第三节 等比数列及其前 n 项和
授课提示：对应学生用书第 327 页
[A 组 基础保分练]
1．（2021·石家庄高三二检）在等比数列{an}中，a2＝2，a5＝16，则 a6＝（ ）
A．14 B．28
C．32 D．64
解析：∵a2＝2，a5＝16，∴q3＝
a5
a2
＝8，∴q＝2，a6＝a5×q＝32．
答案：C
2．（2021·兰州市高三实战考试）等比数列{an}的各项均为正数，Sn 是其前 n 项和，满足 2S3
＝8a1＋3a2，a4＝16，则 S4＝（ ）
A．9 B．15
C．18 D．30
解析：设数列{an}的公比为 q，由 2S3＝8a1＋3a2 可得 2（a1＋a2＋a3）＝8a1＋3a2，得 2a3
＝6a1＋a2，即 2q2－q－6＝0，所以 q＝2，因为 a4＝16，所以 a1×23＝16，解得 a1＝2，所
以 S4＝
2×（1－24）
1－2
＝30．
答案：D
3．（2021·淄博模拟）已知{an}是等比数列，若 a1＝1，a6＝8a3，数列
1
an 的前 n 项和为 Tn，
则 T5＝（ ）
A．
31
16
B．31
C．
15
8
D．7
解析：设等比数列{an}的公比为 q，因为 a1＝1，a6＝8a3，所以 q3＝8，解得 q＝2．所以 an
＝2n－1．所以
1
an
＝
1
2
n－1
．所以数列
1
an 是首项为 1，公比为
1
2
的等比数列．则 T5＝
1－
1
2
5
1－
1
2
＝
31
16
．
答案：A
4．（2021·济南模拟）已知正项等比数列{an}满足 a3＝1，a5 与
3
2
a4 的等差中项为
1
2
，则 a1 的
值为（ ）
A．4 B．2
C．
1
2
D．
1
4
解析：由题意知，2×
1
2
＝a5＋
3
2
a4，即 3a4＋2a5＝2．设数列{an}的公比为 q（q＞0），则由 a3
＝1，得 3q＋2q2＝2，解得 q＝
1
2
或 q＝－2（舍去），所以 a1＝
a3
q2
＝4．
答案：A
5．（2021·南宁统一考试）设{an}是公比为 q 的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：等比数列{an}为递增数列的充要条件为
a1＞0，
q＞1，
或
a1＜0，
0＜q＜1.
故“q＞1”是“{an}为递增
数列”的既不充分也不必要条件．
答案：D
6．（2021·泰安模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，a6＝3，则 a4＋a8 有（ ）
A．最小值 6 B．最大值 6
C．最大值 9 D．最小值 3
解析：设等比数列{an}的公比为 q（q＞0）．∵a6＝3，
∴a4＝
a6
q2
＝
3
q2
，a8＝a6q2＝3q2，∴a4＋a8＝
3
q2
＋3q2≥2
3
q2
·3q2＝6．当且仅当 q＝1 时上式
等号成立．
答案：A
7．在等比数列{an}中，已知 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则 a8＋a9＋a10＝________．
解析：由等比数列的性质，根据 a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝（a1＋a2＋a3）q＝2，解得 q
＝2，a8＋a9＋a10＝（a1＋a2＋a3）q7＝27＝128．
答案：128
8．（2021·安庆模拟）数列{an}满足：an＋1＝λan－1（n∈N＋，λ∈R 且λ≠0），若数列{an－1}
是等比数列，则λ的值为________．
解析：由 an＋1＝λan－1，得 an＋1－1＝λan－2＝λ
an－
2
λ ．由于数列{an－1}是等比数列，所
以
2
λ
＝1，得λ＝2．
答案：2
9．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn，a1＝－1，b1＝1，a2
＋b2＝2．
（1）若 a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
（2）若 T3＝21，求 S3．
解析：设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，则 an＝－1＋（n－1）d，bn＝qn－1．
由 a2＋b2＝2 得 d＋q＝3．①
（1）由 a3＋b3＝5 得 2d＋q2＝6．②
联立①和②解得
d＝3，
q＝0
（舍去），
d＝1，
q＝2.
