2022届高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时作业理含解析北师大版

第一节 平面向量的概念及线性运算 授课提示：对应学生用书第 315 页 [A 组 基础保分练] 1．如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，BA→ ＋CD→ ＋EF→＝（ ） A．0 B．BE→ C．AD→ D．CF→ 解析：由题图知BA→ ＋CD→ ＋EF→＝BA→ ＋AF→＋CB→＝CB→ ＋BF→＝CF→． 答案：D 2．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点， 则OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ 等于（ ） A．OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→ 解析：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＝（OA→ ＋OC→ ）＋（OB→ ＋OD→ ）＝2OM→ ＋2OM→ ＝4OM→ ． 答案：D 3．（2021·合肥模拟）已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足 16OA→ －12OB→ －3OC→ ＝0，则 （ ） A．OA→ ＝12AB→ ＋3AC→ B．OA→ ＝12AB→ －3AC→ C．OA→ ＝－12AB→ ＋3AC→ D．OA→ ＝－12AB→ －3AC→ 解析：对于 A，OA→ ＝12AB→ ＋3AC→ ＝12（OB→ －OA→ ）＋3（OC→ －OA→ ）＝12OB→ ＋3OC→ －15OA→ ， 整理，可得 16OA→ －12OB→ －3OC→ ＝0，这与题干中条件相符合． 答案：A 4．已知 e1，e2 是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且 mn≠0．若 a∥b，则 m n 等于 （ ） A．－ 1 2 B． 1 2 C．－2 D．2 解析：∵a∥b，∴a＝λb，即 me1＋2e2＝λ（ne1－e2），则 λn＝m， －λ＝2， 故 m n ＝－2． 答案：C 5．（2021·潍坊模拟）若 M 是△ABC 内一点，且满足BA→ ＋BC→ ＝4BM→ ，则△ABM 与△ACM 的 面积之比为（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D．2 解析：设 AC 的中点为 D，则BA→ ＋BC→ ＝2BD→ ，于是 2BD→ ＝4BM→ ，从而BD→ ＝2BM→ ，即 M 为 BD 的中点，于是 S△ABM S△ACM ＝ S△ABM 2S△AMD ＝ BM 2MD ＝ 1 2 ． 答案：A 6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点 D 为 BC 边上靠近 B 点的四等分点．若 OD→ ＝xAB→ ＋yAC→ ，则 x＋y＝（ ） A． 1 12 B． 1 3 C． 2 3 D． 3 4 解析：设点 E 为 BC 的中点，连接 AE（图略），可知 O 在 AE 上，由OD→ ＝OE→ ＋ED→ ＝ 1 3 AE→＋ 1 4 CB→ ＝ 1 6 （AB→ ＋AC→ ）＋ 1 4 （AB→ －AC→ ）＝ 5 12 AB→ － 1 12 AC→ ，故 x＝ 5 12 ，y＝－ 1 12 ，x＋y＝ 1 3 ． 答案：B 7．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点 C 在 AB 上，OC⊥AB．若用OA→ 和OB→ 来表示 向量OC→ ，则OC→ ＝_________． 解析：易知OC→ ＝OA→ ＋AC→ ＝OA→ ＋ 1 4 AB→ ＝OA→ ＋ 1 4 （OB→ －OA→ ）＝ 3 4 OA→ ＋ 1 4 OB→ ． 答案： 3 4 OA→ ＋ 1 4 OB→ 8．（2021·邯郸模拟）设向量 a，b 不平行，向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数λ＝_________． 解析：由于λa＋b 与 a＋2b 平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b＝0，因为向量 a，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝ 1 2 ． 答案： 1 2 9．经过△OAB 重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设OP→ ＝mOA→ ，OQ→ ＝nOB→ ，m， n∈R，求 1 n ＋ 1 m 的值． 解析：设OA→ ＝a，OB→ ＝b，则OG→ ＝ 1 3 （a＋b）， PQ→ ＝OQ→ －OP→ ＝nb－ma， PG→ ＝OG→ －OP→ ＝ 1 3 （a＋b）－ma＝ 1 3 －m a＋ 1 3 b． 由 P，G，Q 共线得，存在实数λ使得PQ→ ＝λPG→ ， 即 nb－ma＝λ 1 3 －m a＋ 1 3 λb， 则 －m＝λ 1 3 －m ， n＝ 1 3 λ， 消去λ，得 1 n ＋ 1 m ＝3． 10．在如图所示的方格纸中，向量 a，b，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若 c 与 xa＋yb（x，y 为非零实数）共线，求 x y 的值． 解析：设 e1，e2 分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量 c＝e1－ 2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由 c 与 xa＋yb 共线，得 c＝λ（xa＋yb），所以 e1－2e2 ＝2λ（x－y）e1＋λ（x－2y）e2，所以 2λ（x－y）＝1， λ（x－2y）＝－2， 所以 x＝ 3 λ ， y＝ 5 2λ ， 所以 x y 的值为 6 5 ． [B 组 能力提升练] 1．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若 a＋b＝0，则 a＝－b，所以 a∥b．