2022届高考数学一轮复习第三章第三节第2课时简单的三角恒等变形课时作业理含解析北师大版

简单的三角恒等变形 授课提示：对应学生用书第 305 页 [A 组 基础保分练] 1．（2021·月考）已知 tan α＋ π 4 ＝ 3 4 ，则 cos2 π 4 －α ＝（ ） A． 7 25 B． 9 25 C． 16 25 D． 24 25 解析：∵tan α＋ π 4 ＝ 3 4 ，∴ 1＋tan α 1－tan α ＝ 3 4 ，∴tan α＝－ 1 7 ，∴cos2 π 4 －α ＝ 1＋cos π 2 －2α 2 ＝ 1＋sin 2α 2 ＝ （sin α＋cos α）2 2（sin2α＋cos2α） ＝ （tan α＋1）2 2（tan2α＋1） ＝ 9 25 ． 答案：B 2．（2021·河南天一模拟）已知 sin π 4 －2x ＝ 3 5 ，则 sin 4x 的值为（ ） A． 7 25 B．± 7 25 C． 18 25 D．± 18 25 解析：因为 sin π 4 －2x ＝ 2 2 （cos 2x－sin 2x）＝ 3 5 ， 所以 sin 2x－cos 2x＝－ 3 2 5 ， 所以（sin 2x－cos 2x）2＝1－2sin 2xcos 2x＝1－sin 4x＝ 18 25 ，所以 sin 4x＝ 7 25 ． 答案：A 3．（2021·青岛模拟）若 2cos2α＋cos π 2 ＋2α －1 2sin 2α＋ π 4 ＝4，则 tan 2α＋ π 4 ＝（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 解 析 ： ∵ 2cos2α＋cos π 2 ＋2α －1 2sin 2α＋ π 4 ＝ cos 2α－sin 2α sin 2α＋cos 2α ＝ 1－tan 2α 1＋tan 2α ＝ 4 ， ∴ tan 2α＋ π 4 ＝ 1＋tan 2α 1－tan 2α ＝ 1 4 ． 答案：C 4．若α为第二象限角，且 sin 2α＝sin α＋ π 2 cos（π－α），则 2cos 2α－ π 4 的值为（ ） A．－ 1 5 B． 1 5 C． 4 3 D．－ 4 3 解析：∵sin 2α＝sin α＋ π 2 cos（π－α），∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴ cos α≠0，2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝ 1 5 ，∴ 2cos 2α－ π 4 ＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－ 1 5 ． 答案：A 5．（2021·邵阳模拟）若 tan π 12 cos 5π 12 ＝sin 5π 12 －msin π 12 ，则实数 m 的值为（ ） A．2 3 B． 3 C．2 D．3 解析：由 tan π 12 cos 5π 12 ＝sin 5π 12 －msin π 12 ， 可得 sin π 12 cos 5π 12 ＝cos π 12 sin 5π 12 －msin π 12 cos π 12 ， 即 sin π 12 cos π 2 － π 12 ＝cos π 12 sin π 2 － π 12 －msin π 12 ·cos π 12 ， 即 sin2 π 12 ＝cos2 π 12 － m 2 sin π 6 ， 亦即 m 2 sin π 6 ＝cos π 6 ，∴ m 2 · 1 2 ＝ 3 2 ， ∴m＝2 3． 答案：A 6．已知函数 f（x）＝（2cos2 x－1）sin 2x＋ 1 2 cos 4x，若α∈ π 2 ，π ，且 f（α）＝ 2 2 ，则 α的值为（ ） A． 5π 8 B． 11π 6 C． 9π 16 D． 7π 8 解析：由题意知 f（x）＝cos 2xsin 2x＋ 1 2 cos 4x＝ 1 2 sin 4x＋ 1 2 cos 4x＝ 2 2 sin 4x＋ π 4 ，因为 f（α）＝ 2 2 sin 4α＋ π 4 ＝ 2 2 ，所以 4α＋ π 4 ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z，即α＝ π 16 ＋ kπ 2 ，k∈Z．因为α ∈ π 2 ，π ，所以α＝ π 16 ＋ π 2 ＝ 9π 16 ． 答案：C 7．（2021·平顶山模拟）已知 sin α＝－ 4 5 α∈ 3π 2 ，2π ，若 sin（α＋β） cos β ＝2，则 tan（α＋ β）＝_________． 