第五节 古典概型、几何概型
授课提示：对应学生用书第 383 页
[A 组 基础保分练]
1．（2021·厦门月考）甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一
个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）
A．
1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
解析：由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一
个社团加入，共有 3×3＝9 种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有 3 种情况，则这两
名同学加入同一个社团的概率是
3
9
＝
1
3
．
答案：B
2．利用计算机在区间（0，4）内产生随机数 a，则不等式 log2（2a－1）＜0 成立的概率是
（ ）
A．
7
8
B．
3
4
C．
1
4
D．
1
8
解析：由 log2（2a－1）＜0，可得 0＜2a－1＜1，即
1
2
＜a＜1，由几何概型的概率计算公式，
可得所求概率 P＝
1－
1
2
4－0
＝
1
8
．
答案：D
3．（2021·长沙模拟）如图是一个边长为 8 的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切
圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2 倍．若在正方
形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）
A．
π
8
B．
π
16
C．1－
π
8
D．1－
π
16
解析：正方形的面积为 82，正方形的内切圆半径为 4，中间黑色大圆的半径为 2，黑色小圆的
半径为 1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为 82
－8π．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为 P＝
82－8π
82
＝1－
π
8
．
答案：C
4．从集合 A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为 k，从集合 B＝{－2，－3，4}中随机选取
一个数记为 b，则直线 y＝kx＋b 不经过第二象限的概率为（ ）
A．
2
9
B．
1
3
C．
4
9
D．
5
9
解析：依题意 k 和 b 的所有可能的取法一共有 9 种，当直线 y＝kx＋b 不经过第二象限时，应
有 k＞0，b＜0，一共有 4 种，所以所求概率为
4
9
．
答案：C
5．（2021·河南洛阳模拟）在边长为 2 的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形 3 个顶
点的距离都不小于 1 的概率为（ ）
A．1－
3
6
B．1－
3π
6
C．1－
3
3
D．1－
3π
3
解析：若点 P 到三个顶点的距离都不小于 1，则分别以 A，B，C 为圆心作半径为 1 的圆，则
P 的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为
1
2
×3×
π
3
×12＝
π
2
，
△ABC 的面积 S＝
1
2
×22×sin 60°＝ 3，则阴影部分的面积 S＝ 3－
π
2
，则对应的概率 P＝
3－
π
2
3
＝1－
3π
6
．
答案：B
6．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为 40 分钟，第一节课上课
的时间为 7：50～8：30，课间休息 10 分钟．某同学请假后返校，若他在 8：50～9：30 之
间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率为（ ）
A．
1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
2
解析：随机到达教室总的时间长度为 40 分钟，第二节课 8：40 开始，9：20 结束，听第二节
课的时间不少于 20 分钟，必须在 9：00 前到达教室，即 8：50～9：00 到达即可，时间长度
为 10 分钟，根据几何概型可知听第二节课的时间不少于 20 分钟的概率 P＝
10
40
＝
1
4
．
答案：B
7．（2019·高考江苏卷）从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出
的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是_________．
解析：法一：设 3 名男同学分别为 A，B，C，2 名女同学分别为 a，b，则所有等可能事件分
别为 AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 10 个，选出的 2 名同学中至少有
1 名女同学包含的基本事件分别为 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共 7 个，故所求概率为
7
10
．
法二：同法一，得所有等可能事件共 10 个，选出的 2 名同学中没有女同学包含的基本事件分
别为 AB，AC，BC，共 3 个，故所求概率为 1－
3
10
＝
7
10
．
答案：
7
10
8．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线 y＝
1
x
，y＝－
1
x
，y＝x，y＝－x 及圆构成的．在
圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_________．
解析：根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率是
1
4
．
答案：
1
4
9．已知关于 x 的二次函数 f（x）＝b2x2－（a＋1）x＋1．
（1）若 a，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，
6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求 y＝f（x）恰有一个零点的概率；
（2）若 a，b∈[1，6]，求满足 y＝f（x）有零点的概率．
解析：（1）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，
2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共 36
个．
用 A 表示事件“y＝f（x）恰有一个零点”，即Δ＝[－（a＋1）]2－4b2＝0，则 a＋1＝2b．则
A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共 3 个，所以 P（A）＝
3
36
＝
1
12
．
即事件“y＝f（x）恰有一个零点”的概率为
1
12
．
（2）用 B 表示事件“y＝f（x）有零点”，即 a＋1≥2b．试验的全部结果所构成的区域为{（a，
