第四节 推理与证明
授课提示：对应学生用书第 337 页
[A 组 基础保分练]
1．设 x，y，z>0，则三个数
y
x
＋
y
z
，
z
x
＋
z
y
，
x
z
＋
x
y
（ ）
A．都大于 2 B．至少有一个大于 2
C．至少有一个不小于 2 D．至少有一个不大于 2
解析：因为
y
x
＋
y
z
＋
z
x
＋
z
y
＋
x
z
＋
x
y
＝
y
x
＋
x
y ＋
z
x
＋
x
z ＋
y
z
＋
z
y ≥2＋2＋2＝6，所以
y
x
＋
y
z
，
z
x
＋
z
y
，
x
z
＋
x
y
中至少有一个不小于 2．
答案：C
2．如图，第 1 个图形由正三角形扩展而成，共 12 个顶点．第 n 个图形由正（n＋2）边形扩
展而成，n∈N＋，则第 n 个图形的顶点个数是（ ）
A．（2n＋1）（2n＋2） B．3（2n＋2）
C．2n（5n＋1） D．（n＋2）（n＋3）
解析：由题图我们可以得到，当 n＝1 时，顶点个数为 12＝3×4，n＝2 时，顶点个数为 20
＝4×5，n＝3 时，顶点个数为 30＝5×6，n＝4 时，顶点个数为 42＝6×7，…，由此我们可
以推断：第 n 个图形共有（n＋2）·（n＋3）个顶点．
答案：D
3．（2020·高考全国卷Ⅱ）如图，将钢琴上的 12 个键依次记为 a1，a2，…，a12．设 1≤i＜j
＜k≤12．若 k－j＝3 且 j－i＝4，则称 ai，aj，ak 为原位大三和弦；若 k－j＝4 且 j－i＝3，则
称 ai，aj，ak 为原位小三和弦．用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数
之和为（ ）
A．5 B．8
C．10 D．15
解析：满足条件 1≤i＜j＜k≤12，k－j＝3 且 j－i＝4 的（i，j，k）有（1，5，8），（2，6，9），
（3，7，10），（4，8，11），（5，9，12），共 5 个；满足条件 1≤i＜j＜k≤12，k－j＝4 且 j
－i＝3 的（i，j，k）有（1，4，8），（2，5，9），（3，6，10），（4，7，11），（5，8，12），
共 5 个．所以一共有 10 个．
答案：C
4．用数学归纳法证明：“（n＋1）·（n＋2）·…·（n＋n）＝2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k 到 k＋1”
左端需增乘的代数式为（ ）
A．2k＋1 B．2（2k＋1）
C．
2k＋1
k＋1
D．
2k＋3
k＋1
解析：依题意当 n＝k 时，左边＝（k＋1）（k＋2）（k＋3）…（k＋k），当 n＝k＋1 时，左边
＝（k＋1＋1）（k＋1＋2）（k＋1＋3）…（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1），从“k 到 k＋1”左端
需增乘的代数式为
（2k＋1）（2k＋2）
k＋1
＝2（2k＋1）．
答案：B
5．（2021·孝义期末测试）我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离
公式 d＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2
，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线 x＋2y
＋2z＋3＝0 的距离为（ ）
A．3 B．5
C．
5 21
7
D．3 5
解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点（x0，y0，z0）到直线 Ax＋By＋Cz＋
D＝0 的距离公式为 d＝
|Ax0＋By0＋Cz0＋D|
A2＋B2＋C2
，则所求距离 d＝
|2＋2×4＋2×1＋3|
12＋22＋22
＝5．
答案：B
6．已知 a，b，c∈R，若
b
a
·
c
a
>1 且
b
a
＋
c
a
≥－2，则下列结论成立的是（ ）
A．a，b，c 同号
B．b，c 同号，a 与它们异号
C．a，c 同号，b 与它们异号
D．b，c 同号，a 与 b，c 的符号关系不确定
解析：由
b
a
·
c
a
>1 知
b
a
与
c
a
同号，
若
b
a
>0 且
c
a
>0，不等式
b
a
＋
c
a
≥－2 显然成立，
若
b
a
0，
－
b
a ＋
－
c
a ≥2
－
b
a ·
－
c
a >2，即
b
a
＋
c
2
0 且
c
a
>0，即 a，b，c 同号．
答案：A
7．用反证法证明“若 x2－1＝0，则 x＝－1 或 x＝1”时，应假设________．
解析：“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”．
答案：x≠－1 且 x≠1
8．将 1，2，3，4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第 10 行左数第 10
个数为________．
解析：由三角形数组可推断出，第 n 行共有 2n－1 个数，且最后一个数为 n2，所以第 10 行
共 19 个数，最后一个数为 100，左数第 10 个数是 91．
答案：91
9．已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证：
1
x
－1
1
y
－1
1
z
－1
>8．
证明：因为 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，
所以
1
x
－1＝
1－x
x
＝
y＋z
x
>
2 yz
x
，①
1
y
－1＝
1－y
y
＝
x＋z
y
>
2 xz
y
，②
1
z
－1＝
1－z
z
＝
x＋y
z
>
2 xy
z
，③
又 x，y，z 为正数，由①×②×③，
得
1
x
－1
1
y
－1
1
z
－1
>8．
10．（2021·常德模拟）设 a>0，f（x）＝
ax
a＋x
，令 a1＝1，an＋1＝f（an），n∈N＋．
（1）写出 a2，a3，a4 的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝
a
1＋a
，
a3＝f（a2）＝
a·
a
1＋a
a＋
a
1＋a
＝
a
2＋a
；
a4＝f（a3）＝
a·
a
2＋a
a＋
a
2＋a
＝
a
3＋a
．
猜想 an＝
a
（n－1）＋a
（n∈N＋）．
（2）证明：①易知，n＝1 时，猜想正确．
②假设 n＝k（k∈N＋）时猜想正确，
即 ak＝
a
（k－1）＋a
，则当 n＝k＋1 时，
ak＋1＝f（ak）＝
a·ak
a＋ak
＝
a·
a
（k－1）＋a
a＋
a
（k－1）＋a
＝
a
（k－1）＋a＋1
＝
a
[（k＋1）－1]＋a
．
这说明，n＝k＋1 时猜想正确．
由①②知，对于任何 n∈N＋，都有 an＝
a
（n－1）＋a
．
[B 组 能力提升练]
1．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此 f（x）＝sin（x2＋1）是奇
函数，以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：因为 f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提不正确．
答案：C
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设 a>b>c，且 a＋b＋c＝0，求证：
b2－ac< 3a”索的因应是（ ）
A．a－b>0 B．a－c>0
C．（a－b）（a－c）>0 D．（a－b）（a－c）
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