第四节 二次函数与幂函数
授课提示：对应学生用书第 277 页
[A 组 基础保分练]
f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n（n∈Z）的图像关于 y 轴对称，且在（0，＋∞）上是减函
数，则 n 的值为（ ）
A.－3
C.2
解析：∵幂函数 f（x）＝（n2＋2n－2）xn2－3n 在（0，＋∞）上是减函数，∴
n2＋2n－2＝1，
n2－3n＜0，
∴n＝1，
又 n＝1 时，f（x）＝x－2 的图像关于 y 轴对称，故 n＝1.
答案：B
y＝xm2－4m（m∈Z）的图像如图所示，则 m 的值为（ ）
A.0
C.2
解析：因为 y＝xm2－4m（m∈Z）的图像与坐标轴没有交点，所以 m2－4m＜0，即 0＜m
＜4.
又因为函数的图像关于 y 轴对称，且 m∈Z，
所以 m2－4m 为偶数，因此 m＝2.
答案：C
3.（2021·西安四校联考）已知 a，b，c，则（ ）
A.c＜b＜a B.c＜a＜b
C.a＜b＜c D.a＜c＜b
解析：由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得 a，b，所以 b＞a，又由 c，所以 c＞a，
又 b＞c，所以 a＜c＜b.
答案：D
4.（2021·惠州模拟）已知函数 f（x）＝x2＋x＋c，若 f（0）＞0，f（p）＜0，则必有（ ）
A.f（p＋1）＞0
B.f（p＋1）＜0
C.f（p＋1）＝0
D.f（p＋1）的符号不能确定
解析：由题意知，f（0）＝c＞0，函数图像的对称轴为直线 x＝－
1
2
，则 f（－1）＝f（0）＞
0，设 f（x）＝0 的两根分别为 x1，x2（x1＜x2），则－1＜x1＜x2＜0，根据图像（图略）知，
x1＜p＜x2，故 p＋1＞0，f（p＋1）＞0.
答案：A
R 上的函数 f（x）＝－x3＋m 与函数 g（x）＝f（x）＋x3＋x2－kx 在[－1，1]上具有相同的
单调性，则 k 的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2]
B.[2，＋∞）
C.[－2，2]
D.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
解析：易知定义在 R 上的函数 f（x）＝－x3＋m 单调递减，所以函数 g（x）＝x2－kx＋m 在
[－1，1]上单调递减，所以抛物线的对称轴 x＝
k
2
≥1，所以 k≥2.
答案：B
6.（2021·上海模拟）已知 n∈N＋，则函数 y＝xn（x∈R）与 y＝nx（x∈R）图像的交点不可
能（ ）
A.只有（n，nn） y＝nx 上
C.多于三个
解析：结合函数 y＝xn（x∈R）与 y＝nx（x∈R）的图像与单调性可知，在第一象限，最多有
2 个交点，在第二象限，最多有 1 个交点，在第三、第四象限没有交点，所以两函数图像最多
只有三个交点.
答案：C
f（x）＝－x2＋2ax 与 g（x）＝
a
x＋1
在区间[1，2]上都是减函数，则实数 a 的取值范围是__________.
解析：因为 f（x）＝－x2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以 a≤1，又因为 g（x）＝
a
x＋1
在[1，
2]上是减函数，所以 a＞0，所以 0＜a≤1.
答案：（0，1]
f（x）＝x2－1，对任意 x∈
3
2
，＋∞
，f
x
m －4m2f（x）≤f（x－1）＋4f（m）恒成立，则
实数 m 的取值范围是__________.
解析：由题可得
x2
m2
－1－4m2（x2－1）≤（x－1）2－1＋4（m2－1） x∈
3
2
，＋∞
恒成立，
即
1
m2
－4m2≤－
3
x2
－
2
x
＋1 在 x∈
3
2
，＋∞
φ（x）＝－3×
1
x
2
－2×
1
x
＋1，x∈
3
2
，＋∞
，易知
φ（x）在
3
2
，＋∞
上为增函数，∴φ（x）min＝φ
3
2 ＝－3×
2
3
2
－2×
2
3
＋1＝－
5
3
.∴
1
m2
－4m2
≤－
5
3
，化简得（3m2＋1）（4m2－3）≥0，解得 m≤－
3
2
或 m≥
3
2
.
答案：
－∞，－
3
2 ∪
3
2
，＋∞
f（x）满足 f（x＋1）－f（x）＝2x，且 f（0）＝1.
（1）求 f（x）的解析式；
（2）当 x∈[－1，1]时，函数 y＝f（x）的图像恒在函数 y＝2x＋m 的图像的上方，求实数 m
的取值范围.
解析：（1）设 f（x）＝ax2＋bx＋1（a≠0），
由 f（x＋1）－f（x）＝2x，得 2ax＋a＋b＝2x.