b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件 B 的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．
所以所求的概率为 P（B）＝
1
2
×5×
5
2
5×5
＝
1
4
，即事件“y＝f（x）有零点”的概率为
1
4
．
10．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 A，B，C 三类行业共
200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到 80 分及其以上的单位被称为
“星级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法
获得了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下：
A 类行业：85，82，77，78，83，87；
B 类行业：76，67，80，85，79，81；
C 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．
（1）试估算这三类行业中每类行业的单位个数；
（2）若在 A 类行业抽样的这 6 个单位中，随机选取 3 个单位进行交流发言，求选出的 3 个
单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
解析：（1）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为 3∶3∶4．
由分层抽样的定义，有
A 类行业单位的个数为
3
10
×200＝60；
B 类行业单位的个数为
3
10
×200＝60；
C 类行业单位的个数为
4
10
×200＝80．
∴A，B，C 三类行业单位的个数分别为 60，60，80．
（2）记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 M．
在 A 类行业的 6 个单位中随机选取 3 个单位的考评数据情形有：{85，82，77}，{85，82，
78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，
78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，
{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，
87}，{78，83，87}．共 20 种．
这 3 个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有：{85，82，83}，{85，82，87}，{85，
83，87}，{82，83，87}．共 4 种．
这 3 个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有 0 种．
∴这 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有 4 种．
∴所求概率 P（M）＝1－
4
20
＝
4
5
．
[B 组 能力提升练]
1．（2021·石家庄摸底）大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小
学进行支教，若每个村小学至少分配 1 名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ）
A．
1
12
B．
1
2
C．
1
3
D．
1
6
解析：大学生小明与另外 3 名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 3 个村小学进行支教，每
个村小学至少分配 1 名大学生，基本事件总个数 n＝C2
4A3
3＝36，小明恰好分配到甲村小学包
含的基本事件个数 m＝A3
3＋C2
3A2
2＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率 P＝
m
n
＝
12
36
＝
1
3
．
答案：C
2．（2021·广州四校联考）某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为 2∶2∶1，现用
分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，再从所抽取样本中选 2 人进行问卷调查，
则至少有 1 人是高一学生的概率为（ ）
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
解析：从高一、高二、高三所抽取的人数分别为 4，4，2，再从所取样本中选 2 人进行问卷
调查的总的情况数为 C2
10＝
10×9
2×1
＝45，则至少有 1 人是高一学生的情况数为 C1
4C1
6＋C2
4＝4×6
＋6＝30，故至少有 1 人是高一学生的概率为
30
45
＝
2
3
．
答案：C
3．（2020·安徽合肥模拟）已知圆 C：x2＋y2＝4 与 y 轴负半轴交于点 M，圆 C 与直线 l：x－
y＋1＝0 相交于 A，B 两点，那么在圆 C 内随机取一点，则该点落在△ABM 内的概率为（ ）
A．
3 7
8π
B．
3 7
4π
C．
3 2
8π
D．
3 2
4π
解析：如图所示，由点到直线距离公式得|OC|＝
|1|
2
＝
2
2
，则|AB|＝2 22－
2
2
2
＝ 14，
同理可得|MD|＝
|0＋2＋1|
2
＝
3 2
2
，所以 S△MAB＝
1
2
|AB|·|MD|＝
3 7
2
，由几何概型知，该点落
在△ABM 内的概率为
S△MAB
S 圆
＝
3 7
2
π×22
＝
3 7
8π
．
答案：A
4．博览会安排了分别标有“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉
宾，某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号
大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记
方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1，P2，则（ ）
A．P1·P2＝
1
4
B．P1＝P2＝
1
3
C．P1＜P2 D．P1＋P2＝
5
6
解析：三辆车的出发顺序共有 6 种可能：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），
（3，1，2），（3，2，1）．若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3 号”车的可能情况有（1，3，2），
（2，1，3），（2，3，1），共 3 种，所以其坐到“3 号”车的概率 P1＝
3
6
＝
1
2
；若该嘉宾按方
案二乘车，坐到“3 号”车的可能情况有（3，1，2），（3，2，1），共 2 种，所以其坐到“3
号”车的概率 P2＝
2
6
＝
1
3
．所以 P1＋P2＝
5
6
．
答案：D
5．（2021·期末测试）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统
