2022届高考数学一轮复习第三章第七节解三角形应用举例课时作业理含解析北师大版

第七节 解三角形应用举例 授课提示：对应学生用书第 313 页 [A 组 基础保分练] 1．在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60°，C 点的俯角是 70°，则 ∠BAC 等于（ ） A．10° B．50° C．120° D．130° 解析：由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°， ∴∠BAC＝60°＋70°＝130°． 答案：D 2．如图所示，B，C，D 三点在地面同一直线上，DC＝a，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分 别为β和α（α＜β），则 A 点距地面的高 AB 等于（ ） A． asin αsin β sin（β－α） B． asin αsin β cos（β－α） C． asin αcos β sin（β－α） D． acos αcos β cos（β－α） 解析：由 AB＝ACsin β， AC sin α ＝ DC sin∠DAC ＝ a sin（β－α） ， 得 AB＝ asin αsin β sin（β－α） ． 答案：A 3．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高 是 60 m，则河流的宽度 BC 等于（ ） A．240（ 3－1）m B．180（ 2－1）m C．120（ 3－1）m D．30（ 3＋1）m 解析：如图，在△ACD 中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以 CD＝AD·tan 60°＝ 60 3（m）． 在△ABD 中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以 BD＝AD·tan 15°＝60（2－ 3）（m）． 所以 BC＝CD－BD＝60 3－60（2－ 3）＝120（ 3－1）（m）． 答案：C 4．某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°，塔顶仰角为 45°，此人沿南偏东 40°方向前进 10 米到 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，则塔高为（ ） A．15 米 B．5 米 C．10 米 D．12 米 解析：如图，设塔高为 h，在 Rt△AOC 中，∠ACO＝45°，则 OC＝OA＝h． 在 Rt△AOD 中，∠ADO＝30°，则 OD＝ 3h． 在△OCD 中，∠OCD＝120°，CD＝10， 由余弦定理得 OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD， 即（ 3h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120°， ∴h2－5h－50＝0，解得 h＝10 或 h＝－5（舍）． 答案：C 5．如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量 该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的 A 处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进 50 m 到达 B 处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得 cos θ＝_________． 解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－（15° ＋θ）－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－（45°－θ）－45°＝90°＋θ，根据 正弦定理可得 50 sin 30° ＝ DB sin 15° ，即 DB＝100sin 15°＝100×sin（45°－30°）＝25 2（ 3－ 1），又 25 sin 45° ＝ 25 2（ 3－1） sin（90°＋θ） ．即 25 sin 45° ＝ 25 2（ 3－1） cos θ ，得到 cos θ＝ 3－1． 答案： 3－1 6．（2021·河北衡水模拟）在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 为边 BC 上的高，点 E 满足AD→ ＝3AE→，若 AB＝m，则 BE 的长为_________． 解析：因为△ABC 是等腰三角形，∠BAC＝120°，AD⊥BC，所以∠ABC＝30°，∠BAD＝60°， 又因为 AB＝m，所以 AD＝ 1 2 m，由AD→ ＝3 AE→，得 AE＝ 1 6 m，在△ABE 中，AB＝m，AE＝ 1 6 m， ∠BAE＝60°， 所以由余弦定理，得 BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE ·cos∠BAE＝m2＋ 1 36 m2－2m× 1 6 m×cos 60° ＝ 31 36 m2，所以 BE＝ 31 6 m． 答案： 31 6 m 7．隔河看两目标 A 与 B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km 的 C，D 两点，同时，测得 ∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°（A，B，C，D 在同一平面内），求两 目标 A，B 之间的距离． 解析：在△ACD 中，∠ACD＝120°， ∠CAD＝∠ADC＝30°，所以 AC＝CD＝ 3． 在△BCD 中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知 BC＝ 3sin 75° sin 60° ＝ 6＋ 2 2 ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（ 3）2＋ 6＋ 2 2 2 －2× 3× 6＋ 2 2 ×cos 75°＝3＋2＋ 3－ 3＝5，所以 AB＝ 5， 所以 A，B 两目标之间的距离为 5 km． 8．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10 000 m， 速度为 50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s 后看山顶的俯角为 45°，则 山顶的高度为多少米？（取 2≈1．4， 3≈1．7） 解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB＝50×420＝21 000（m）． 又在△ABC 中， BC sin A ＝ AB sin∠ACB ， 所以 BC＝ 21 000 1 2 ×sin 15°＝10 500（ 6－ 2）． 因为 CD⊥AD， 所以 CD＝BC·sin∠DBC＝10 500（ 6－ 2）× 2 2 ＝10 500（ 3－1）≈7 350（m）． 故山顶的高度为 10 000－7 350＝2 650（m）． [B 组 能力提升练] 1．（2021·云南红河州质检）如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以测量与塔底 B 在同一水 平面内的两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB＝（ ） A．5 6 B．15 3 C．5 2 D．15 6 解析：在△BCD 中，∠CBD＝180°－45°＝135°． 由正弦定理得 BC sin 30° ＝ 30 sin 135° ，所以 BC＝15 2． 