第二章 第九节 导数概念及其运算、定积分
授课提示:对应学生用书第 287 页
[A 组 基础保分练]
1.∫
π
20(sin x-acos x)dx=2,则实数 a 等于( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解析:由题意知(-cos x-asin x)|
π
20=1-a=2,a=-1.
答案:A
2.函数 f(x)=exln x 在点(1,f(1))处的切线方程是( )
A.y=2e(x-1) B.y=ex-1
C.y=e(x-1) D.y=x-e
解析:f(1)=0,∵f′(x)=ex
ln x+
1
x ,∴f′(1)=e,
∴切线方程是 y=e(x-1).
答案:C
3.(2021·南昌模拟)已知 f(x)在 R 上连续可导,f′(x)为其导函数,且 f(x)=ex+e-x-xf′(1)·(ex
-e-x),则 f′(2)+f′(-2)-f′(0)f′(1)=( )
A.4e2+4e-2 2-4e-2
C.0 D.4e2
解析:函数 f(-x)=e-x+ex-(-x)f′(1)·(e-x-ex)=f(x),即函数 f(x)是偶函数,两边对 x 求导
数,得-f′(-x)=f′(x).即 f′(-x)=-f′(x),则 f′(x)是 R 上的奇函数,则 f′(0)=0,f′(-2)=
-f′(2),即 f′(2)+f′(-2)=0,则 f′(2)+f′(-2)-f′(0)f′(1)=0.
答案:C
4.曲线 y=ax 在 x=0 处的切线方程是 xln 2+y-1=0,则 a=( )
A.
1
2
C.ln 2 D.ln
1
2
解析:由题意知,y′=axln a,则在 x=0 处,y′=ln a,又切点为(0,1),∴切线方程为 xln a
-y+1=0,∴a=
1
2
.
答案:A
5.设函数 f(x)=x+
1
x
+b,若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处的切线经过坐标原点,则 ab=( )
A.1
C.-1 D.-2
解析:由题意可得,f(a)=a+
1
a
+b,f′(x)=1-
1
x2
,所以 f′(a)=1-
1
a2
,故切线方程是 y-a-
1
a
-b=
1-
1
a2 (x-a),将(0,0)代入得-a-
1
a
-b=
1-
1
a2 (-a),故 b=-
2
a
,故 ab=-2.
答案:D
6.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图像.那么 y=f(x),y=g(x)的图像可能是
( )
解析:由 y=f′(x)的图像知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在
(0,+∞y=f′(x)与 y=g′(x)的图像在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图像在 x=x0 处
的切线的斜率相同,故排除 B.
答案:D
7.(2021·天津模拟)已知函数 f(x)=(x2-a)ln x,f′(x)是函数 f(x)的导函数,若 f′(1)=-2,则
a 的值为________.
解析:∵f(x)=(x2-a)ln x(x>0),∴f′(x)=2xln x+
x2-a
x
,∴f′(1)=1-a=-2,得 a=3.
答案:3
8.已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=x3-ln x,则曲线 y=f(x)在点(-1,-1)处的
切线的斜率为________.
解析:因为当 x>0 时,f(x)=x3-ln x,所以当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x3-ln(-x).因
为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=x3+ln(-x),则 f′(x)=3x2+
1
x
,所以 f′(-1)=2,
所以曲线 y=f(x)在点(-1,-1)处的切线的斜率为 2.
答案:2
9.已知函数 f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线 f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程.
解析:(1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1,又 f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程
为 y+2=x-2,即 x-y-4=0.
(2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点 P(x0,x3
0-4x2
0+5x0-4),
∵f′(x0)=3x2
0-8x0+5,
∴切线方程为 y-(x3
0-4x2
0+5x0-4)=(3x2
0-8x0+5)·(x-x0),
又切线过点 A(2,-2),
∴-2-(x3
0-4x2
0+5x0-4)=(3x2
0-8x0+5)(2-x0),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得 x0=2
或 1,
∴经过点 A(2,-2)的曲线 f(x)的切线方程为 x-y-4=0 或 y+2=0.
10.(2021·淮南模拟)已知函数 f(x)=x2-ln x.
(1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)在函数 f(x)=x2-ln x 的图像上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点
的横坐标都在区间
1
2
,1
上?若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由.
解析:(1)由题意可得 f(1)=1,且 f′(x)=2x-
1
x
,f′(1)=2-1=1,则所求切线方程为 y-1=1
×(x-1),即 y=x.
(2)假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
则 x1,x2∈
1
2
,1
,不妨设 x1<x2,
结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得
2x1-
1
x1
2x2-
1
x2 =-1,
又函数 f′(x)=2x-
1
x
在区间
1
2
,1
上单调递增,函数的值域为[-1,1],
故-1≤2x1-
1
x1
<2x2-
1
x2
≤1,
据此有
2x1-
1
x1
=-1,
2x2-
1
x2
=1,
解得 x1=
1
2
,x2=1
x1=-1,x2=-
1
2
舍去
,
故存在两点
1
2
,ln 2+
1
4 ,(1,1)满足题意.