所以 2a＝2 且 a＋b＝0，解得 a＝1，b＝－1，
因此 f（x）的解析式为 f（x）＝x2－x＋1.
（2）因为当 x∈[－1，1]时，y＝f（x）的图像恒在 y＝2x＋m 的图像上方，
所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m 恒成立；
即 x2－3x＋1＞m 在区间[－1，1]上恒成立.
所以令 g（x）＝x2－3x＋1＝
x－
3
2
2
－
5
4
，
因为 g（x）在[－1，1]上的最小值为 g（1）＝－1，
所以 mm 的取值范围为（－∞，－1）.
[B 组 能力提升练]
f（x）＝3x2－2（m＋3）x＋m＋3 的值域为[0，＋∞），则实数 m 的取值范围为（ ）
A.{0，－3} B.[－3，0]
C.（－∞，－3]∪[0，＋∞） D.{0，3}
解析：由题意知，方程 f（x）＝0 有两相等实根，∴Δ＝[－2（m＋3）]2－4×3×（m＋3）＝
0，解得 m＝－3 或 m＝0，∴实数 m 的取值范围为{0，－3}.
答案：A
2.（2021·皖江模拟）已知函数 y＝xa，y＝xb，y＝cx 的图像如图所示，则 a，b，c 的大小关
系为（ ）
A.c＜b＜a
B.a＜b＜c
C.c＜a＜b
D.a＜c＜b
解析：由题中图像可知，a＞1，b＝
1
2
，0＜c＜
1
2
，得 a＞b＞c.
答案：A
x∈[0，1]时，下列关于函数 y＝（mx－1）2 的图像与 y＝ x＋m的图像交点个数说法正确的
是（ ）
m∈[0，1]时，有两个交点
m∈（1，2]时，没有交点
m∈（2，3]时，有且只有一个交点
m∈（3，＋∞）时，有两个交点
解析：设 f（x）＝（mx－1）2，g（x）＝ x＋m，其中 x∈[0，1].
A 选项，若 m＝0，则 f（x）＝1 与 g（x）＝ x的图像在[0，1]上有且只有一个交点（1，1），
故 A 选项错误；B 选项，当 m∈（1，2]时，∵
1
2
≤
1
m
＜1，∴在[0，1]上，f（x）≤f（0）＝1，
g（x）＞g（0）＝ m＞1，f（x）＜g（x）.故无交点，B 选项正确；C 选项，当 m∈（2，
3]时，g（0）＝ m＞1，此时若 1＋m＞（m－1）2，两个图像无交点，若 1＋m≤（m
－1）2，两个图像有 1 个交点，故 C 选项不正确；D 选项，当 m∈（3，＋∞）时，g（0）
＝ m＞1，此时 f（1）＞g（1），两个图像只有 1 个交点，故 D 选项错误.
答案：B
4.（2021·荆州模拟）若对任意的 x∈[a，a＋2]，均有（3x＋a）3≤8x3，则实数 a 的取值范围
是（ ）
A.（－∞，－2] B.（－∞，－1]
C.（－∞，0] D.[0，＋∞）
解析：因为（3x＋a）3≤8x3，y＝x3 在 R 上单调递增，所以 3x＋a≤2x，可得 x≤－a，即 x∈
（－∞，－a]，因为对任意的 x∈[a，a＋2]，均有（3x＋a）3≤8x3 成立，所以[a，a＋2]是（－
∞，－a]的子集，所以 a＋2≤－a，所以 a≤－1，即 a 的取值范围是（－∞，－1].
答案：B
f（x）＝mx2＋（2－m）x＋n（m＞0），当－1≤x≤1 时，|f（x）|≤1 恒成立，则 f
2
3 ＝__________.
解析：当 x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1 恒成立.
∴
|f（0）|≤1⇒|n|≤1⇒－1≤n≤1；
|f（1）|≤1⇒|2＋n|≤1⇒－3≤n≤－1，
因此 n＝－1，∴f（0）＝－1，f（1）＝1.
由 f（x）的图像可知，要满足题意，则图像的对称轴为直线 x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f（x）＝2x2－1，∴f
2
3 ＝－
1
9
.
答案：－
1
9
f（x）＝mx2＋（n－1）x＋2（m＞0，n＞0）的单调递增区间为
1
2
，＋∞
，则
1
m
＋
1
n
的最小
值为__________.
解析：函数 f（x）图像的对称轴为直线 x＝－
n－1
2m
＝
1
2
，故 m＋n＝1，所以
1
m
＋
1
n
＝
1
m
＋
1
n （m
＋n）＝2＋
n
m
＋
m
n
≥2＋2
n
m
×
m
n
＝4，当且仅当 m＝n＝
1
2
时等号成立，从而
1
m
＋
1
n
的最小
值为 4.
答案：4
f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0，b∈R，c∈R）.