因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1．
（2）由 b1＝1，T3＝21 得 q2＋q－20＝0，
解得 q＝－5 或 q＝4．
当 q＝－5 时，由①得 d＝8，则 S3＝21．
当 q＝4 时，由①得 d＝－1，则 S3＝－6．
10．（2021·武汉毕业班调研）已知正项等比数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S2＋4S4＝S6，a1＝1．
（1）求数列{an}的公比 q；
（2）令 bn＝an－15，求 T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．
解析：（1）由题意可得 q≠1，
由 S2＋4S4＝S6，
可知
a1（1－q2）
1－q
＋4·
a1（1－q4）
1－q
＝
a1（1－q6）
1－q
，
所以（1－q2）＋4（1－q4）＝1－q6，而 q≠1，q＞0，
所以 1＋4（1＋q2）＝1＋q2＋q4，即 q4－3q2－4＝0，
所以（q2－4）（q2＋1）＝0，所以 q＝2．
（2）由（1）知 an＝2n－1，则{an}的前 n 项和 Sn＝
1－2n
1－2
＝2n－1，当 n≥5 时，bn＝2n－1－
15＞0，n≤4 时，bn＝2n－1－15＜0，
所以 T＝－（b1＋b2＋b3＋b4）＋（b5＋b6＋…＋b10）
＝－（a1＋a2＋a3＋a4－15×4）＋（a5＋a6＋…＋a10－15×6）
＝－S4＋S10－S4＋60－90
＝S10－2S4－30＝（210－1）－2（24－1）－30
＝210－25－29＝1 024－32－29＝963．
[B 组 能力提升练]
1．在等比数列{an}中，a4，a6 是方程 x2＋5x＋1＝0 的两根，则 a5＝（ ）
A．1 B．±1
C．
5
2
D．±
5
2
解析：在等比数列{an}中，由题意知 a4＋a6＝－5，a4·a6＝1，所以 a4＜0，a6＜0，a2
5＝a4·a6
＝1，即 a5＝±1．
答案：B
2．（2021·枣庄模拟）若{an}是首项为 1 的等比数列，则“
a8
a6
＞9”是“a2＞3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若
a8
a6
＞9，则 q2＞9，又 a1＝1，则 a2＜－3 或 a2＞3；若 a2＝q＞3，则
a8
a6
＝q2＞9．
答案：B
3．已知正项等比数列{an}满足 a2·a2
7·a2 020＝16，则 a1·a2·…·a1 017＝（ ）
A．41 017 B．21 017
C．41 018 D．21 018
解析：由 a2·a2
7·a2 020＝16，
可得（a7a1 011）2＝16，
所以 a7a1 011＝4，a509＝2，
所以 a1·a2·…·a1 017＝（a7a1 011）508·a509＝21 017．
答案：B
4．记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，若数列{Sn－2a1}也为等比数列，则
a4
a3
＝（ ）
A．
1
2
B．1
C．
3
2
D．2
解析：设等比数列{an}的公比为 q，当 q＝1 时，Sn－2a1＝na1－2a1＝（n－2）a1，显然{Sn
－2a1}不为等比数列．当 q≠1 时，Sn－2a1＝
a1（1－qn）
1－q
－2a1＝－
a1
1－q
qn＋
a1
1－q
－2a1，欲
符合题意，需
a1
1－q
－2a1＝0，得 q＝
1
2
，故
a4
a3
＝q＝
1
2
．
答案：A
5．已知数列{an}满足 a1＝2 且对任意的 m，n∈N＋，都有
am＋n
am
＝an，则数列{an}的前 n 项和
Sn＝________．
解析：因为
an＋m
am
＝an，
令 m＝1，则
an＋1
a1
＝an，即
an＋1
an
＝a1＝2，
所以{an}是首项 a1＝2，公比 q＝2 的等比数列，
Sn＝
2（1－2n）
1－2
＝2n＋1－2．
答案：2n＋1－2
6．（2021·黄冈模拟）已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1a6＝2a3，a4 与 2a6 的等
差中项为
3
2
，则 S5＝________．
解析：设{an}的公比为 q（q＞0），因为 a1a6＝2a3，而 a1a6＝a3a4，所以 a3a4＝2a3，所以 a4
＝2．
又 a4＋2a6＝3，所以 a6＝
1
2
，所以 q＝
1
2
，a1＝16，所以 S5＝
16 1－
1
2
5
1－
1
2
＝31．
答案：31
