2022届高考数学一轮复习第九章第三节二项式定理课时作业理含解析北师大版

第三节 二项式定理 授课提示：对应学生用书第 379 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·杭州模拟） 1 2 x＋1 10 的展开式中 x3 的系数为（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 解析： 1 2 x＋1 10 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 10 1 2 x 10－r ，令 10－r＝3⇒r＝7，所以展开式 中 x3 的系数为 C7 10 1 2 3 ＝ 10×9×8 6 × 1 8 ＝15． 答案：C 2．（x＋2y）5 的展开式中含 x3y2 项的系数为（ ） A．5 B．10 C．20 D．40 解析：（x＋2y）5 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr 5x5－r（2y）r，所以含 x3y2 项的系数即 r＝2 时的系 数，即 C2 5×22＝40． 答案：D 3． ax＋ 1 x 6 的展开式的常数项为 160，则实数 a＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析： ax＋ 1 x 6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr 6（ax）6－r· 1 x r ＝Cr 6a6－rx6－2r，令 6－2r＝0，得 r＝3， 所以 C3 6a6－3＝160，解得 a＝2． 答案：B 4．在（1＋x）n（n∈N＋）的二项展开式中，若只有 x5 的系数最大，则 n＝（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 解析：含 x5 的项是第 6 项，它是中间项，∴n＝10． 答案：C 5．（2021·湖南岳阳模拟）将多项式 a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0 分解因式得（x－2）（x＋2）5， 则 a5＝（ ） A．8 B．10 C．12 D．1 解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4 的展开式中 x3 的系数为 C1 4·21 ＝8，所以 a5＝8． 答案：A 6．在二项式 x＋ 3 x n 的展开式中，各项系数和为 M，各项二项式系数和为 N，且 M＋N＝ 72，则展开式中常数项的值为（ ） A．18 B．12 C．9 D．6 解析：法一：令 x＝1，得展开式中各项系数和 M＝4n，各项二项式系数和 N＝2n，则 2n＋4n ＝72，得 n＝3．则展开式的通项公式为 Tk＋1＝Ck 3（ x）3－k 3 x k ＝3kCk 3x 3－3k 2 ，令 3－3k＝0， 得 k＝1，所以常数项为 9． 法二：令 x＝1，得展开式中各项系数和 M＝4n，各项二项式系数和 N＝2n，则 2n＋4n＝72， 得 n＝3． x＋ 3 x 3 可看作三个 x＋ 3 x 相乘，其展开式中的常数项为 C1 3× 3 x ×（ x）2＝9． 答案：C 7．（2021·湖南五市十校联考）（x＋1）（x－1）6 的展开式中 x6 的系数为_________． 解析：（x－1）6 的通项为 Tr＋1＝Cr 6x6－r·（－1）r，令 r＝1，可得 x5 的系数为－6，令 r＝0， 可得 x6 的系数为 1，所以（x＋1）（x－1）6 的展开式中 x6 的系数为－6＋1＝－5． 答案：－5 8．若二项式 x－ 2 3 x n 的展开式中存在常数项，则正整数 n 的最小值为_________． 解析：二项式 x－ 2 3 x n 的展开式的通项公式是 Tr＋1＝Cr nxn－r· － 2 3 x r ＝Cr n（－2）rxn－ 4 3 r，r ＝0，1，2，…，n，令 n－ 4 3 r＝0，得 n＝ 4 3 r，所以正整数 n 的最小值为 4． 答案：4 9．已知 x＋ 1 2 x n 的展开式中前三项的系数成等差数列． （1）求 n 的值； （2）求展开式中系数最大的项． 解析：（1）由题设，得 C0 n＋ 1 4 ·C2 n＝2× 1 2 ·C1 n， 即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8，n＝1（舍去）． （2）设第 r＋1 的系数最大，则 1 2r Cr 8≥ 1 2r＋1 Cr＋1 8 ， 1 2r Cr 8≥ 1 2r－1 Cr－1 8 . 即 1 8－r ≥ 1 2（r＋1） ， 1 2r ≥ 1 9－r ， 解得 2≤r≤3． 所以系数最大的项为 T3＝7x5，T4＝7x 7 2． 10．（2021·福州段考）已知（ x－ 3 x）n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为 512． （1）求展开式中的所有有理项； （2）求（1－x）3＋（1－x）4＋…＋（1－x）n 的展开式中 x2 的系数． 解析：（1）∵（ x－ 3 x）n 的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为 512， ∴2n－1＝512＝29， ∴n－1＝9，解得 n＝10． ∴Tr＋1＝Cr 10（ x）10－r（－ 3 x）r＝（－1）rCr 10x 10－r 2 ＋ r 3 ＝（－1）rCr 10x5－ r 6 （r＝0，1，…， 10）． 