（1）若函数 f（x）的最小值是 f（－1）＝0，且 c＝1，
F（x）＝
f（x），x＞0，
－f（x），x＜0，
求 F（2）＋F（－2）的值；
（2）若 a＝1，c＝0，且|f（x）|≤1 在区间（0，1]上恒成立，试求 b 的取值范围.
解析：（1）由已知 c＝1，f（－1）＝a－b＋c＝0，
且－
b
2a
＝－1，
解得 a＝1，b＝2，
所以 f（x）＝（x＋1）2.
所以 F（x）＝
（x＋1）2，x＞0，
－（x＋1）2，x＜0.
所以 F（2）＋F（－2）＝（2＋1）2＋[－（－2＋1）2]＝8.
（2）由题意知 f（x）＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在（0，1]上恒成立，
即 b≤
1
x
－x 且 b≥－
1
x
－x 在（0，1]上恒成立.
又当 x∈（0，1]时，
1
x
－x 的最小值为 0，－
1
x
－x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.
故 b 的取值范围是[－2，0].
8.（2021·郑州模拟）已知函数 g（x）＝ax2－2ax＋b＋1（a≠0，b＜1）在区间[2，3]上有
最大值 4，最小值 1.
（1）求 a，b 的值；
（2）设 f（x）＝
g（x）
x
，不等式 f（2x）－k·2x≥0 对 x∈[－1，1]恒成立，求实数 k 的取值
范围.
解析：（1）g（x）＝ax2－2ax＋b＋1＝a（x－1）2－a＋b＋1，
若 a＞0，则 g（x）在[2，3]上单调递增，
∴g（2）＝b＋1＝1，g（3）＝3a＋b＋1＝4，解得 a＝1，b＝0；
若 a＜0，则 g（x）在[2，3]上单调递减，
∴g（2）＝b＋1＝4，解得 b＝3，
∵b＜1，∴b＝3（舍去）.
综上，a＝1，b＝0.
（2）∵f（x）＝
g（x）
x
，∴f（x）＝
x2－2x＋1
x
＝x＋
1
x
－2，
∵不等式 f（2x）－k·2x≥0 对 x∈[－1，1]恒成立，∴2x＋
1
2x
－2－k·2x≥0 对 x∈[－1，1]恒成
立，即 k≤
1
2x
2
－2
1
2x ＋1＝
1
2x
－1 2
对 x∈[－1，1]恒成立，
∵x∈[－1，1]，∴
1
2x
∈
1
2
，2
，
∴
1
2x
－1 2
∈[0，1]，∴k≤0，故实数 k 的取值范围是（－∞，0].
[C 组 创新应用练]
1.（2021·黄陵模拟）中国古代名词“刍童”“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍
上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之.各以其广乘之，并，以高乘之，六而一.”其计算方法
是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与
上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已
知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为
3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ）
A.
39
2
B.
75
2
C.39 D.
601
16
解析：设下底面的长、宽分别为 x，y，则 2（x＋y）＝18，x＋y＝9，则 x∈
9
2
，9
.则“刍童”
的体积为
1
6
×3×[2（6＋x）＋（2x＋3）y]＝
1
2
（30＋2xy＋y）＝
1
2
（－2x2＋17x＋39）＝－
x2＋
17
2
x＋
39
2
，当 x＝
9
2
时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为
75
2
.
答案：B
f（x）＝x2＋2x＋1＋a，任意 x∈R，f（f（x））≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A.
5－1
2
，＋∞
B.
5－3
2
，＋∞
C.[－1，＋∞） D.[0，＋∞）
解析：设 t＝f（x）＝（x＋1）2＋a≥a，∴f（t）≥0 对任意 t≥a 恒成立，即（t＋1）2＋a≥0
对任意 t∈[a，＋∞）恒成立，当 a≤－1 时，f（t）min＝f（－1）＝a≤－1，不符合题意；当
a＞－1 时，f（t）min＝f（a）＝a2＋3a＋1，则 a2＋3a＋1≥0，得 a≥
5－3
2
.
答案：B
3.（2021·沧州模拟）定义：如果在函数 y＝f（x）的定义域内的给定区间[a，b]上存在 x0（a
＜x0＜b），满足 f（x0）＝
f（b）－f（a）
b－a
，则称函数 y＝f（x）是[a，b]上的平均值函数，x0
是它的一个均值点，如 y＝x4f（x）＝－x2＋mx＋1 是[－1，1]上的平均值函数，则实数 m 的
取值范围是__________.
解析：因为函数 f（x）＝－x2＋mx＋1 是[－1，1]上的平均值函数，设 x0 为均值点，所以
f（1）－f（－1）
1－（－1）
＝m＝f（x0），即关于 x0 的方程－x2
0＋mx0＋1＝m 在（－1，1）上有实数
根，解方程得 x0＝1 或 x0＝m－1，所以必有－1＜m－1＜1，即 0＜m＜2，所以实数 m 的
取值范围是（0，2）.
答案：（0，2）
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