2022届高考数学一轮复习第六章第三节基本不等式课时作业理含解析北师大版

第三节 基本不等式 授课提示：对应学生用书第 335 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·荆门一中期中测试）函数 f（x）＝ x2＋4 |x| 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 解析：f（x）＝ x2＋4 |x| ＝|x|＋ 4 |x| ≥4，当且仅当 x＝±2 时取等号，所以 f（x）＝ x2＋4 |x| 的最小值 为 4． 答案：B 2．（2021·钦州期末测试）已知 a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则 ab 的最大值是（ ） A．15 B．12 C．5 D．3 解析：因为 a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以 3ab≤15，即 ab≤5，当且仅当 a＝b＝± 5时等号 成立．所以 ab 的最大值为 5． 答案：C 3．（2021·烟台期中测试）已知 x，y∈R 且 x－2y－4＝0，则 2x＋ 1 4y 的最小值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．256 解析：∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋ 1 4y ≥2 2x－2y＝8，当且仅当 x＝2，y＝－1 时等号 成立，∴2x＋ 1 4y 的最小值为 8． 答案：B 4．（2021·湖南衡阳期末）已知 P 是面积为 1 的△ABC 内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC 和△PBC 的面积分别为 x，y，z，则 y＋z x ＋ 1 y＋z 的最小值是（ ） A． 2 3＋1 3 B． 3＋2 3 C． 1 3 D．3 解析：因为 x＋y＋z＝1，00，∴ 1 x ＋ a y ＝ 1 x ＋ a y （x＋y）＝a＋1＋ y x ＋ ax y ≥a＋1＋2 a， ∴a＋2 a＋1≥4，即 a＋2 a－3≥0，解得 a≥1． 答案：C 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 是边 BC 上的动点，且|AB→ |＝3，|AC→ |＝4，AD→ ＝λAB→ ＋ μAC→ （λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，|AD→ |的值为（ ） A． 7 2 B．3 C． 5 2 D． 12 5 解析：∵点 D 是边 BC 上的动点且AD→ ＝λAB→ ＋μAC→ （λ>0，μ>0）， ∴λ＋μ＝1，∴λμ≤ （λ＋μ）2 4 ＝ 1 4 ，当且仅当λ＝μ＝ 1 2 时等号成立，λμ取得最大值，此时点 D 是边 BC 的中点，∴|AD→ |＝ 1 2 |BC→ |，∵|AB→ |＝3，|AC→ |＝4，∠BAC＝90°，∴|AD→ |＝ 1 2 |BC→|＝ 5 2 ． 答案：C 5．（2021·上海普陀区月考）设正数 a，b 满足 2a＋3b＝ab，则 a＋b 的最小值是________． 解析：∵2a＋3b＝ab，a>0，b>0，∴ 3 a ＋ 2 b ＝1，∴a＋b＝（a＋b） 3 a ＋ 2 b ＝ 2a b ＋ 3b a ＋5≥2 6 ＋5，当且仅当 2a2＝3b2 时等号成立，∴a＋b 的最小值为 2 6＋5． 答案：2 6＋5 6．（2021·月考）已知 x0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1． （1）求证：a＋b≤2； （2）判断等式 ac＋ bd＝c＋d 能否成立，并说明理由． 解析：（1）证明：由题意得（a＋b）2＝3ab＋1≤3 a＋b 2 2 ＋1，当且仅当 a＝b 时取等号． 解得（a＋b）2≤4，又 a，b>0， 所以 a＋b≤2． （2）不能成立． 理由：由均值不等式得 ac＋ bd≤ a＋c 2 ＋ b＋d 2 ，当且仅当 a＝c 且 b＝d 时等号成立． 因为 a＋b≤2， 所以 ac＋ bd≤1＋ c＋d 2 ． 因为 c>0，d>0，cd>1， 所以 c＋d＝ c＋d 2 ＋ c＋d 2 ≥ c＋d 2 ＋ cd> c＋d 2 ＋1≥ ac＋ bd， 故 ac＋ bd＝c＋d 不能成立． [C 组 创新应用练] 1．已知 f（x）＝ 1 3 x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0）在 x＝1 处取得极值，则 2 a ＋ 1 b 的最小 值为（ ） A． 3＋2 2 3 B．3＋2 2 C．3 D．2 2 解析：由 f（x）＝ 1 3 x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0），得 f′（x）＝x2＋2ax＋b－4．由题 意得 f′（1）＝12＋2a＋b－4＝0，则 2a＋b＝3，所以 2 a ＋ 1 b ＝ 2 a ＋ 1 b × 2a＋b 3 ＝ 1 3 2 a ＋ 1 b （2a ＋b）＝ 1 3 5＋ 2b a ＋ 2a b ≥ 1 3 5＋2 2b a · 2a b ＝3，当且仅当 2b a ＝ 2a b ，即 a＝b＝1 时，等号成 立．故 2 a ＋ 1 b 的最小值为 3． 答案：C 2．若直线 l：ax－by＋2＝0（a>0，b>0）经过圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心，则 1 a ＋ 1 b 的 最小值为（ ） A．2 2 B． 2 C．2 2＋1 D． 2＋ 3 2 解析：直线 ax－by＋2＝0（a>0，b>0）经过圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心，即圆 x2＋ y2＋2x－4y＋1＝0 的圆心（－1，2）在直线 ax－by＋2＝0 上，可得－a－2b＋2＝0，即 a ＋2b＝2，所以 1 a ＋ 1 b ＝ 1 2 （a＋2b） 1 a ＋ 1 b ＝ 3 2 ＋ 1 2 2b a ＋ a b ≥ 3 2 ＋ 2b a · a b ＝ 3 2 ＋ 2，当且仅 当 2b a ＝ a b 时等号成立，所以 1 a ＋ 1 b 的最小值为 3 2 ＋ 2． 答案：D 3．已知棱长为 6的正四面体 ABCD，在侧棱 AB 上任取一点 E（与 A，B 不重合），若点 E 到平面 ACD 与平面 BCD 的距离分别为 a，b，则 4 3a ＋ 1 b 的最小值为（ ） A． 7 2 B． 7＋3 3 6 C． 7＋4 3 6 D． 7 6 解析：如图，连接 CE，DE，设 O 为底面三角形 BCD 的中心，连接 OA，则正四面体的高 OA ＝2．因为 VABCD＝VEBCD＋VEACD，所以 a＋b＝2，所以 4 3a ＋ 1 b ＝ 1 2 4 3a ＋ 1 b （a＋b）＝ 1 2 7 3 ＋ 4b 3a ＋ a b ≥ 1 2 7 3 ＋2 4b 3a · a b ＝ 7＋4 3 6 ，当且仅当 4b 3a ＝ a b ，即 b＝ 3 2 a 时取等号． 答案：C