由 5－ r 6 ∈Z，得 r＝0，6． ∴展开式中的所有有理项为 T1＝C0 10x5＝x5，T7＝C6 10x4＝210x4． （2）展开式中 x2 的系数为 C2 3＋C2 4＋…＋C2 10＝（C3 4－C3 3）＋（C3 5－C3 4）＋…＋（C3 11－C3 10） ＝C3 11－C3 3＝164． [B 组 能力提升练] 1．若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则 a8＝（ ） A．18 B．－18 C．－27 D．27 解析：由题意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8 表示展开式中含（x－1）8 项的系数，故 a8＝C1 9（－2）＝－18． 答案：B 2． x－ 1 x 9 的展开式中的常数项为（ ） A．64 B．－64 C．84 D．－84 解析： x－ 1 x 9 的展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 9·（ x）9－r· － 1 x r ＝（－1）r·Cr 9·x 9－3r 2 ，由 9－3r 2 ＝0，得 r＝3，∴ x－ 1 x 9 的展开式中的常数项为 T4＝（－1）3×C3 9＝－84． 答案：D 3．（2021·茂名联考）在（ x＋x）6 1＋ 1 y 5 的展开式中， x4 y2 项的系数为（ ） A．200 B．180 C．150 D．120 解析：（ x＋x）6 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 6（ x）6－r·xr＝Cr 6x 6＋r 2 ，令 6＋r 2 ＝4，得 r＝2， 则 T3＝C2 6x 6＋2 2 ＝15x4． 1＋ 1 y 5 展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr 5 1 y r ＝Cr 5y－r，令 r＝2 可得 T3＝C2 5y－2＝10y－2．故 x4 y2 项 的系数为 15×10＝150． 答案：C 4．（2021·岳阳模拟）将多项式 a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0 分解因式得（x－2）（x＋2）5，则 a5＝（ ） A．8 B．10 C．12 D．1 解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4 的展开式中 x3 的系数为 C1 4·21 ＝8，所以 a5＝8． 答案：A 5．（2021·唐山摸底）在 ax2－ 2 x 5 的展开式中，x4 的系数为 5，则实数 a 的值为_________． 解析：由条件可知二项展开式的通项 Tr＋1＝Cr 5·（ax2）5－r· － 2 x r ＝（－2）rCr 5·a5－rx10－3r，令 10－3r＝4，得 r＝2，故（－2）2C2 5·a3＝5，解得 a＝ 1 2 ． 答案： 1 2 6．若二项式 x－ 2 3 x n 的展开式中仅有第 6 项的二项式系数最大，则其常数项是_________． 解析：∵二项式 x－ 2 3 x n 的展开式中仅有第 6 项的二项式系数最大，∴n＝10，∴Tr＋1＝Cr 10 （ x）10－r － 2 3 x r ＝（－2）rCr 10·x 30－5r 6 ，令 30－5r 6 ＝0，解得 r＝6，∴常数项是（－2）6C6 10 ＝13 440． 答案：13 440 [C 组 创新应用练] 1．1－90C1 10＋902C2 10－903C3 10＋…＋9010C10 10 除以 88 的余数是（ ） A．－1 B．－87 C．1 D．87 解析：1－90C1 10＋902C2 10－903C3 10＋…＋9010·C10 10＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10＝C0 108810 ＋C1 10889＋…＋C9 1088＋C10 10＝88k＋1（k 为正整数），所以可知余数为 1． 答案：C 2．（2021·厦门联考）在 1＋x＋ 1 x2 020 10 的展开式中，x2 的系数为（ ） A．10 B．30 C．45 D．120 解析：因为 1＋x＋ 1 x2 020 10 ＝ （1＋x）＋ 1 x2 020 10 ＝（1＋x）10＋C1 10（1＋x）9 1 x2 020 ＋…＋ C10 10 1 x2 020 10 ，所以 x2 只出现在（1＋x）10 的展开式中，所以含 x2 的项为 C2 10x2，系数为 C2 10＝ 45． 答案：C 3．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 a，b，m（m＞0） 为整数，若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称 a 和 b 对模 m 同余，记为 a＝b（b mod m）．若 a＝C0 20＋C1 20·2＋C2 20·22＋…＋C20 20·220，a＝b（b mod 10），则 b 的值可以是（ ） A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析：因为 a＝（1＋2）20＝320＝910＝（10－1）10＝C0 10·1010－C1 10·109＋…－C9 10·10＋1， 所以 a 被 10 除得的余数为 1，结合选项知 2 011 被 10 除得的余数是 1． 答案：A