若 a∥b，则 a＋b＝0 不一定成立，故前者是后 者的充分不必要条件． 答案：A 2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA→＋PB→＋PC→ ＝2AB→ ， 若 S△ABC＝6，则△PAB 的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 解析：因为PA→＋PB→＋PC→＝2AB→ ＝2（PB→－PA→），所以 3PA→＝PB→－PC→＝CB→ ，所以PA→∥CB→ ，且 方向相同．所以 S△ABC S△PAB ＝ BC AP ＝ |CB→| |PA→| ＝3，所以 S△PAB＝ S△ABC 3 ＝2． 答案：A 3．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若AC→ ＝a，BD→ ＝b，则AF→等于（ ） A． 1 4 a＋ 1 2 b B． 2 3 a＋ 1 3 b C． 1 2 a＋ 1 4 b D． 1 3 a＋ 2 3 b 解析：如图所示，AF→＝AD→ ＋DF→ ，由题意知，AD→ ＝ 1 2 a＋ 1 2 b，AB→ ＝ 1 2 a－ 1 2 b，DE∶BE＝1∶3 ＝DF∶AB，所以DF→ ＝ 1 3 AB→ ．所以AF→＝AD→ ＋DF→ ＝ 1 2 a＋ 1 2 b＋ 1 3 1 2 a－ 1 2 b ＝ 2 3 a＋ 1 3 b． 答案：B 4．如图所示，AB 是圆 O 的一条直径，C，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB→ ＝（ ） A．AC→ －AD→ B．2AC→ －2AD→ C．AD→ －AC→ D．2AD→ －2AC→ 解析：连接 CD（图略），因为 C，D 是半圆弧的两个三等分点，所以 CD∥AB，且 AB＝2CD， 所以AB→ ＝2CD→ ＝2（AD→ －AC→ ）＝2AD→ －2AC→ ． 答案：D 5．在△ABC 中，AD→ ＝2DB→ ，CD→ ＝ 1 3 CA→ ＋λCB→，则λ＝_________． 解析：∵A，D，B 共线，∴ 1 3 ＋λ＝1，∴λ＝ 2 3 ． 答案： 2 3 6．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH⊥BC 交 BC 于点 H，M 为 AH 的中点．若 AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ ，则λ＋μ＝_________． 解析：因为AM→ ＝ 1 2 （AB→ ＋BH→ ）＝ 1 2 [AB→ ＋x（AB→ －AC→ ）]＝ 1 2 [（1＋x）AB→ －xAC→ ]，又因为AM→ ＝λAB→ ＋μAC→ ，所以 1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝ 1 2 ． 答案： 1 2 7．设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB→ ＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→ ＝2e1－e2． （1）求证：A，B，D 三点共线； （2）若BF→＝3e1－ke2，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值． 解析：（1）证明：由已知得BD→ ＝CD→ －CB→ ＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2． 因为AB→ ＝2e1－8e2，所以AB→ ＝2BD→ ． 又AB→ ，BD→ 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线． （2）由（1）可知BD→ ＝e1－4e2，且BF→＝3e1－ke2， 由 B，D，F 三点共线得BF→＝λBD→ ， 即 3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得 λ＝3， －k＝－4λ， 解得 k＝12． [C 组 创新应用练] 1．（2021·郑州模拟）如图所示，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：①OA→ ＋2OB→ ；② 1 2 OA→ ＋ 1 3 OB→ ；③ 3 4 OA→ ＋ 1 3 OB→ ；④ 3 4 OA→ ＋ 1 5 OB→ ；⑤ 3 4 OA→ － 1 5 OB→ ． 若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ 解析：在 ON 上取点 C，使得 OC＝2OB，以 OA，OC 为邻边作平行四边形 OCDA（图略）， 则OD→ ＝OA→ ＋2OB→ ，其终点不在阴影区域内，排除 A，C；取线段 OA 上一点 E，使 AE＝ 1 4 OA， 作 EF∥OB，交 AB 于点 F，则 EF＝ 1 4 OB，由于 EF＜ 1 3 OB，所以 3 4 OA→ ＋ 1 3 OB→ 的终点不在阴影区 域内，排除选项 D． 答案：B 2．在△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D．若 AB＝4，且AD→ ＝ 1 4 AC→ ＋λAB→ （λ ∈R），则 AD 的长为_________． 解析：因为 B，D，C 三点共线，所以 1 4 ＋λ＝1，解得λ＝ 3 4 ，如图所示，过点 D 分别作 AC， AB 的平行线交 AB，AC 于点 M，N，则AN→ ＝ 1 4 AC→ ，AM→ ＝ 3 4 AB→ ， 因为△ABC 中，∠A＝60°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，所以四边形 AMDN 是菱形，因为 AB ＝4，所以 AN＝AM＝3，AD＝3 3． 答案：3 3 3．如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP→ ＝αAB→ ＋β AF→（α，β∈R），则α＋β的取值范围是_________． 解析：当 P 在△CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是最远的，所以α＋β ∈ AN AM ， AD AM ＝[3，4]． 答案：[3，4]