用样本估计总体
授课提示：对应学生用书第 395 页
[A 组 基础保分练]
1.（2021·广东惠州一调）已知数据 x1，x2，…，x10，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 x1，
x2，…，x10 相对于原数据（ ）
A.一样稳定
C.变得不稳定
解析：数据 x1，x2，…，x10，2 的平均值为 2，方差为 1，故
1
11
[（x1－2）2＋（x2－2）2＋…
＋（x10－2）2＋（2－2）2]＝1，数据 x1，x2，…，x10 的方差 s2＝
1
10
[（x1－2）2＋（x2－2）
2＋…＋（x10－2）2]＞1，故相对于原数据变得不稳定.
答案：C
2.样本中共有五个个体，其值分别为 0，1，2，3，m.若该样本的平均值为 1，则其方差为
（ ）
A.
10
5
B.
30
5
C. 2
解析：依题意得 m＝5×1－（0＋1＋2＋3）＝－1，样本方差 s2＝
1
5
（12＋02＋12＋22＋22）
＝2，即所求的样本方差为 2.
答案：D
3.在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极
差与中位数之和为 61，则被污染的数字为（ ）
A.1
C.3
解析：由题图可知该组数据的极差为 48－20＝28，则该组数据的中位数为 61－28＝33，易
得被污染的数字为 2.
答案：B
4.（2020·高考天津卷）从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分
为 9 组： [5.31，5.33）， [5.33，5.35），…，[5.45，5.47），[5.47，5.49]，并整理得到如
下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 [5.43，5.47）内的个数为（ ）
A.10
C.20
解析：根据频率分布直方图，直径落在区间 [5.43，5.47）之间的零件频率为：
（6.25＋5.00）×0.02＝0.225，
则直径落在区间 [5.43，5.47）内的零件个数为 80×0.225＝18.
答案：B
5.（2021·四川五校联考）如图为截至 2019 年 3 月末，我国的外汇储备近 1 年的变化折线图，
由此得到以下说法，其中叙述正确的是（ ）
A.近 1 年来，我国外汇储备月增长量最大的月份是 2019 年 3 月
B.2018 年 4 月至 10 月，我国外汇储备连续下降
C.2018 年底，我国外汇储备降至近年来最低
，我国外汇储备连续五个月上升
解析：选项 A，由题图知，我国外汇储备月增长量最大的月份是 2019 年 1 月，A 错误；选项
B，2018 年 4 月至 10 月，我国外汇储备有升有降，B 错误；选项 C，由题图无法说明 2018
年底，我国外汇储备降至近年来最低，C 错误；选项 D，我国外汇储备自 2018 年 11 月起连
续上升，2019 年 3 月为第五个月，D 正确.
答案：D
6.（2021·长郡中学模拟）若 x1，x2，…，x2 020 的平均数为 3，标准差为 4，且 yi＝－3（xi－
2），i＝1，2，…，2 020，则新数据 y1，y2，…，y2 020 的平均数和标准差分别为（ ）
A.－9，12 B.－9，36
C.3，36 D.－3，12
解析：由平均数和标准差的性质可知，若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为x
－
，标准差为 s，则
kx1＋b，kx2＋b，kx3＋b，…，kxn＋b 的平均数为 kx
－
＋b，标准差为|k|s，据此结合题意可得，
y1，y2，…，y2 020 的平均数为－3（3－2）＝－3，标准差为 3×4＝12.
答案：D
7.（2021·湖南湘东五校联考）已知等差数列{an}的公差为 d，若 a1，a2，a3，a4，a5 的方差为
8，则 d 的值为_________.
解析：依题意，由等差数列的性质得 a1，a2，a3，a4，a5 的平均数为 a3，则由方差公式得
1
5
×
[（a1－a3）2＋（a2－a3）2＋（a3－a3）2＋（a4－a3）2＋（a5－a3）2]＝8，所以 d＝±2.
答案：±2
8.某校女子篮球队 7 名运动员身高（单位：cm）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为
175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为 x，那么 x
的值为_________.
解析：170＋
1
7
×（1＋2＋x＋4＋5＋10＋11）＝175，
1
7
×（33＋x）＝5，即 33＋x＝35，解得 x＝2.
答案：2
9.（2021·合肥调研）某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行
目标管理，销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为
此该公司随机抽取了 50 位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率
分布直方图，其中，[14，16）小组对应的数据缺失：
（1）（ⅰ）根据图中数据，求出月销售额在[14，16）内的频率；
（ⅱ）根据频率分布直方图估计月销售额目标定为多少万元时，能够使 70%的推销员完成任
务，说明理由；
（2）该公司决定从月销售额在[22，24）和[24，26]两个小组的推销员中，选取 2 位介绍销
售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
解析：（1）（ⅰ）月销售额在[14，16）内的频率为 1－2×（0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02
＋0.02）＝0.12.
（ⅱ）若 70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着 30%的推销员不能完成该目标，根据
频率分布直方图知，[12，14）和[14，16）两组的频率之和为 0.18，故估计月销售额目标应
定为 16＋错误!＝17（万元）.