[B 组 能力提升练]
1.(2021·南阳模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x,则 f(e)=( )
A.e B.-
1
e
C.-1 D.-e
解析:由 f(x)=2xf′(e)+ln x,得 f′(x)=2f′(e)+
1
x
,则 f′(e)=2f′(e)+
1
e
,所以 f′(e)=-
1
e
,故
f(x)=-
2
e
x+ln x,所以 f(e)=-1.
答案:C
2.(2021·保定模拟)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x
+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )
A.2 B.
1
4
C.4 D.-
1
2
解析:因为曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,所以 g′f′(x)=g′(x)+2x,
故曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 f′(1)=g′(1)+2=4.
答案:C
3.(2021·广州模拟)已知过点 A(a,0)作曲线 C:y=x·ex 的切线有且仅有两条,则实数 a 的取
值范围是( )
A.(-∞,-4)∪(0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
解析:对 y=x·ex 求导得 y′=ex+x·ex=(1+x)ex.设切点坐标为(x0,x0ex0),则过点 A(a,0)
的切线斜率 k=(1+x0)ex0=
x0ex0
x0-a
,化简得 x2
0-ax0-a=0.依题意知,上述关于 x0 的二次方
程 x2
0-ax0-a=0 有两个不相等的实数根,所以Δ=(-a)2-4×1×(-a)>0,解得 a<-4 或
a>0.
答案:A
4.(2021·宣城模拟)若曲线 y=aln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是
π
3
,
π
2 ,则 a=
( )
A.
1
24
B.
3
8
C.
3
4
D.
3
2
解析:因为 y=aln x+x2(a>0),所以 y′=
a
x
+2x≥2 2a,因为曲线的切线的倾斜角的取值范
围是
π
3
,
π
2 ,所以斜率 k≥ 3,因为 3=2 2a,所以 a=
3
8
.
答案:B
5.已知曲线 y=
1
x
+
ln x
a
在 x=1 处的切线 l 与直线 2x+3y=0 垂直,则实数 a 的值为________.
解析:y′=-
1
x2
+
1
ax
,当 x=1 时,y′=-1+
1
a
.由于切线 l 与直线 2x+3y=0 垂直,所以
-1+
1
a ·
-
2
3 =-1,解得 a=
2
5
.
答案:
2
5
6.(2021·乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos
x(a,b,m∈R)相切于点(0,1),则
a+b
m
的值为________.
解析:根据题意,若直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos x(a,b,m∈R)相切于点(0,1),
则点(0,1)为直线 y=x+m 与曲线 y=asin x+bcos x 的交点,
则 1=0+m 且 1=asin 0+bcos 0,解得 m=1,b=1.
由 y=asin x+bcos x,得 y′=a·cos x-b·sin x,
所以当 x=0 时,y′=a·cos 0-b·sin 0=1,解得 a=1,
则
a+b
m
=
1+1
1
=2.
答案:2
7.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数 f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值;
(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.
解析:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
(1)由题意得
f(0)=b=0,
f′(0)=-a(a+2)=-3,
解得 b=0,a=-3 或 a=1.
(2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,
所以关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即 4a2+4a+1>0,
所以 a≠-
1
2
.
所以 a 的取值范围为
-∞,-
1
2 ∪
-
1
2
,+∞
.
[C 组 创新应用练]
1.给出定义:设 f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,f″(x)是函数 f′(x)的导函数,若方程 f″(x)=0 有
实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 f(x)的“拐点”.已知函数 f(x)=3x+4sin x-cos x 的拐
点是 M(x0,f(x0)),则点 M( )
A.在直线 y=-3x 上
B.在直线 y=3x 上
C.在直线 y=-4x 上
D.在直线 y=4x 上
解析:f′(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,结合题意知 4sin x0-cos x0=0,
所以 f(x0)=3x0,故 M(x0,f(x0))在直线 y=3x 上.
答案:B
2.在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8),则 f′(0)=( )
A.26 9
C.212 D.215
解析:因为 f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)·
…·(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′·x,
所以 f′(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列,所以 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以 f′(0)=84=212.
答案:C
3.(2021·长春模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 y=x 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图
形绕 x 轴旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥=错误!πx2dx=
π
3
x3|1
0=
π
3
.据此类比:
将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,则
该旋转体的体积 V=________.
解析:类比已知结论,将曲线 y=2ln x 与直线 y=1 及 x 轴、y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一
周得到旋转体的体积应为一定积分,被积函数为π(e
y
2)2=πey,积分变量为 y,积分区间为[0,
1],即 V=错误!
1
0=π(e-1).
答案:π(e-1)