2022届高考数学一轮复习第六章第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时作业理含解析北师大版

第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 授课提示：对应学生用书第 333 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·临汾模拟）不等式 y（x＋y－2）≥0 在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分 表示）是（ ） 解析：由 y·（x＋y－2）≥0，得 y≥0， x＋y－2≥0 或 y≤0， x＋y－2≤0， 所以不等式 y·（x＋y－2）≥0 在 平面直角坐标系中表示的区域是 C 项． 答案：C 2．设 x，y 满足约束条件 2x＋3y－3≤0， 2x－3y＋3≥0， y＋3≥0， 则 z＝ 1 2 x＋y 的最大值是（ ） A．－15 B．－9 C．1 D．9 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，∵z＝ 1 2 x＋y，∴y＝－ 1 2 x＋z，作出 直线 y＝－ 1 2 x，平移该直线，当直线过 A（0，1）时，z 取得最大值，zmax＝1． 答案：C 3．（2021·西安模拟）不等式组 x＋y≥1， x－2y≤4 的解集记为 D，若任意（x，y）∈D，则（ ） A．x＋2y≥－2 B．x＋2y≥2 C．x－2y≥－2 D．x－2y≥2 解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设 z＝x＋2y，作出直线 l0：x＋2y ＝0，易知 z 的最小值为 0，无最大值．所以根据题意知，任意（x，y）∈D，x＋2y≥0 恒成 立，故 x＋2y≥－2 恒成立． 答案：A 4．（2021·青岛模拟）若点（x，kx－2）满足 x≥1， x－y≤0， x＋y≤4， 则 k 的取值范围为（ ） A．（－∞，－1]∪[2，＋∞） B．[2，5] C．（－∞，－7]∪[2，＋∞） D．[－7，2] 解析：作出可行域如图中阴影部分所示．联立 x＝1， x＋y＝4， 解得 x＝1， y＝3， 所以点 P 的坐标为（1， 3）．联立 x－y＝0， x＋y＝4， 解得 x＝2， y＝2， 所以点 N 的坐标为（2，2）．因为直线 y＝kx－2 恒过点（0， －2），所以 k1＝ 2－（－2） 2－0 ＝2，k2＝ 3－（－2） 1－0 ＝5，观察图像可知，当直线 y＝kx－2 在 直线 y＝k1x－2 和直线 y＝k2x－2 之间（包括与两条直线重合）时，才会满足题意，因此可 得 2≤k≤5． 答案：B 5．（2021·月考）设点 P（x，y）是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界） 内一点，则 z＝x－2y 的最小值为（ ） A．－6 B．－4 C．－2 D．－1 解析：如图，作出直线 x＝2y，并平移，易知平移后的直线经过点（2，4）时，z＝x－2y 取 得最小值，将（2，4）代入 z＝x－2y 得 z＝－6． 答案：A 6．变量 x，y 满足约束条件 x－y＋1≤0， y≤1， x>－1， 则（x－2）2＋y2 的最小值为（ ） A． 3 2 2 B． 5 C． 9 2 D．5 解析：不等式组 x－y＋1≤0， y≤1， x>－1， 表示的平面区域如图中的阴影部分所示． 设 P（x，y）是该区域内的任意一点，则（x－2）2＋y2 的几何意义是点 P（x，y）与点 M（2， 0）距离的平方．由图可知，当点 P 的坐标为（0，1）时，|PM|最小，所以|PM|≥ 22＋1＝ 5， 所以|PM|2≥5，即（x－2）2＋y2≥5． 答案：D 7．设 x，y 满足约束条件 x＋y≤1， x＋1≥0， x－y≤1， 则目标函数 z＝ y x－2 的取值范围是________． 解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图阴影部分所示．将目标函数 z＝ y x－2 看成是区域 内的点（x，y）与定点 D（2，0）连线的斜率．由图可知，斜率最大为 kBD＝ 2 3 ，斜率最小为 kAD＝－ 2 3 ，所以目标函数 z＝ y x－2 的取值范围为 － 2 3 ， 2 3 ． 答案： － 2 3 ， 2 3 8．已知 x，y 满足条件 x≥0， y≥x， 3x＋4y≤12， 则 x＋2y＋3 x＋1 的取值范围是________． 解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示， x＋2y＋3 x＋1 ＝1＋2× y＋1 x＋1 ， y＋1 x＋1 表 示可行域中的点（x，y）与点 P（－1，－1）连线的斜率．由图可知，当 x＝0，y＝3 时， x＋2y＋3 x＋1 取得最大值，且 x＋2y＋3 x＋1 max ＝9．因为点 P（－1，－1）在直线 y＝x 上，所以当点（x， y）在线段 AO 上时， x＋2y＋3 x＋1 取得最小值，且 x＋2y＋3 x＋1 min ＝3．所以 x＋2y＋3 x＋1 的取值范 围是[3，9]． 答案：[3，9] 9．若 x，y 满足约束条件 x＋y≥1， x－y≥－1， 2x－y≤2. （1）求目标函数 z＝ 1 2 x－y＋ 1 2 的最值； （2）若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点（1，0）处取得最小值，求 a 的取值范围． 解析：（1）作出可行域如图阴影部分所示，可求得 A（3，4），B（0，1），C（1，0）． 平移初始直线 1 2 x－y＝0，当其过 A（3，4）时，z 取最小值－2，过 C（1，0）时，z 取最大 值 1． ∴z 的最大值为 1，最小值为－2． （2）z＝ax＋2y 仅在点 C（1，0）处取得最小值，由图像可知－1