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6． 答案：D 2．（2021·衡阳模拟）如图，为了测量 A，C 两点间的距离，选取同一平面上 B，D 两点，测 出四边形 ABCD 各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B 与∠D 互补，则 AC 的长为（ ） A．7 km B．8 km C．9 km D．6 km 解析：在△ABC 中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即 AC2＝25＋64－2 ×5×8cos B＝89－80cos B ． 在 △ ADC 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 AC2 ＝ AD2 ＋ DC2 － 2AD·DCcos D，即 AC2＝25＋9－2×5×3cos D＝34－30cos D．因为∠B 与∠D 互补，所 以 cos B＝－cos D，所以－ 34－AC2 30 ＝ 89－AC2 80 ，解得 AC＝7 km． 答案：A 3．（2021·武汉武昌区调研）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45°方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都 将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（ ） A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h 解析：记现在热带风暴中心的位置为点 A，t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置（图略），在△ OAB 中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得 OB2＝6002＋400t2－2×20t ×600× 2 2 ，令 OB2≤4502，即 4t2－120 2t＋1 575≤0，解得 30 2－15 2 ≤t≤ 30 2＋15 2 ， 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 30 2＋15 2 － 30 2－15 2 ＝15（h）． 答案：B 4．（2021·天津模拟）一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直 线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 B，C 两点间的距离是（ ） A．10 2 海里 B．10 3 海里 C．20 3 海里 D．20 2 海里 解析：如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦 定理得 BC sin 30° ＝ AB sin 45° ，解得 BC＝10 2（海里）． 答案：A 5．一船以每小时 15 km 的速度向正东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向， 行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔的距离为 km． 解析：如图所示，依题意有 AB＝15×4＝60（km），∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°． 在△AMB 中， 由正弦定理得 60 sin 45° ＝ BM sin 30° ， 解得 BM＝30 2（km）． 答案：30 2 6．（2021·皖中名校联考）如图所示，位于 A 处的雷达观测站，发现其北偏东 45°，与 A 相距 20 2海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶，20 分钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45°＋θ（0°＜θ＜45°）的 C 处，AC＝10 2海里．在离观测站 A 的正南方某处 D，tan∠DAC ＝－7． （1）求 cos θ； （2）求该船的行驶速度 v（海里/时）． 解析：（1）∵tan∠DAC＝－7， ∴sin∠DAC＝－7cos∠DAC． ∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1， ∴sin∠DAC＝ 7 2 10 ，cos∠DAC＝－ 2 10 ， ∴cos θ＝cos（135°－∠DAC） ＝－ 2 2 cos∠DAC＋ 2 2 sin∠DAC ＝－ 2 2 × － 2 10 ＋ 2 2 × 7 2 10 ＝ 4 5 ． （2）由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ， ∴BC2＝（10 2）2＋（20 2）2－2×10 2×20 2× 4 5 ＝360， ∴BC＝6 10 海里．∵t＝20 分钟＝ 1 3 小时， ∴v＝ BC t ＝18 10 海里/时． [C 组 创新应用练] 1．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且 小区里有一条平行于 AO 的小路 CD．已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟．若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径的长度为（ ） A．50 5 米 B．50 7 米 C．50 11 米 D．50 19 米 解析：设该扇形的半径为 r 米，连接 CO． 由题意，得 CD＝150 米，OD＝100 米，∠CDO＝60°． 在△CDO 中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 即 1502＋1002－2×150×100× 1 2 ＝r2， 解得 r＝50 7． 答案：B 2．如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的 区域建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N（异于村庄 A），要求 PM＝PN＝ MN＝2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的 距离最远）？ 解析：设∠AMN＝θ，在△AMN 中， MN sin 60° ＝ AM sin（120°－θ） ． 因为 MN＝2，所以 AM＝ 4 3 3 sin（120°－θ）． 在△APM 中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）． AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝ 16 3 sin2（120°－θ）＋4－2×2× 4 3 3 sin（120°－θ） cos（60°＋θ）＝ 16 3 sin2（θ＋60°）－ 16 3 3 sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4 ＝ 8 3 [1－cos（2θ＋120°）]－ 8 3 3 sin（2θ＋120°）＋4＝－ 8 3 [ 3sin（2θ＋120°）＋cos（2 θ＋120°）]＋ 20 3 ＝ 20 3 － 16 3 sin（2θ＋150°），θ∈（0°，120°）． 当且仅当 2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2 取得最大值 12，即 AP 取得最大值 2 3．所 以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．