∞），x1≠x2， 都有 f（x1）－f（x2） x1－x2 ＜0 成立，∴f（x）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单 调递增.∵log216＝4，∴f（log216）＝f（4）＝f（0），又 1＜log47＜log48＝ 3 2 ，0＜ 1 5 2 5＜1， ∴0＜ 1 5 2 5＜1＜log47＜2，∴p＜m＜q. 答案：B ⊕：当 a≥b 时，a⊕b＝a；当 a