解析：因为 sin α＝－ 4 5 ，α∈ 3π 2 ，2π ，所以 cos α＝ 3 5 ．由 sin（α＋β） cos β ＝2，得 sin（α＋ β）＝2cos[（α＋β）－α]，即 6 5 cos（α＋β）＝ 13 5 sin（α＋β），所以 tan（α＋β）＝ 6 13 ． 答案： 6 13 8．（2021·长沙模拟）化简： 2sin（π－α）＋sin 2α cos2 α 2 ＝_________． 解析： 2sin（π－α）＋sin 2α cos2 α 2 ＝ 2sin α＋2sin α·cos α 1 2 （1＋cos α） ＝ 2sin α（1＋cos α） 1 2 （1＋cos α） ＝4sin α． 答案：4sin α 9．（2021·广州模拟）已知函数 f（x）＝ sin x 2 ＋cos x 2 2 －2sin2 x 2 ． （1）若 f（x）＝ 2 3 3 ，求 sin 2x 的值； （2）求函数 F（x）＝f（x）·f（－x）＋f2（x）的最大值与单调递增区间． 解析：（1）由题意知 f（x）＝1＋sin x－（1－cos x）＝sin x＋cos x． 又∵f（x）＝ 2 3 3 ，∴sin x＋cos x＝ 2 3 3 ， ∴sin 2x＋1＝ 4 3 ，∴sin 2x＝ 1 3 ． （2）F（x）＝（sin x＋cos x）·[sin（－x）＋cos（－x）]＋（sin x＋cos x）2 ＝cos2x－sin2x＋1＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1 ＝ 2sin 2x＋ π 4 ＋1， 当 sin 2x＋ π 4 ＝1 时，F（x）取得最大值， 即 F（x）max＝ 2＋1． 令－ π 2 ＋2kπ≤2x＋ π 4 ≤ π 2 ＋2kπ（k∈Z）， ∴kπ－ 3π 8 ≤x≤kπ＋ π 8 （k∈Z）， 从而函数 F（x）的最大值为 2＋1，单调递增区间为 kπ－ 3π 8 ，kπ＋ π 8 （k∈Z）． [B 组 能力提升练] 1．（2021·湖北八校联考）已知 3π≤θ≤4π，且 1＋cos θ 2 ＋ 1－cos θ 2 ＝ 6 2 ，则θ ＝（ ） A． 10π 3 或 11π 3 B． 37π 12 或 47π 12 C． 13π 4 或 15π 4 D． 19π 6 或 23π 6 解析：因为 3π≤θ≤4π，所以 3π 2 ≤ θ 2 ≤2π，所以 cos θ 2 ≥0，sin θ 2 ≤0，则 1＋cos θ 2 ＋ 1－cos θ 2 ＝ cos2θ 2 ＋ sin2θ 2 ＝ cos θ 2 － sin θ 2 ＝ 2 cos θ 2 ＋ π 4 ＝ 6 2 ， 所 以 cos θ 2 ＋ π 4 ＝ 3 2 ， 所以 θ 2 ＋ π 4 ＝ π 6 ＋2kπ或 θ 2 ＋ π 4 ＝－ π 6 ＋2kπ，k∈Z，即θ＝－ π 6 ＋4kπ或θ＝－ 5π 6 ＋4kπ，k∈Z．因 为 3π≤θ≤4π，所以θ＝ 19π 6 或 23π 6 ． 答案：D 2．（2021·济南长清月考）若 2cos 2θ cos π 4 ＋θ ＝ 3sin 2θ，则 sin 2θ＝（ ） A． 1 3 B． 2 3 C．－ 2 3 D．－ 1 3 解析：∵ 2cos 2θ cos π 4 ＋θ ＝ 3sin 2θ，∴ 2（cos2θ－sin2θ） 2 2 （cos θ－sin θ） ＝ 3sin 2θ， ∴2（cos θ＋sin θ）＝ 3sin 2θ，∴3sin22θ－4sin 2θ－4＝0，得 sin 2θ＝－ 2 3 ． 答案：C 3．（2021·成都二中月考）已知 tan（α＋β）＝2tan β α，β≠ kπ 2 ，k∈Z ，则 sin（α＋2β） sin α 的 值为（ ） A． 3 B． 3 2 C． 1 2 D．3 解析：∵tan（α＋β）＝2tan β α，β≠ kπ 2 ，k∈Z ，∴sin（α＋β）·cos β＝2cos（α＋β）sin β，∴ sin（α＋2β） sin α ＝ sin [（α＋β）＋β] sin[（α＋β）－β] ＝ 3cos（α＋β）sin β cos（α＋β）sin β ＝3． 答案：D 4．（2021·黄冈调考）已知圆 C：x2＋（y－1）2＝R2 与函数 y＝2sin x 的图像有唯一交点，且 交点的横坐标为 a，则 4cos2a 2 －a－2 sin 2a ＝（ ） A．－2 B．2 C．－3 D．3 解析：设圆 C 与 y＝2sin x 图像的唯一交点为 A（a，2sin a），则过点 A 的 y＝2sin x 图像的 切线的斜率k＝2cos a．