2022届高考数学一轮复习第九章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业理含解析北师大版

第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 授课提示：对应学生用书第 375 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·福州模拟）有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学，在数学检测时要 求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ） A．8 种 B．9 种 C．10 种 D．11 种 解析：设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为 a，b，c，d，假设 A 监考 b，则 余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有 3 种不同 方法，由分类加法计数原理共有 3＋3＋3＝9（种）． 答案：B 2．（2021·武汉模拟）在一块并排 10 垄的田地中，选择 2 垄分别种植 A，B 两种作物，每种 作物种植一垄．为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不小于 6 垄，则不同的选垄方 法有（ ） A．2 种 B．6 种 C．12 种 D．14 种 解析：分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有 6 种选法；第二步，种植 A，B 两种作物， 有 2 种方法．所以根据分步计数原理，不同的选垄方法有 6×2＝12（种）． 答案：C 3．从 1，3，5，7，9 这五个数中取出两个不同的数分别记为 a，b，共可得到 lg a－lg b 的 不同值的个数是（ ） A．9 B．10 C．18 D．20 解析：根据分步乘法原理得 a，b 的取值共有 5×4＝20 种取法，又 1 3 ＝ 3 9 ， 3 1 ＝ 9 3 ，所以 lg a－ lg b 的不同值的个数是 20－2＝18． 答案：C 4．（2021·检测）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜 色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ） A．12 B．24 C．30 D．36 解析：按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色， 则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有 3×2×1×C1 2×C1 2＝24（种），若前三 个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有 3×2＝6（种）．综上可得不同的 涂色方案的种数是 30． 答案：C 5．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B，C，D 中选 择，其他四个号码可以从 0～9 这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从 左到右）只想在数字 3，5，6，8，9 中选择，其他号码只想在 1，3，6，9 中选择，则他的 车牌号码可选的所有可能情况有（ ） A．180 种 B．360 种 C．720 种 D．960 种 解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有 5 种选法，第二个号码有 3 种选法，其余三 个号码各有 4 种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有 5×3×4×4×4＝960（种）． 答案：D 6．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任意两个数的 和都不等于 11，则这样的子集有（ ） A．32 个 B．34 个 C．36 个 D．38 个 解析：先把数字分成 5 组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的 5 个数中， 任意两个数的和都不等于 11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成 25＝32（个）． 答案：A 7．从 0，1，2，3，4 这 5 个数字中任取 3 个组成三位数，其中奇数的个数是_________． 解析：从 1，3 中取一个排个位，故排个位有 2 种方法；排百位不能是 0，可以从另外 3 个数 中取一个，有 3 种方法；排十位有 3 种方法，故所求奇数的个数为 3×3×2＝18． 答案：18 8．某班一天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上课，现从 A，B，C，D，E，F 6 名教师中安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从 A，B 两人中安排一人，第四节课只能从 A， C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？ 解析：①第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第 三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 4×3＝12 种排法． ②第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节 课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 2×4×3＝24 种排法．因此不同的安排方案共有 12＋24＝36 （种）． 9．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（六 名同学不一定都能参加） （1）每人只参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项； （3）每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解析：（1）每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步乘 法计数原理，可得不同的报名方法共有 36＝729（种）． （2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第 二个项目有 5 种选法，第三个项目只有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名 方法共有 6×5×4＝120（种）． （3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，根据分步 乘法计数原理，可得不同的报名方法共有 63＝216（种）． [B 组 能力提升练] 1．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用 5 局 3 胜制的比赛规则，先赢 3 局者获胜，直到决 出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视 为不同情形）共有（ ） A．6 种 B．12 种 C．18 种 D．20 种 解析：分三种情况：恰好打 3 局（一人赢 3 局），有 2 种情形；恰好打 4 局（一人前 3 局中赢 2 局，输 1 局，第 4 局赢），共有 2×3＝6 种情形；恰好打 5 局（一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢），共有 2× 4×3 2 ＝12 种情形．所有可能出现的情形共有 2＋6＋12＝20（种）． 答案：D 2．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览 A，B， C 三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点 O 外）的不同游览线路有（ ） A．6 种 B．8 种 C．12 种 D．48 种 解析：由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线 路总数． 游览每一个景点所走环形路线都有 2 个出入口， 1．3 个景点选一个先游览有 C 1 3种选法，2 种进出方式，故有 2C 1 3种； 2．2 个景点选第二个游览有 C 1 2种选法，有 2 种进出方式，故有 2C 1 2种； 3．最后一个景点有 2 种进出方式； ∴综上，一共有 8C1 3C1 2＝48（种）． 答案：D 3．（2021·定州模拟）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的 4×4 小方格中，每格内只填入 一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（ ） A．288 种 B．144 种 C．576 种 D．96 种 解析：依题意可分为以下 3 步：（1）先从 16 个格子中任选一格放入第一个汉字，有 16 种方 法；（2）任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有 9 个格子可以放，有 9 种方法； （3）第三个汉字只有 4 个格子可以放，有 4 种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写 方法有 16×9×4＝576（种）． 答案：C 4．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A．48 B．18 C．24 D．36 解析：分类讨论：第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正 交线面对”有 2×12＝24（个）；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正 交线面对”，这样的“正交线面对”有 12 个．所以正方体中“正交线面对”共有 24＋12＝36 （个）． 答案：D 5．（2021·衡水中学模拟）已知一个公园的形状如图所示，现有 3 种不同的植物要种在此公园 的 A，B，C，D，E 这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的 种法共有 种． 解析：先种植 A，B，C 三个区域，有 3×2×1＝6 种方法．①A，E 相同时：D 有 1 种种法， 此时共有 6×1×1＝6 种方法；②A，E 不同时：D 有 2 种种法，此时共有 6×1×2＝12 种方法．由 分类加法计数原理知共有 6＋12＝18 种不同的种法． 答案：18 [C 组 创新应用练] 1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ） A．60 B．48 C．36 D．24 解析：长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”个数为 6×6＝36，另含 4 个顶点的 6 个面（非 表面）构成的“平行线面组”个数为 6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是 36＋ 12＝48． 答案：B 2．从－1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f（x）＝ax2＋bx＋c 的系数，则可 组成 个不同的二次函数，其中偶函数有 个．（用数字作答） 解析：一个二次函数对应着 a，b，c（a≠0）的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 3×3×2＝18（个）二次函数．若二次函数为偶 函数，则 b＝0，同上可知共有 3×2＝6 个偶函数． 答案：18 6 3．（2021·镇江模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443， 94249 等．显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有 90 个：101，111， 121，…，191，202，…，999．则： （1）4 位回文数有 个； （2）2n＋1（n∈N＋）位回文数有 个． 解析：（1）4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法；中间两位一样， 有 10 种填法． 共计 9×10＝90 种填法，即 4 位回文数有 90 个． （2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格． 由计数原理，共有 9×10n 种填法． 答案：（1）90 （2）9×10n