7．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝
1
2
n
，记 T2n 为{an}的前 2n 项的和，bn＝a2n＋a2n－1，
n∈N＋．
（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出 bn；
（2）求 T2n．
解析：（1）因为 an·an＋1＝
1
2
n
，
所以 an＋1·an＋2＝
1
2
n＋1
，
所以
an＋2
an
＝
1
2
，
即 an＋2＝
1
2
an．
因为 bn＝a2n＋a2n－1，
所以
bn＋1
bn
＝
a2n＋2＋a2n＋1
a2n＋a2n－1
＝
1
2
a2n＋
1
2
a2n－1
a2n＋a2n－1
＝
1
2
，
因为 a1＝1，a1·a2＝
1
2
，
所以 a2＝
1
2
，所以 b1＝a1＋a2＝
3
2
．
所以{bn}是首项为
3
2
，公比为
1
2
的等比数列．
所以 bn＝
3
2
×
1
2
n－1
＝
3
2n
．
（2）由（1）可知，an＋2＝
1
2
an，
所以 a1，a3，a5，…是以 a1＝1 为首项，以
1
2
为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以 a2＝
1
2
为
首项，以
1
2
为公比的等比数列，
所以 T2n＝（a1＋a3＋…＋a2n－1）＋（a2＋a4＋…＋a2n）
＝
1－
1
2
n
1－
1
2
＋
1
2
1－
1
2
n
1－
1
2
＝3－
3
2n
．
[C 组 创新应用练]
1．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫
做该数列的一次“H 扩展”．已知数列{1，2}．第一次“H 扩展”后得到{1，3，2}；第二次“H
扩展”后得到{1，4，3，5，2}．那么第 10 次“H 扩展”后得到的数列的项数为（ ）
A．1 023 B．1 025
C．513 D．511
解析：设第 n 次“H 扩展”后得到的数列的项数为 an，则 n＋1 次“H 扩展”后得到的数列
的项数为 an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2（an－1），∴
an＋1－1
an－1
＝2．又 a1－1＝3－1＝2，
∴{an－1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，∴an－1＝2·2n－1，∴an＝2n＋1，∴a10＝210＋
1＝1 025．
答案：B
2．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次
日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人
走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后
到达目的地，请问最后一天走了（ ）
A．6 里 B．12 里
C．24 里 D．96 里
解析：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为
a1，公比为 q，则 q＝
1
2
，依题意有
a1（1－q6）
1－q
＝378，解得 a1＝192，则 a6＝192×
1
2
5
＝6，
最后一天走了 6 里．
答案：A
3．（2021·北京市石景山区模拟）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个
圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，
解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用 an 表示解下 n（n≤9，n∈N＋）个圆环所需的最
少移动次数，数列{an}满足 a1＝1，且 an＝
2an－1－1，n 为偶数，
2an－1＋2，n 为奇数，
则解下 4 个环所需的最少
移动次数 a4 为（ ）
A．7 B．10
C．12 D．22
解析：因为数列{an}满足 a1＝1，且 an＝
2an－1－1，n 为偶数，
2an－1＋2，n 为奇数，
所以 a2＝2a1－1＝2－1＝1，
所以 a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，所以 a4＝2a3－1＝2×4－1＝7．
答案：A
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