连接AC（图略），则过点A和圆心C（0，1）的直线的斜率为 2sin a－1 a ．因 为圆 C 在点 A 处的切线和直线 AC 垂直，所以 2sin a－1 a ×2cos a＝－1，整理得 2cos a－a ＝2sin 2a，所以 4cos2 a 2 －a－2 sin 2a ＝ 2 2cos2a 2 －1 －a sin 2a ＝ 2cos a－a sin 2a ＝2． 答案：B 5．设α是第四象限角，若 sin 3α sin α ＝ 13 5 ，则 tan 2α＝_________． 解析： sin 3α sin α ＝ sin（α＋2α） sin α ＝ sin αcos 2α＋cos αsin 2α sin α ＝cos 2α＋2cos2α＝4cos2α－1 ＝ 13 5 ，解得 cos2α＝ 9 10 ． 因为α是第四象限角，所以 cos α＝ 3 10 10 ，sin α＝－ 10 10 ， 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝－ 3 5 ，cos 2α＝2cos2α－1＝ 4 5 ， 所以 tan 2α＝－ 3 4 ． 答案：－ 3 4 6．已知α∈ π 4 ， 3π 4 ，β∈ 0， π 4 ，且 cos π 4 －α ＝ 3 5 ，sin 5π 4 ＋β ＝－ 12 13 ，则 cos（α＋β） ＝_________． 解析：因为α∈ π 4 ， 3π 4 ， π 4 －α∈ － π 2 ，0 ，cos π 4 －α ＝ 3 5 ，所以 sin π 4 －α ＝－ 4 5 ， 因为 sin 5π 4 ＋β ＝－ 12 13 ，所以 sin π 4 ＋β ＝ 12 13 ， 又因为β∈ 0， π 4 ， π 4 ＋β∈ π 4 ， π 2 ， 所以 cos π 4 ＋β ＝ 5 13 ， 所以 cos（α＋β）＝cos π 4 ＋β － π 4 －α ＝ 3 5 × 5 13 － 4 5 × 12 13 ＝－ 33 65 ． 答案：－ 33 65 7．已知函数 f（x）＝cos2x＋sin xcos x，x∈R． （1）求 f π 6 的值； （2）若 sin α＝ 3 5 ，且α∈ π 2 ，π ，求 f α 2 ＋ π 24 ． 解析：（1）f π 6 ＝cos2π 6 ＋sin π 6 cos π 6 ＝ 3 2 2 ＋ 1 2 × 3 2 ＝ 3＋ 3 4 ． （2）因为 f（x）＝cos2x＋sin xcos x＝ 1＋cos 2x 2 ＋ 1 2 sin 2x＝ 1 2 ＋ 1 2 （sin 2x＋cos 2x）＝ 1 2 ＋ 2 2 sin 2x＋ π 4 ， 所以 f α 2 ＋ π 24 ＝ 1 2 ＋ 2 2 sin α＋ π 12 ＋ π 4 ＝ 1 2 ＋ 2 2 sin α＋ π 3 ＝ 1 2 ＋ 2 2 1 2 sin α＋ 3 2 cos α ． 又因为 sin α＝ 3 5 ，且α∈ π 2 ，π ， 所以 cos α＝－ 4 5 ， 所以 f α 2 ＋ π 24 ＝ 1 2 ＋ 2 2 × 1 2 × 3 5 － 3 2 × 4 5 ＝ 10＋3 2－4 6 20 ． [C 组 创新应用练] 已知角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（－3， 3）． （1）求 sin 2α－tan α的值； （2）若函数 f（x）＝cos（x－α）cos α－sin（x－α）sin α，求函数 g（x）＝ 3f π 2 －2x －2f2（x）在区间 0， 2π 3 上的值域． 解析：（1）因为角α的终边经过点 P（－3， 3）， 所以 sin α＝ 1 2 ，cos α＝－ 3 2 ，tan α＝－ 3 3 ． 所以 sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－ 3 2 ＋ 3 3 ＝－ 3 6 ． （2）因为 f（x）＝cos（x－α）cos α－sin（x－α）sin α＝cos x，x∈R， 所以 g（x）＝ 3cos π 2 －2x －2cos2x ＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin 2x－ π 6 －1， 因为 0≤x≤ 2π 3 ， 所以－ π 6 ≤2x－ π 6 ≤ 7 6 π， 所以－ 1 2 ≤sin 2x－ π 6 ≤1， 所以－2≤2sin 2x－ π 6 －1≤1， 所以 g（x）在区间 0， 2π 3 上的值域为[－2，1]．