（2）根据频率分布直方图可知，[22，24）和[24，26]两组的频率之和为 0.08，由 50×0.08
＝4 可知待选的推销员一共有 4 人，设这 4 人分别为 A1，A2，B1，B2，则不同的选择有{A1，
A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{B1，B2}，一共 6 种情况，每一种情况都是
等可能的，而 2 人来自同一组的情况有 2 种，故选出的推销员来自同一个小组的概率为 P＝
2
6
＝
1
3
.
[B 组 能力提升练]
1.某位教师 2020 年的家庭总收入为 80 000 元，各种用途占比统计如下面的折线图.2021 年
收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知 2021 年的就医费用比 2017 年增加了 4 750
元，则该教师 2021 年的家庭总收入为（ ）
A.100 000 元 B.95 000 元
C.90 000 元 D.85 000 元
解析：由已知得，2020 年的就医费用为 80 000×10%＝8 000（元），故 2021 年的就医费用
为 8 000＋4 750＝12 750（元），所以该教师 2021 年的家庭总收入为
12 750
15%
＝85 000（元）.
答案：D
某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图
所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第
二小组的频数是 40，则成绩在 80～100 分的学生人数是（ ）
A.15
C.20
解析：×10＝0.4，因为频数是 40，所以样本容量是
40
0.4
＝100，又成绩在 80～100 分的频率
是（0.01＋0.005）×10＝0.15，所以成绩在 80～100 分的学生人数是 100×0.15＝15.
答案：A
3.在一次 53.5 千米的自行车个人赛中，25 名参赛选手成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，
现将参赛选手按成绩由好到差编为 1－25 号，再用系统抽样的方法从中选取 5 人，已知选手
甲的成绩为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩的平均数为（ ）
A.95
C.97
解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他 4 人的成绩分别是 88，94，99，107，故
平均数为
88＋94＋99＋107
4
＝97.
答案：C
4.在某次赛车中，50 名参赛选手的成绩（单位：min）全部介于 13 到 18 之间（包括 13 和
18），将比赛成绩分为五组：第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18].其频
率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15）内的选手可获奖，则这 50 名选手中获奖的人数
为（ ）
A.39
C.15
解析：由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为（0.38＋0.32＋0.08）×1＝0.78，所
以成绩在[13，15）内的频率为 1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15）内的选手有 50×0.22＝
11（人），即这 50 名选手中获奖的人数为 11.
答案：D
x1，x2，…，x10 的标准差为 8，则数据 2x1－1，2x2－1，…，2x10－1 的标准差为_________.
解析：依题意，x1，x2，x3，…，x10 的方差 s2＝64，则数据 2x1－1，2x2－1，…，2x10－1
的方差为 22s2＝22×64，所以其标准差为 22×64＝2×8＝16.
答案：16
6.在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，
其中一个数据的十位数字 1 未被污损，即 9，10，11，1■，■，那么这组数据的方差 s2 可能
的最大值是_________.
解析：设这组数据的最后两个分别是 10＋x，y，则 9＋10＋11＋（10＋x）＋y＝50，得 x
＋y＝10，故 y＝10－x，故 s2＝
1＋0＋1＋x2＋（－x）2
5
＝
2
5
＋
2
5
x2，显然 x 取 9 时，s2 有最大
值 32.8，故答案为 32.8.
答案：
7.（2021·合肥调研）第 24 届冬奥会将于 2022 年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，
让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了 100 名
学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图估计，这 100 人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代
替）；
（2）若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的学生中共抽取 6 人，
再将其随机地分配到 3 个社区开展冬奥会宣传活动（每个社区 2 人），求“成绩在同一区间的
学生分配到不同社区”的概率.
解析：（1）平均成绩x
－
××××××95＝73.00.
（2）由题意知，从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的学生中分别选取了 3 人，2 人，
1 人.
6 人平均分成 3 组分配到 3 个社区，共有 C2
6C2
4＝90 种方法.
成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有 A3
3A2
3＝36（种），
所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率 P＝
36
90
＝
2
5
.
[C 组 创新应用练]
某市为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用
水量不超过 a 吨的部分按平价收费，超出 a 吨的部分按议价收费.为了解居民的月均用水量（单
位：吨），现随机调查 1 000 位居民，并对收集到的数据进行分组，具体情况见下表：
月均用
水量/吨
[0，0.5）
[0.5
，1）
[1，
1.5
）
[1.5，
2）
[2，
2.5）
[2.5
，3）
[3，
3.5
）
[3.
5，
4）
[4，
4.5]
居民数 50 80 5x 220 250 80 60 x 20
（1）求 x 的值，并画出频率分布直方图；
（2）若该市希望使 80%的居民月均用水量不超过 a 吨，试估计 a 的值，并说明理由；
（3）根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值.
解析：（1）由已知得 6x＝1 000－（50＋80＋220＋250＋80＋60＋20），解得 x
月均用水
量/吨
[0，0.5）
[0.5，
1）
[1，
1.5）
[1.5，
2）
[2，
2.5）
[2.5，
3）
[3，
3.5）
[3.5，
4）
[4，
4.5]
频率
画出频率分布直方图如图所示.
（2）由（1）知前 5 组的频率之和为 0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故 a＝2.5.
（3）由样本估计总体，该市居民月用水量的平均值为×××××××××0.02＝1.92.
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