节日：春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化
内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是_________．
解析：设事件 A＝{春节和端午节至少有一个被选中}，则A
－
＝{两个节日都没被选中}，所以 P
（A）＝1－P（A
－
）＝1－
3
10
＝0．7．
答案：0．7
6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6 和 28，后人进一步研究发现
后续 3 个“完全数”分别为 496，8 128，33 550 336，现将这 5 个“完全数”随机分为两
组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 恰好在同一组的概率为_________．
解析：记 5 个“完全数”中随机抽出 2 个为第一组，剩下 3 个为第二组，则基本事件总数为
10．又 6 和 28 恰好在第一组有 1 种情况，6，28 和其他 3 个数中的 1 个在第二组有 3 种情
况，所以所求概率为
1＋3
10
＝
2
5
．
答案：
2
5
7．（2021·甘肃诊断）甘肃省瓜州县自古就以盛产蜜瓜而名扬中外，生产的瓜州蜜瓜有 4 个系
列 30 多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达 14%～19%，是消暑止渴的佳
品．有诗赞曰：冰泉浸绿玉，霸刀破黄金；凉冷消晚暑，清甘洗渴心．调查表明，蜜瓜的甜
度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用 x，y，z 表示蜜瓜甜度与海拔高度、
日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0 表示一般，1 表示良，2 表示优，再用综
合指标ω＝x＋y＋z 的值评定蜜瓜的等级，若ω≥4，则为一级；若 2≤ω≤3，则为二级；若 0
≤ω≤1，则为三级．近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的
种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了 10 块蜜瓜种植地，得到如下结果：
种植地编号 A B C D E
（x，y，z） （1，0，0） （2，2，1） （0，1，1） （2，0，2） （1，1，1）
种植地编号 F G H I J
（x，y，z） （1，1，2） （2，2，2） （0，0，1） （2，2，1） （0，2，1）
（1）若有蜜瓜种植地 110 块，试估计等级为三级的蜜瓜种植地的数量；
（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标ω至少
有一个为 4 的概率．
解析：（1）计算 10 块种植地的综合指标，可得下表：
编号 A B C D E F G H I J
综合指标ω 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3
由上表可知：等级为三级的有 A，H，共 2 块，其频率为
2
10
．
用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的蜜瓜种植地的数量为 110×
2
10
＝22（块）．
（2）由（1）可知，等级是一级的（ω≥4）有 B，D，F，G，I，共 5 块，从中随机抽取两块，
所有的可能结果为：（B，D），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），（D，I），（F，
G），（F，I），（G，I），共 10 个．
其中综合指标ω＝4 的有 D，F，2 块，符合题意的可能结果为（B，D），（B，F），（D，F），
（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），共 7 个，
设“两块种植地的综合指标ω至少有一个为 4”为事件 M，
则 P（M）＝
7
10
．
[C 组 创新应用练]
1．2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯
特在 1900 年提出的 23 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 p，使得 p＋2 是素
数．素数对（p，p＋2）称为孪生素数．从 10 以内的素数中任取 2 个构成素数对，其中能构
成孪生素数的概率为（ ）
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
5
D．
1
6
解析：10 以内的素数有 2，3，5，7，共 4 个，从中任取 2 个构成的素数对有 12 个．根据素
数对（p，p＋2）称为孪生素数，知 10 以内的素数组成的素数对（3，5），（5，7）为孪生素
数，所以能构成孪生素数的概率 P＝
2
12
＝
1
6
．
答案：D
2．（2021·惠州二调）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥
德巴赫猜想是“任何一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和”，如 40＝3＋37．在不超过
40 的素数中，随机选取 2 个不同的数，其和等于 40 的概率是（ ）
A．
1
15
B．
1
17
C．
1
22
D．
1
26
解析：不超过 40 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共 12 个数．40
＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共 3 组数的和等于 40，所以随机选取 2 个不同的数，其和等
于 40 的概率为
3
66
＝
1
22
．
答案：C
3．（2021·大同调研）我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》中给出了勾股定理的绝妙证
明，如图所示是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图
中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色、黄色，其面积称为朱实、
黄实，利用 2×勾×股＋（股－勾）2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾 2＋股 2＝弦 2，设其中
勾股比为 1∶ 3，若向弦图内随机抛掷 1 000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的
图钉数大约为（ ）
A．866 B．500
C．300 D．134
解析：因为勾股比为 1∶ 3，不妨设勾为 1，则股为 3，大正方形的边长为 2，小正方形的
边长为 3－1．设落在黄色图形内的图钉数为 n，则有
n
1 000
＝
（ 3－1）2
4
，解得 n≈134．
答案：D
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